Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
§ 3. Комплексные числа Комплексным числом называют выражение вида a + bi, где a и b — вещественные числа, а i — символ, удовлетворяющий соотношению i 2 = −1. Если = a + bi, то числа a и b называют соответственно вещественной и мнимою частью числа z обозначение a = Re z, b = Im z), а комплексное число a − называют числом, сопряжённым к числу z обозначение z). Перемножают комплексные числа по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов, заменяя каждый раз нате+ Каждое вещественное число a можно рассматривать как комплексное число + Если на плоскости выбрать систему координат, то можно установить взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости, при котором числу a + bi соответствует точка с координатами, b). При этом умножение на комплексное число z приобретает следующую геометрическую интерпретацию. Пусть r — расстояние от нуля до z, f — угол, на который нужно повернуть вокруг нуля луч, содержащий положительные вещественные числа, чтобы получить луч Oz. Тогда умножение на число z — это композиция гомотетии с коэффициентом r с центром в нуле) и поворота на угол f . Числа r и называют соответственно модулем и аргументом числа z обозначение r = |z|, f = arg z). По-другому геометрическую интерпретацию произведения комплексных чисел можно сформулировать так приумножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Зная геометрическую интерпретацию комплексных чисел, легко научиться их делить для этого нужно делить модули и вычитать аргументы Условия задач 539 Деление можно ввести также и чисто алгебраически. Для каждого комплексного числа z = a + bi имеет место очевидное равенство = (a + bi)(a − bi) = a 2 − b 2 i 2 = a 2 + b 2 = Поэтому w/z = Тот факт, что произведение комплексных чисел, с одной стороны, вычисляется чисто алгебраически, ас другой стороны, имеет геометрическую интерпретацию, иногда бывает полезным при решении задач планиметрии. Как правило, решение, использующее комплексные числа, в действительности использует только векторы и поворот. Но иногда комплексные числа позволяют взглянуть на теоремы планиметрии с новой точки зрения и, что гораздо важнее, глубже понять их природу. Очень простую интерпретацию на языке комплексных чисел имеет инверсия с центром в нуле она отображает число z в число R 2 /z, где степень инверсии. 29.26. Пусть a, b, c, d — комплексные числа, причём углы и c0d равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда abcd = Будем говорить, что треугольники ABC и собственно подобны, если существует поворотная гомотетия, которая переводит A в A 0 , B в B 0 , C в Докажите, что если треугольники abc и на комплексной плоскости собственно подобны, то − a c − a = b 0 − a 0 c 0 − Докажите, что треугольники abc и собственно подобны, тогда и только тогда, когда − c) + b 0 (c − a) + c 0 (a − b) = Пусть a и b — комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле, u — точка пересечения касательных к этой окружности в точках a и b. Докажите, что u = 2ab/(a + Пусть a — комплексное число, лежащее на единичной окружности с центром в нуле, t — вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси. Пусть, далее, b — отличная от a точка пересечения прямой at с окружностью S. Докажите, что b = (1 − ta)/(t − Пусть a, b и c — комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число 2 (a + b + c − abc) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины на сторону Докажите, что прямая, проходящая через точки и a 2 , задаётся уравнением a 2 ) − z(a 1 − a 2 ) + (a 1 a 2 − a 1 a 2 ) = 0. Глава 29. Аффинные преобразования 29.33. а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида + cz + cz + D = где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задаёт либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество. б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые. 29.34. а) Пусть e = 1 2 + i √ 3 2 . Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда + e 2 b + e 4 c = 0 или a + e 4 b + e 2 c = б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + Пусть точки A * , B * , C * , являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что: а) AC AD : BC BD = A * C * A * D * : B * C * B * D * ; б) ∠(DA, AC) − ∠(DB, BC) = ∠(D * B * , B * C * ) − ∠(D * A * , а) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число − b a − c , называемое простым отношением трёх комплексных чисел, ве- щественно. б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число − c a − d : b − c b − d , называемое двойным отношением четырёх комплексных чисел, вещественно. 29.37*. а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB · CD + BC · AD > AC · BD неравенство Птолемея). б) Докажите, что если A 1 , A 2 , . . . , A 6 — произвольные точки плоскости, тов) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырёхугольник. г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A 1 . . . A 6 — вписанный шестиугольник. 29.38*. Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, аи длины его диагоналей, то m 2 n 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 − 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер). Условия задач 541 29.39*. Даны треугольники прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через соответственно) основание перпендикуляра, опущенного напрямую из точки A соответственно B, C), а через соответственно B 2 , C 2 ) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A 1 A 2 , B 1 B 2 , C 1 C 2 , пересекаются водной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности. 29.40*. Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника а) Даны точка X и треугольник ABC. Докажите, что где a, b, c — длины сторон треугольника. б) На сторонах BC, CA, AB взяты точки A 1 , B 1 , C 1 . Пусть a, b, c — длины сторон треугольника ABC, a 1 , b 1 , c 1 — длины сторон треугольника A 1 B 1 C 1 , S — площадь треугольника ABC. Докажите, что 6 a 2 b 1 c 1 + b 2 a 1 c 1 + Дан неравносторонний треугольник ABC. Точки A 1 , и выбраны так, что треугольники BA 1 C, CB 1 A и AC 1 B собственно подобны. Докажите, что треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом при вершинах A 1 , и На сторонах аффинно правильного многоугольника A 1 A 2 . . . с центром O внешним образом построены квадраты A j+1 A j B j C j+1 (j = 1, . . . , n). Докажите, что отрезки и OA j перпендикулярны, а их отношение равно 2(1 − На сторонах выпуклого угольника внешним образом построены правильные угольники. Докажите, что их центры образуют правильный угольник тогда и только тогда, когда исходный угольник аффинно правильный. 29.45*. Вершины треугольника соответствуют комплексным числами, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то + w + abczw = a + b + c (Морли). 29.46*. Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в и W * . Докажите, что середина отрезка лежит на вписанной окружности Глава 29. Аффинные преобразования 29.47*. Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника ABC с центром — середина отрезка. Докажите, что ∠AOZ + ∠AOW + ∠AOM = углы ориенти- рованы). См. также задачи 4. Эллипсы Штейнера Согласно задаче 29.6 б) для данного треугольника ABC существует единственное аффинное преобразование, которое переводит правильный треугольник в данный треугольник. Образ вписанной окружности правильного треугольника при таком преобразовании называют вписанным эллипсом Штейнера, а образ описанной окружности — описанным эллипсом Штей- нера. Вписанный эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в данный треугольника описанный — наименьшую среди всех описанных. Это легко доказывается, если перевести эллипс в окружность аффинным преобразованием и воспользоваться тем, что при аффинном преобразовании сохраняется отношение площадей. 29.48*. Найдите уравнения эллипсов Штейнера в барицентрических координатах. Точкой Штейнера называют точку пересечения описанного эллипса Штей- нера с описанной окружностью треугольника, отличную от вершин тре- угольника. 29.49*. Найдите барицентрические координаты точки Штейнера. З а меча ни е. Отметим без доказательства, что касательная в точке касания вписанной окружности и окружности девяти точек касается также и вписанного эллипса Штейнера. Тоже самое верно и для вневписанных окружностей. Решения 29.1. Нам надо доказать, что если A 0 , B 0 , C 0 — образы точек A, B, C при растяжении относительно прямой l с коэффициентом k и точка C лежит на прямой AB, то точка лежит на прямой A 0 B 0 . Пусть # – AC = t # – AB. Обозначим через, проекции точек A, B, C напрямую, и пусть a = # – A 1 A, b = # – B 1 B, c = # – C 1 C, a 0 = # – A 1 A 0 , b 0 = # – B 1 B 0 , c 0 = # – C 1 C 0 , x = # – A 1 B 1 , y = # – A 1 C 1 . Из того, что при проекции напрямую сохраняется отношение длин пропорциональных векторов, следует, что y = tx и y + (c − a) = t(x + (b − a)). Вычитая первое равенство из второго, получаем (c − a) = t(b − a). По определению растяжения a 0 = k a, b 0 = k b, c 0 = k c, поэтому – A 0 C 0 = y + k(c − a) = tx + k(t(b − a)) = t(x + k(b − a)) = = t # По определению образы прямых — прямые, а из взаимной однозначности аффинного преобразования следует, что образы непересекающихся прямых не пересекаются Решения задач 543 29.3. Пусть # – AB = # – CD. Рассмотрим сначала случай, когда точки A, B, C, не лежат на одной прямой. Тогда ABDC — параллелограмм. Из предыдущей задачи следует, что A 1 B 1 D 1 C 1 — тоже параллелограмм, поэтому # – A 1 B 1 = # Пусть теперь точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Возьмём такие точки E и F, не лежащие на этой прямой, что # – EF = # – AB. Пусть и F 1 — их образы. Тогда # – A 1 B 1 = # – E 1 F 1 = # – C 1 D 1 29.4. a) L( #– 0 ) = L( # – AA) = # – L(A)L(A) = #– 0 б) L( # – AB + # – BC) = L( # – AC) = # – L(A)L(C) = # – L(A)L(B) + # – L(B)L(C) = L( # – AB) + L( # в) Предположим сначала, что число k натуральное. Тогда) = L(a + . . . + a | {z } k ) = L( a) + . . . + L(a) | {z } k = и L(ka) + L(−ka) = L(ka − ka) = L( #– 0 ) = #– 0 , поэтому L(−ka) = −L(ka) = Пусть теперь k = m/n — рациональное число. Тогда nL(ka) = L(nka) = = L(m a) = mL(a), поэтому L(ka) = mL(a)/n = kL(a). Наконец, если k — любое действительное число, то всегда найдётся последовательность рациональных чисел, сходящаяся к k например, последовательность десятичных приближений. Поскольку L непрерывно, то) = L( lim n→∞ k n a) = lim n→∞ k n L( a) = В силу задачи 29.4 в) из условия q # – AC = p # – CB следует, что q # – A 0 C 0 = = qL( # – AC) = L(q # – AC) = L(p # – CB) = pL( # – CB) = p # а) Зададим отображение L следующим образом. Пусть X — произвольная точка. Поскольку e 1 , e 2 — базис, существуют однозначно определённые числа и такие, что # – OX = x 1 e 1 + x 2 e 2 . Поставим в соответствие точке такую точку X 0 = L(X), что – O 0 X 0 = x 1 e 0 1 + x 2 e 0 2 . Так как e 0 1 , e 0 2 — тоже базис, полученное отображение взаимно однозначно. (Обратное отображение строится аналогично) Докажем, что любая прямая AB при отображении L переходит впрямую. Пусть A 0 = L(A), B 0 = L(B) и a 1 , a 2 , b 1 , b 2 — координаты точек ив базисе, e 2 , те. такие числа, что # – OA = a 1 e 1 + a 2 e 2 , # – OB = b 1 e 1 + Рассмотрим произвольную точку C прямой AB. Тогда # – AC = k # – AB при некотором, те+ Следовательно, если C 0 = L(C), тот. е. точка лежит на прямой Единственность отображения L следует из результата задачи. В самом деле, L( # – OX) = x 1 L( e 1 ) + x 2 L( e 2 ), те. образ точки X однозначно определяется образами векторов e 1 , и точки б) Для доказательства можно воспользоваться предыдущей задачей, положив в) Следует из задачи б) и из того, что параллельные прямые переходят в параллельные. |