Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
§ 1. Равносоставленные фигуры 25.1. Разрежьте произвольный треугольник на 3 части и сложите из них прямоугольник. 25.2. Разрежьте произвольный треугольник на части, из которых можно составить треугольник, симметричный исходному относительно некоторой прямой (части переворачивать нельзя). 25.3. Разрежьте правильный треугольник шестью прямыми на части и сложите из них 7 одинаковых правильных треугольников. 25.4*. Разрежьте правильный шестиугольник на 5 частей и сложите из них квадрат. * * * 25.5*. Разрежьте квадрат на 6 частей и сложите из них три одинаковых квадрата. 25.6*. Даны два параллелограмма равной площади с общей стороной. Докажите, что первый параллелограмм можно разрезать на части и сложить из них второй. 25.7*. Докажите, что любой прямоугольник можно разрезать на части и сложить из них прямоугольник со стороной а) Докажите, что любой многоугольник можно разрезать на части и сложить из них прямоугольник со стороной 1. Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия б) Даны два многоугольника равной площади. Докажите, что первый многоугольник можно разрезать на части и сложить из них второй. См. также задачу 2. Разрезания на части, обладающие специальными свойствами 25.9. Разрежьте фигуру, изображённую на рис. 25.1, на 4 равные части. 25.10. Существует ли треугольник, который можно разрезать: Рис. а) наб) на 5 равных треугольников, подобных исходному? 25.11*. а) Докажите, что любой неравносторон- ний треугольник можно разрезать на неравные треугольники, подобные исходному. б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на неравные правильные треуголь- ники. 25.12*. Разрежьте квадрат на 8 остроугольных треугольников. 25.13*. Можно ли какой-нибудь невыпуклый 5-угольник разрезать на два равных 5-угольника? 25.14*. Разрежьте произвольный тупоугольный треугольник на остроугольных. 25.15*. Разрежьте разносторонний треугольник на 7 равнобедренных, три из которых равны. См. также задачу 3. Свойства частей, полученных при разрезаниях 25.16. а) В выпуклом угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на несколько многоугольников. Докажите, что у каждого из них не более n сторон. б) * Докажите, что если n чётно, то у каждого из полученных многоугольников не более n − 1 сторон. 25.17. Докажите, что если угольник разрезан произвольным образом на k треугольников, то k > n − На квадратном листе бумаги нарисовано n прямоугольников со сторонами, параллельными сторонам листа. Никакие два из этих прямоугольников не имеют общих внутренних точек. Докажите, что если вырезать эти прямоугольники, то количество кусков, на которые распадается оставшаяся часть листа, не превосходит + 1. Условия задач 481 25.19*. Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD — трапеция или параллелограмм. 25.20*. В квадрате со стороной 1 проведено конечное число отрезков, параллельных его сторонам, причём эти отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин отрезков равна 18. Докажите, что площадь одной из частей, на которые разбит квадрат, не меньше Треугольник, все углы которого не превосходят 120 ◦ , разрезан на несколько треугольников. Докажите, что хотя бы у одного из полученных треугольников все углы не превосходят См. также задачи 4. Разрезания на параллелограммы 25.22*. Докажите, что следующие свойства выпуклого многоугольника эквивалентны 1) F имеет центр симметрии 2) F можно разрезать на параллелограммы. 25.23*. Докажите, что если выпуклый многоугольник можно разрезать на центрально симметричные многоугольники, то он имеет центр симметрии. 25.24*. Докажите, что любой правильный угольник можно разрезать на ромбы. 25.25*. Правильный восьмиугольник со стороной 1 разрезан на параллелограммы. Докажите, что среди них есть по крайней мере два прямоугольника, причём сумма площадей всех прямоугольников равна 2. § 5. Плоскость, разрезанная прямыми прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите всевозможные значения n, меньшие Пусть на плоскости проведено n попарно непараллельных прямых, никакие три из которых не пересекаются водной точке. В задачах 25.27 — 25.31 рас- сматриваются свойства фигур, на которые эти прямые разбивают плоскость. При этом фигуру называют p-звенной, если она ограничена p звеньями (т. е. отрезками или лучами). 25.27. Докажите, что при n = 4 среди полученных частей есть че- тырёхугольник. 25.28. а) Найдите число всех полученных фигур. б) Найдите число ограниченных фигур, те. многоугольников. 25.29. а) Докажите, что при n = 2k среди полученных фигур не более 2k − 1 углов. б) Может ли при n = 100 среди полученных фигур быть только три угла Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия 25.30*. Докажите, что если среди полученных фигур есть p-звенная и q-звенная, то p + q 6 n + Докажите, что при n > 3 среди полученных частей не менее − 2)/3 треугольников. Откажемся теперь от предположения, что никакие три из рассматриваемых прямых не пересекаются водной точке. Если P — точка пересечения двух или нескольких прямых, то количество прямых данной системы, проходящих через точку P, будем обозначать Докажите, что количество отрезков, на которые данные прямые разбиты точками их пересечения, равно Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно 1 + n + P( l (P) − 1), причём среди этих частей 2n неограниченных. 25.34*. Части, на которые плоскость разрезана прямыми, раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу. Пусть a — количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что 2b − 2 − X ( l (P) − 2), причём равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы 6. Разные задачи на разрезания 25.35*. Можно ли невыпуклый четырёхугольник разрезать двумя прямыми на 6 частей? 25.36*. Докажите, что любой выпуклый угольник, где n > можно разрезать на выпуклые пятиугольники. 25.37*. Докажите, что семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники. 25.38*. Докажите, что для любого натурального n, где n > 6, квадрат можно разрезать на n квадратов. 25.39*. Докажите, что выпуклый угольник нельзя разрезать диагоналями на 7 пятиугольников. 25.40*. Можно ли разрезать правильный треугольник на выпуклых многоугольников так, чтобы любая прямая имела общие точки не более чем сиз них? 25.41*. Квадратный лист бумаги разрезают прямой на две части. Одну из полученных частей разрезают на две части, итак делают несколько раз. Какое наименьшее число разрезаний нужно сделать, чтобы среди полученных частей оказалось 100 двадцатиуголь- ников? 25.42*. а) Докажите, что из пяти попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник Условия задач 483 б) Докажите, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник. 25.43*. Прямоугольник разрезан на прямоугольники, длина одной из сторон каждого из которых — целое число. Докажите, что длина одной из сторон исходного прямоугольника — целое число. См. также задачи 23.18 и 23.19 § 7. Разбиение фигур на отрезки 25.44. Докажите, что четырёхугольник (с границей и внутренностью) можно разбить на отрезки, те. представить в виде объединения непересекающихся отрезков. 25.45*. Докажите, что треугольник можно разбить на отрезки. 25.46*. Докажите, что круг можно разбить на отрезки. 25.47*. Докажите, что плоскость можно разбить на отрезки 8. Покрытия 25.48*. На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нём отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите, что в нём найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольника) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее Прожектор освещает угол величиной 90 ◦ . Докажите, что в любых четырёх заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость. 25.53*. Длина проекции фигуры Φ на любую прямую не превосходит. Верно ли, что Φ можно накрыть кругом диаметра а) б) Докажите, что любые n точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия их диаметров меньше n и расстояние между любыми двумя из них больше На круглом столе радиуса R расположено без наложений круглых монет радиуса r, причём больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что R/r 6 2 √ n + См. также задачи 9. Замощения костями домино и плитками Рис. Замостите обычную шахматную доску плитками, изображёнными на рис. Из шахматной доски со стороной а) б) 6n + 1 выброшена одна клетка. Докажите, что оставшуюся часть доски можно замостить плитками, изображёнными на рис. Вырежьте из обычной шахматной доски одну клетку так, чтобы оставшуюся часть можно Рис. было замостить плитками размером 1 × Прямоугольник размером 2n × 2m замостили костями домино 1 × 2. Докажите, что на этот слой костей можно положить второй слой так, что ни одна кость второго слоя не совпадёт с костью первого слоя. 25.60*. Прямоугольник покрыт в два слоя карточками (над каждой клеткой лежат ровно две карточки. Докажите, что карточки можно разбить на два непересекающихся множества, каждое из которых покрывает весь прямоугольника) Можно ли квадрат 6 × 6 замостить костями домино 1 × так, чтобы не было шва, те. прямой, не разрезающей костей? б) Докажите, что любой прямоугольник m × n, где m и n больше и mn чётно, можно замостить костями домино так, чтобы не было «шва». в) Докажите, что прямоугольник 6 × 8 можно замостить костями домино так, чтобы не было «шва». 25.62*. Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий. а) Докажите, что если M — выпуклый угольник, где n > 7, то паркет сложить нельзя. б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно. См. также задачу Решения задач 10. Расположение фигур на плоскости 25.63*. Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов такого же размера. Решения 25.1. Пусть A — наибольший угол треугольника ABC. Тогда углы B и C острые. Проведя разрезы через середины сторон AB и AC перпендикулярно переставим полученные части, как показано на рис. Рис. Рис. Рис. Пусть A — наибольший угол треугольника. Разрежем треугольник ABC на равнобедренные треугольники и переставим их, как показано на рис. 25.5. 25.3. Сложим 7 одинаковых правильных треугольников, как показано на рис. 25.6. Тогда ABC — правильный треугольник. Ясно, что заштрихованные треугольники равны. Теперь легко понять, что на рис. 25.6 фактически изображено, как разрезать правильный треугольник ABC шестью прямыми на части, из которых можно сложить 7 одинаковых правильных треугольников Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия 25.4. Требуемые разрезы изображены на рис. 25.7. Отрезок AB равен стороне квадрата, площадь которого равна площади шестиугольника. Остальные разрезы проводятся очевидным образом. Рис. Мы будем решать обратную задачу разрежем три квадрата со стороной и сложим из них квадрат со стороной. Требуемые разрезы изображены на рис. Рис. Рис. На рис. 25.9 показано, как это сделать. 25.7. Нужно доказать, что если есть два прямоугольника со сторонами a, и c, d, причём ab = cd = S, то первый прямоугольник можно разрезать на части и сложить из них второй. Пусть для определённости a 6 b и c 6 d. Тогда Решения задач 487 Рис. 25.10 c 6 √ S 6 b и a 6 d. Отрежем от обоих прямоугольников по два прямоугольных треугольника с катетами a и c, как показано на рис. 25.10. Заштрихованные параллелограммы равновелики и имеют сторону длиной+ c 2 , поэтому один параллелограмм можно разрезать на части и сложить из них второй (см. задачу 25.6 ). 25.8. а) Для решения этой задачи нужно воспользоваться результатами задачи. Сначала разрезаем многоугольник непересекающи- мися диагоналями на треугольники. Каждый из этих треугольников разрезаем на части и складываем из них прямоугольник. Полученные прямоугольники разрезаем на части и складываем из них прямоугольники со стороной Ясно, что из нескольких прямоугольников со стороной 1 можно сложить один прямоугольник со стороной б) Разрежем первый многоугольник на части и сложим из них прямоугольник со стороной 1. Так как второй многоугольник можно разрезать на части и сложить из них этот прямоугольник, то и прямоугольник можно разрезать на части и сложить из них второй многоугольник (при этом части, на которые был разрезан первый многоугольник, будут разрезаны на более мелкие части). 25.9. Требуемые разрезы изображены на рис. Рис. Рис. Риса) Существует. Из трёх одинаковых прямоугольных треугольников с углом можно сложить один прямоугольный треугольник с углом как показано на рис. б) Требуемым образом можно разрезать любой прямоугольный треугольник (рис. 25.13). Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия Рис. а) Можно считать, что BC/AC = k > 1. Приложим к треугольнику треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 (см. рис. 25.14). Может оказаться,что треугольники 4 и 5 равны, те. В этом случае дополним конструкцию треугольниками 6 и 7, а треугольник 5 заменим треугольником 8. Тогда треугольники 7 и 8 неравны, те. В самом деле, так как + k 3 = k 4 , то k 6 = k 2 (k + k 3 ) = k 3 + k 5 < k + k 3 + б) Предположим, что правильный треугольник разрезан на неравные правильные треугольники. Стороны двух треугольников разбиения не могут совпадать. Будем рассматривать только стороны треугольников разбиения, лежащие внутри (не на границе) исходного треугольника пусть N — число таких сторон. Возникает три типа вершин треугольников разбиения (см. рис. Из каждой вершины го, го иго типа выходит соответственно 4, 12 и 6 сторон. Пусть n 1 , и n 3 — количества точек го, го иго типа. Тогда N = (4n 1 + 12n 2 + 6n 3 )/2 = 2n 1 + 6n 2 + Каждой точке го типа можно сопоставить 3 стороны (на рис. 25.15 это стороны AB, OP и OQ). Легко проверить, что каждая сторона будет соответствовать хотя бы одной точке го типа. Следовательно, N 6 3n 3 , а значит+ 6n 2 6 0. В частности, n 1 = 0, те. разбиение состоит лишь из исходного треугольника. Рис. 25.15 Решения задач 489 25.12. Требуемые разрезы изображены на рис. 25.16; пунктирные полуокружности показывают, что все полученные треугольники остроугольные. Рис. Да, можно. См. риса или рис. 25.17, б. Рис. Пусть ∠ACB > и O — центр вписанной окружности S треугольника. Проведём к S касательные через точки пересечения с отрезками OA и OB и обозначим получившиеся углы, как показано на рис. 25.18. Последовательно вычисляя углы, получаем, что Рис. 25.18 Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия f 2 = ( p − f 1 )/2 = ( p + a )/4 < p /2 (аналогично f 0 2 = ( p + b )/4), f 3 = p − f 2 − g /2 = = 3 p /4 − a /4 − g /2 < p /2 + ( p /4 − g /2) < p /2, f 4 = p − 2 f 2 = ( p − a )/2 < p /2 и f 5 = = p − f 2 − f 0 2 = p /2− a /4− b /4< p /2. Аналогично доказывается, что и все остальные углы семи треугольников, изображённых на рис. 25.18, меньше Пусть AB — наибольшая сторона треугольника ABC и AC > BC. Возь- мм сначала на стороне AB точку D так, что AD = AC, затем на BC — точку так, что BE = BD, затем на AC — точку F так, что CF = CE, затем на AB — точку так, что AG = AF рис. 25.19). Тогда GD = FC = CE. Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC. Так как ∠CAO = ∠DAO и CA = DA, то = 4DAO, поэтому OC = OD. Аналогично OF = OG, OC = OG и OD = Поэтому OE = OD = OC = OG = OF, те. на рис. 25.19 изображено требуемое разбиение. Рис. а) Прямая, на которой лежит сторона многоугольника разбиения, проходит через две вершины исходного многоугольника, а через каждую вершину исходного многоугольника может проходить не более двух таких прямых. Поэтому число сторон многоугольника разбиения не больше числа вершин исходного многоугольника. б) Те же самые рассуждения, что и при решении задачи а, показывают, что полученный многоугольник имеет не более n сторон, причём если число его сторон равно n, то из каждой вершины исходного многоугольника выходят ровно две диагонали, ограничивающих полученный многоугольник. Пусть из вершины выходят две диагонали и A 1 A q , ограничивающие полученный многоугольник. Тогда и A q — соседние вершины, поскольку иначе внутри угла была бы диагональ, разрезающая полученный многоугольник. Действительно, вершину, лежащую между и A q , нужно было бы соединить с вершиной, лежащей между и или между и Изменив при необходимости направление нумерации вершин, можно считать, что q = p + 1 и p 6 n/2. Если исключить диагональ A 1 A p+1 , то любая другая диагональ, ограничивающая полученный многоугольник, соединяет одну из вершин с номером от 2 до p с некоторой вершиной. Поэтому всего у полученного многоугольника может быть не более 1 + n 2 − 1 · 2 = n − 1 сторон. Чтобы получить пример угольника, при разрезании которого получается − угольник, можно взять правильный (n − угольники отрезать от него маленький треугольник, те. вместо вершины взять две вершины A 0 и расположенные на сторонах и вблизи вершины Если угольник разрезан на k треугольников, то каждый его угол состоит из углов этих треугольников. Поэтому сумма углов много Решения задач 491 угольника не больше суммы углов треугольников, те или − 2 6 Сумма внешних углов многоугольника, прилегающих к внутренним углам, меньшим p , не меньше см. задачу. Внешние углы фигур, на которые распадается оставшаяся часть листа, являются либо внешними углами квадрата, либо внутренними углами вырезанных прямоугольников. Поэтому сумма всех внешних углов этих фигур не превосходит 2 p (n + те. количество фигур не превосходит n + Пусть отрезок MN, где точки M и N лежат на сторонах AB и разрезает четырёхугольник ABCD на два подобных четырёхугольника. Тогда угол AMN четырёхугольника AMND равен одному из углов четырёх- угольника NMBC. С другой стороны, ∠NMB = 180 ◦ − ∠AMN. Поэтому если = ∠NMB, то ∠NMB = 90 ◦ , а если угол AMN равен другому углу четырёхугольника NMBC, тов этом четырёхугольнике есть два угла, составляющих в сумме 180 ◦ . Проведя аналогичные рассуждения для угла получаем, что либо AB ⊥ MN и CD ⊥ MN и тогда AB k CD), либо в четырёх- угольнике NMBC есть два угла, составляющие в сумме 180 ◦ ; без ограничения общности можно считать, что один из них — угол Если ∠BMN + ∠MNC = 180 ◦ , то BM k Если ∠BMN + ∠MBC = 180 ◦ , то MN k BC. Поэтому либо AD k MN, либо k Если ∠BMN + ∠BCN = 180 ◦ , то четырёхугольники NMBC и AMND вписанные. Следовательно, ∠BCN = 180 ◦ − ∠BMN и ∠ADN = 180 ◦ − ∠AMN = те Сумма длин границ всех фигур, на которые разбит квадрат, равна · 18 + 4 = 40. В самом деле, проведённые отрезки дают двукратный вклад в эту сумму, а стороны квадрата однократный. Пусть для й фигуры сумма длин горизонтальных частей границы равна 2x i , вертикальных 2y i , а её площадь равна s i . Тогда эту фигуру можно заключить в прямоугольник со сторонами и y i , поэтому x i y i > s i , а значит, x i + y i > 2 √ x i y i > 2 √ s i . Следовательно, те Предположим, что s i < 0,01 для всех i. Тогда 0,1 и 1 = P s i < 0,1 P те. Получено противоречие. |