Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 58 из 70

§ 3. Построения одним циркулем
По традиции, идущей от древних греков, в геометрии обычно рассматриваются построения циркулем и линейкой. Но можно также производить построения с помощью других инструментов, а ещё можно, например,
рассмотреть построения с помощью одного лишь циркуля без линейки.
С помощью одного циркуля, естественно, нельзя построить сразу все точки прямой. Поэтому мы договоримся считать, что прямая построена, если построены две её точки. Оказывается, что при таком условии с помощью циркуля можно выполнить все построения, которые можно выполнить с помощью циркуля и линейки. Это следует из возможности построить одним циркулем точки пересечения прямой, заданной двумя точками,
с окружностью (задача
28.22
а) и точку пересечения двух прямых (задача б, так как любое построение циркулем и линейкой представляет собой последовательность нахождений точек пересечения окружностей и прямых.
В этом параграфе рассматриваются построения одним циркулем без помощи линейки, те. слово постройте означает постройте пользуясь одним только циркулем. При этом отрезок считается построенным, если построены его концы.
28.16.
а) Постройте отрезок, который в два раза длиннее данного отрезка.
б) Постройте отрезок, который враз длиннее данного от- резка.
28.17.
Постройте точку, симметричную точке A относительно прямой, проходящей через данные точки B и Постройте образ точки A при инверсии относительно данной окружности S сданным центром Постройте середину отрезка сданными концами.
28.20*.
Постройте окружность, в которую переходит данная прямая при инверсии относительно данной окружности сданным центром O.

Глава 28. Инверсия
28.21*.
Постройте окружность,
проходящую через три данные точки.
28.22*.
а)
Постройте точки пересечения данной окружности и прямой, проходящей через данные точки A и б) Постройте точку пересечения прямых и A
2
B
2
, где A
1
, и B
2
— данные точки 4. Сделаем инверсию
28.23.
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис. 28.1). Найдите множество их точек касания.
Рис. Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.
28.25.
Докажите,
что инверсия с
центром в
вершине
A
рав- нобедренного треугольника ABC (AB = AC) и степенью переводит основание BC треугольника в дугу BC описанной окруж- ности.
28.26*.
В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
28.27*.
Никакие три из четырёх точек A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями треугольников ACD и Через точки
A
и
B
проведены окружности
S
1
и
S
2
,
касающиеся окружности
S,
и окружность
S
3
,
перпендикуляр- ная S. Докажите, что образует равные углы с окружностями
S
1
и Две окружности, пересекающиеся в точке A, касаются окружности (или прямой) в точках и C
1
, а окружности (или прямой) в точках и C
2
(причём касание в и такое же, как в и C
1
). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников и AB
2
C
2
, касаются друг друга.
28.30*.
Окружность проходит через точки A и C; окружность проходит через точки B и C; центры обеих окружностей лежат на пря-

Условия задач
521
мой AB. Окружность S касается окружностей и S
B
, а кроме того,
она касается отрезка AB в точке C
1
. Докажите, что CC
1
— биссектриса треугольника а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (Фейербах).
б) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки итак, что AC
1
= и вписанная окружность S треугольника является вневписанной окружностью треугольника AB
1
C
1
. Докажите,
что вписанная окружность треугольника касается окружности,
проходящей через середины сторон треугольника ABC.
§ 5. Точки, лежащие на одной окружности,
и окружности, проходящие через одну точку
28.32.
Даны четыре окружности, причём окружности и пересекаются с обеими окружностями и S
4
. Докажите, что если точки пересечения си с лежат на одной окружности или прямой,
то и точки пересечения си с лежат на одной окружности или прямой (рис. Рис. Рис. Даны четыре окружности S
1
, S
2
, S
3
, S
4
. Пусть и пересекаются в точках и A
2
, ив точках и ив точках и C
2
, ив точках ирис. Докажите, что если точки A
1
, B
1
, C
1
, лежат на одной окружности или прямой, то и точки A
2
, B
2
, C
2
, лежат на одной окружности
(или прямой

Глава 28. Инверсия
28.34*.
Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN рис. Рис. Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите,
что пять точек пересечения этих окружностей, отличных отлежат на одной окружности.
28.35*.
На плоскости взяты шесть точек A
1
, A
2
, A
3
, B
1
, B
2
, Докажите, что если описанные окружности треугольников и проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B
1
B
2
A
3
, и пересекаются водной точке.
28.36*.
На плоскости взяты шесть точек A
1
, A
2
, B
1
, B
2
, C
1
,
C
2
. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников, проходят через одну точку,
то и окружности, описанные около треугольников A
2
B
2
C
2
, A
2
B
1
C
1
,
A
1
B
2
C
1
, A
1
B
1
C
2
, проходят через одну точку.
28.37*.
В этой задаче мы будем рассматривать наборы из n прямых общего положения, те. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку.
Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие их точку пересечения, а набору из трёх прямых общего положения окружность, проходящую через три точки пересечения. Если l
1
,
l
2
, l
3
, l
4
— четыре прямые общего положения, то четыре окружности, соответствующие четырём тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой l
i
, проходят через одну точку (см. задачу
2.88
а),
которую мы и поставим в соответствие четвёрке прямых. Эту конструкцию можно продолжить

Условия задача) Пусть l
i
, i = 1, . . . , 5 — пять прямых общего положения. Докажите, что пять точек A
i
, соответствующих четвёркам прямых, получаемых отбрасыванием прямой l
i
, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что эту цепочку можно продолжить, поставив в соответствие каждому набору из n прямых общего положения точку прич тном n и окружность при нечётном n, так, что n окружностей
(точек), соответствующих наборам из n − 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности).
28.38*.
Пусть на двух пересекающихся прямых и выбраны точки и M
2
, не совпадающие сточкой пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через и Если (l
1
, M
1
), (l
2
, M
2
), (l
3
, M
3
) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче
2.83
а) три окружности, соответствующие парами) и (l
3
, M
3
), (l
3
, и (l
1
, M
1
), пересекаются водной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с выбранными на них точками.
а) Пусть l
1
, l
2
, l
3
, l
4
— четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причём эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам,
получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окруж- ности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечётном n) или окружность (прич тном n) так, что n окружностей (точек прич тном n), соответствующих наборам из n − 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности прич тном n).
§ 6. Цепочки окружностей
28.39*.
Окружности S
1
, S
2
, . . . , касаются двух окружностей и и, кроме того, касается в точке A
1
, касается в точке A
2
, ..., касается в точке A
n−1
. Докажите, что точки, A
2
, . . . , лежат на одной окружности.
28.40*.
Докажите, что если существует цепочка окружностей S
1
,
S
2
, . . . , S
n
, каждая из которых касается двух соседних (касается и S
1
) и двух данных непересекающихся окружностей и то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности, касающейся и одинаковым образом, если и не лежат одна в другой, внешними внутренним образом в противном случае, существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей, T
n
(поризм Штейнера).
28.41*.
Докажите, что для двух непересекающихся окружностей и цепочка из n касающихся окружностей (см. предыдущую задачу

Глава 28. Инверсия существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями
T
1
и T
2
, касающимися ив точках их пересечения с прямой,
соединяющей центры, равен целому кратному угла 360
◦
/n рис. Рис. Рис. Каждая из шести окружностей касается четырёх из оставшихся пяти (рис. 28.6). Докажите, что для любой пары несоприкаса- ющихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением d
2
= r
2 1
+ r
2 2
± плюс — если окружности не лежат одна внутри другой, минус — в противном случае).
Решения
28.1.
Пусть R
2
— степень инверсии. Тогда OA · OA
*
= OB · OB
*
= R
2
, откуда : OB = OB
*
: и ∼ 4OB
*
A
*
, поскольку ∠AOB = Опустим из точки O перпендикулярна прямую l и возьмём произвольную точку M на l. Из подобия треугольников OCM и OM
*
C
*
(задача
28.1
)
следует, что ∠OM
*
C
*
= ∠OCM = 90
◦
, те. точка лежит на окружности с диаметром OC
*
. Если X — какая-то точка S, отличная от O, то она является образом при инверсии точки Y пересечения прямых l итак как образ точки Y лежит, с одной стороны, на луче OX, ас другой стороны, как уже доказано, на окружности S). Итак, инверсия переводит прямую l в окружность без точки Случай, когда окружность S проходит через O, фактически был разобран в предыдущей задаче (и формально следует из не, так как (M
*
)
*
= Предположим теперь, что точка O не принадлежит S. Пусть A и B — точки пересечения окружности S с прямой, проходящей через O и центра произвольная точка S. Докажем, что образом S является окружность с диаметром A
*
B
*
. Для этого достаточно показать, что ∠A
*
M
*
B
*
= 90
◦
. Но согласно задаче 4OAM ∼ и ∼ 4OM
*
B
*
, следовательно = и ∠OMB = ∠OB
*
M
*
, точнее, ∠(OM, MA) = −∠(OA
*
, и ∠(OM, MB) = −∠(OB
*
, M
*
B
*
) чтобы не рассматривать различные случаи расположения точек, мы воспользуемся свойствами ориентированных

Решения задач
525
углов между прямыми, изложенными в гл. 2). Поэтому ∠(A
*
M
*
, M
*
B
*
) =
= ∠(A
*
M
*
, OA
*
) +
∠(OB
*
, M
*
B
*
) =
∠(OM, MA) + ∠(MB, OM) = ∠(MB, MA) = Если точка касания не совпадает с центром инверсии, то после инверсии эти окружности (окружность и прямая) будут по-прежнему иметь одну общую точку, те. касание сохранится.
Если окружности с центрами A и B касаются в точке O, то при инверсии с центром O они перейдут в пару прямых, перпендикулярных AB. Наконец,
если прямая l касается в точке O окружности с центром A, то при инверсии с центром O прямая l переходит в себя, а окружность — впрямую, перпендикулярную. В каждом из этих случаев получаем пару параллельных прямых.
28.5.
Проведём через точку пересечения окружностей касательные и Так как при инверсии касающиеся окружности и прямые переходят в касающиеся (см. задачу, то угол между образами окружностей равен углу между образами касательных к ним. При инверсии с центром O прямая переходит в себя или в окружность, касательная к которой в точке O параллельна. Поэтому угол между образами прямых и при инверсии с центром O равен углу между этими прямыми.
28.6.
Возьмём из прямой, соединяющей центры и данных окружностей, точку C так, чтобы касательные, проведённые к окружностям из точки C, были равны. Эту точку C можно построить, проведя радикальную ось окружностей (см. задачу. Пусть l — длина этих касательных. Окружность радиуса l с центром в C перпендикулярна и S
2
. Поэтому при инверсии с центром O, где O — любая из точек пересечения окружности с прямой O
1
O
2
, S перейдёт впрямую, перпендикулярную окружностями и, следовательно, проходящую через их центры. Но прямая тоже проходит через центры и S
*
2
, поэтому окружности и S
*
2
концентричны,
т. е. O — центр искомой инверсии.
В случае, когда не окружность, а прямая, роль прямой играет перпендикуляр, опущенный из точки на S
2
, точка C будет точкой его пересечения с S
2
, а l — длиной касательной, проведённой из C к Замечание. Точка O является предельной точкой пучка окружностей,
заданного окружностями и Пусть точка A лежит вне S, тогда лежит внутри S и ∠MA
0
N =
= (
MN + M
0
N
0
)/2 =
MN = ∠MON, те. четырёхугольник вписанный. Но при инверсии относительно S прямая MN перейдёт в окружность,
проходящую через точки M, N, O задача. Поэтому точка образ при инверсии) лежит на описанной окружности четырёхугольника По тем же причинам точки и принадлежат и окружности, проходящей через M
0
, и O. Но эти две окружности не могут иметь других общих точек,
кроме O и A
0
. Следовательно, A
*
= В случае, когда A лежит внутри S, применим уже доказанное к прямой
MN
0
и точке она находится вне S). Получим, что A = (A
0
)
*
. Но тогда Воспользуемся обозначениями задачи. Докажем, что при инверсии относительно описанной окружности окружность переходит в себя. Это эквивалентно тому, что описанная окружность ортогональна окружности те. при инверсии относительно окружности описанная окружность переходит в себя. При инверсии относительно окружности точка A переходит

Глава 28. Инверсия в себя, поэтому достаточно проверить, что точка B переходит в точку те, где O — середина отрезка DE. Пусть для определён- ности b < c. Тогда OD =
1 2

ab
c − b
+
ab
c + b

=
abc
c
2
− b
2
, OB = OD + DB =
ac
2
c
2
− и OC =
ab
2
c
2
− Пусть точка A лежит вне окружности S. Проведём через A прямую,
касающуюся S в точке M. Пусть MA
0
— высота треугольника OMA. Прямоугольные треугольники OMA и OA
0
M подобны, поэтому A
0
O : OM = OM : и OA
0
= R
2
/OA, те. точка искомая. Если же A находится внутри S, то выполним построение в обратном порядке проводим перпендикуляр AM к точка M лежит на окружности. Тогда касательная кв точке M пересекается с лучом OA в искомой точке A
*
. Доказательство повторяется дословно.
28.10.
Если обе данные точки A и B лежат на данной окружности или прямой, то задача решений не имеет. Пусть теперь точка A не лежит на S. При инверсии с центром A искомая окружность перейдёт в прямую,
проходящую через и касающуюся S
*
. Из этого вытекает следующее построение. Сделаем инверсию относительно произвольной окружности с центром A.
Проведём через касательную l к S
*
. Ещё раз сделаем инверсию. Тогда l
перейдёт в искомую окружность.
Если точка лежит на S
*
, то задача имеет единственное решение, если лежит вне S
*
, то решений два, а если внутри, тони одного.
28.11.
После инверсии с центром в данной точке окружности и перейдут в пару окружностей и окружность и прямую l; пару параллельных прямых и l
2
), а касающаяся их окружность — в общую касательную к и соответственно в касательную к S
*
, параллельную прямую, параллельную и l
2
). Поэтому для построения искомой окружности нужно построить прямую, касающуюся и касающуюся и параллельную параллельную и l
2
), и ещё раз сделать инверсию.
28.12.
Сведём эту задачу к задаче. Пусть окружность S радиуса касается окружностей S
1
, S
2
, радиусов r
1
, r
2
, соответственно. Касание окружности S с каждой из S
i
(i = 1, 2, 3) может быть как внешним, таки внутренним, поэтому всего возможно восемь различных случаев касания.
Пусть, например, S касается и внешним, а S
2
— внутренним образом
(рис. 28.7). Заменим окружности S, S
2
, на концентрические им окружности так, чтобы касалась S
0 и S
0 и проходила через центр окружности S
1
. Для этого достаточно, чтобы радиусы S
0
, S
0 2
, S
0 равнялись + r
1
, r
2
+ r
1
,
|r
3
− r
1
|. Обратно, по окружности S
0
, проходящей через и касающейся S
0 и S
0 внешне, если r
3
−r
1
>0, и внутренне, если r
3
−r
1
<0), мы можем построить окружность S, дающую решение задачи, уменьшив радиус на r
1
. Построение такой окружности описано в решении задачи
28.11
(если виды касания заданы, то окружность строится однозначно. Таким же способом можно выполнить построение ив остальных возможных вариантах касания.
28.13.
При инверсии с центром в данной точке A искомая окружность перейдёт впрямую, перпендикулярную образам данных окружностей и те. впрямую, соединяющую центры и S
*
2
. Таким образом, искомая окружность образ при этой инверсии произвольной прямой, проходящей через центры и S
*
2

Решения задач
527
Рис. Сделаем инверсию, переводящую окружности ив пару прямых
(если они имеют общую точку) или в пару концентрических окружностей
(см. задачу) с общим центром A. В последнем случае окружность, перпендикулярная им обеим, перейдёт впрямую, проходящую через A так как не существует окружностей, перпендикулярных двум концентрическим окружностям касательная, проведённая из A к S
*
, есть образ искомой окружности при этой инверсии. Если и S
*
2
— параллельные прямые, то образ искомой окружности — любая из двух прямых, перпендикулярных и и касающихся. Наконец, если и S
*
2
— пересекающиеся в некоторой точке B прямые,
то искомая окружность — это образ при инверсии любой из двух окружностей с центром B, касающихся После инверсии с центром в точке A задача сводится к построению прямой l, проходящей через B
*
, пересекающей окружность под углом a
, тек построению точки X на такой, что ∠B
*
XO = где O — центр S
*
. Эта точка лежит на пересечении с дугой, из которой отрезок B
*
O виден под углом а) Пусть AB — данный отрезок. Проведём окружность с центром радиуса AB. Отложив на этой окружности хорды AX, XY и YZ, равные по длине AB, мы получим равносторонние треугольники ABX, XBY и Поэтому ∠ABZ = и AZ = б) В решении задачи а) описано, как на прямой AB отложить отрезок равный AB. Повторив эту процедуру n − 1 раз, получим отрезок AC, причём
AC = nAB.
28.17.
Проведём окружности с центрами B и C, проходящие через Тогда отличная от A точка пересечения этих окружностей и будет ис- комой.
28.18.
Предположим сначала, что точка A лежит вне окружности S. Пусть и C — точки пересечения S и окружности радиуса AO с центром A. Про- ведём окружности с центрами B и C радиуса BO = CO; пусть O и A
0
— их

Глава 28. Инверсия точки пересечения. Докажем, что A
0
— искомая точка. Действительно, при симметрии относительно прямой OA окружности с центрами B и C переходят друг в друга, поэтому точка A
0
остаётся на месте. Следовательно, точка лежит на прямой OA. Равнобедренные треугольники OAB и OBA
0
подобны,
так как имеют равные углы при основании. Следовательно, OA
0
: OB = OB : или OA
0
= OB
2
/OA, что и требовалось.
Пусть теперь точка A лежит внутри S. Будем откладывать с помощью построения из задачи
28.16
а) на луче OA отрезки AA
2
, A
2
A
3
, . . . , A
n−1
A
n
, . . длины OA до тех пор, пока одна из точек не окажется вне окружности Применив к точке описанное выше построение, получим на OA точку такую, что OA
*
n
= R
2
/nOA = OA
*
/n. Для того чтобы построить точку A
*
, оста-
ётся только увеличить враз отрезок см. задачу
28.16
б).
28.19.
Пусть A и B — данные точки. Если точка C лежит на луче и AC = 2AB, то при инверсии относительно окружности радиуса AB сцен- тром A точка C перейдёт в середину отрезка AB. Построение сведено к задачам аи 28.18b28.20.bЦентром этой окружности является образ при инверсии точки симметричной O относительно AB. Остаётся применить задачи
28.17
и
28.18
28.21.
Пусть A, B, C — данные точки. Построим (задача) образы точек и C при инверсии с центром A и произвольной степенью. Тогда окружность,
проходящая через A, B и C, будет образом прямой при этой инверсии,
и её центр строится по предыдущей задаче.
28.22.
а) Пользуясь предыдущей задачей, построим центр O окружности Затем построим точки и B
*
— образы точек A и B при инверсии относительно. Образ прямой AB является окружностью S
1
, проходящей через точки A
*
, и O. Воспользовавшись задачей, построим S
1
. Искомые точки являются образами точек пересечения окружностей S и S
1
, те. просто точками пересечения S и б) Рассмотрим некоторую инверсию с центром A
1
. Прямая при этой инверсии переходит в окружность S, проходящую через точки A
1
, и Окружность S мы можем построить, воспользовавшись задачей. Затем построим точки пересечения S и прямой A
1
B
1
, воспользовавшись решением задачи а. Искомой точкой является образ точки пересечения, отличной от при рассматриваемой инверсии.
28.23.
При инверсии с центром в вершине A сегмента конфигурация, изоб- ражённая на рис. 28.1, перейдёт в пару касающихся окружностей, вписанных в угол с вершиной B
*
. Ясно, что множество точек касания таких окружностей это биссектриса угла, а искомое множество является её образом при инверсии — дугой окружности с концами AB, делящей пополам угол между дугой сегмента и хордой Пусть C — вершина данного угла. При инверсии с центром в точке прямая CB перейдёт в окружность S, а окружности ив окружность с центром O
1
, касающуюся S в точке B
*
, и прямую l, параллельную касающуюся в точке X рис. 28.8). Проведём в окружности S радиус ⊥ C
*
A. Точки O, и лежат на одной прямой, a OD k O
1
X. Поэтому, следовательно,
точка X лежит на прямой DB
*
. Ещё раз применив инверсию, получим, что искомое множество точек касания — это дуга AB окружности, проходящей через точки A, B и D
*

Решения задач
529
Рис. Рис. Данная инверсия переводит прямую BC в окружность, проходящую через точки A, B и C, причём образ отрезка BC должен остаться внутри угла Пусть и S
2
— окружности, вписанные в сегмент M, N — их точки пересечения (рис. 28.9). Покажем, что прямая MN проходит через точку окружности сегмента, равноудалённую от его концов A и B. Действительно,
согласно задаче
28.25
инверсия с центром P и степенью переводит отрезок в дугу AB, а окружности ив окружности и S
*
2
, по-прежнему вписанные в сегмент. Но касательные к S
1
, проведённые из P, касаются также и S
*
1
, поэтому S
*
1
= так как обе эти окружности одинаковым образом касаются трёх фиксированных прямых. Аналогично S
*
2
= S
2
, следовательно,
точки M и N меняются местами при инверсии, те и прямая проходит через центр инверсии.
З а меча ни е. По поводу другого решения см. задачу
3.45
28.27.
Сделаем инверсию с центром A. Интересующие нас углы будут равны тогда (см. задачу) соответственно углу между прямыми и и углу между прямой и описанной окружностью треугольника Оба этих угла равны половине дуги Сделав инверсию с центром A, мы получим три прямые, проходящие через B: прямые и касаются окружности S
*
, а ей перпендикулярна.
Таким образом, прямая проходит через центр и является биссектрисой угла, образованного и S
*
2
. Следовательно, окружность делит пополам угол между и Из условия на типы касания следует, что после инверсии сцен- тром A мы получим две окружности, вписанные в один и тот же угол или в пару вертикальных углов. В любом случае окружности и переводятся одна в другую гомотетией с центром A. Эта гомотетия переводит один отрезок, соединяющий точки касания, в другой. Поэтому прямые
B
*
1
C
*
1
и параллельны, а их образы при инверсии касаются в точке Сделаем инверсию с центром C, при которой прямая AB переходит в окружность S
0
, проходящую через точку пересечения окружностей и отличную от точки C). При такой инверсии окружности и переходят

Глава 28. Инверсия
Рис. в прямые, проходящие через центр окружности рис. 28.10). Ясно, что окружность касается окружности в середине дуги а) Пусть A
1
, и C
1
— середины сторон
BC,
CA
и
AB.
Дока- жем, например, что описанная окружность треугольника касается вписанной окружности S и вневписанной окружности S
a
, касающейся стороны Пусть точки
B
0
и
C
0
симметричны
B и C относительно биссектрисы угла те вторая общая внутренняя касательная кии точки касания окружностей S и со стороной BC,
D и E — точки пересечения прямых и с прямой B
0
C
0
. Согласно задаче, а значит, A
1
P = A
1
Q = |b − c|/2. Достаточно доказать,
что при инверсии с центром и степенью точки и переходят в D и E при этой инверсии окружности S и переходят в себя, а описанная окружность треугольника переходит впрямую Пусть K — середина отрезка CC
0
. Точка K лежит на прямой A
1
B
1
, причём
A
1
K = BC
0
/2 = |b − c|/2 = A
1
P. Кроме того, A
1
D : A
1
K = BC
0
: BA = A
1
K : те. Аналогично A
1
E · A
1
C
1
= б) Окружность S
0
, проходящая через середины сторон треугольника проходит ещё и через основания высот (задача. Пусть H — основание высоты, опущенной из вершины B, B
2
— середина стороны AC. Достаточно проверить, что инверсия с центром A и степенью AB
2
· AH =
b
2
c cos A = pr ctg переводит вневписанную окружность во вписанную окружность треугольника. Действительно, эта инверсия переводит окружность в себя,
а согласно задаче а) окружности и S
a
касаются.
Пусть X — середина отрезка AB
1
. Тогда C
1
X = r и AX = r ctg A. Остаётся заметить, что длина касательной из точки A к окружности равна После инверсии с центром в точке пересечения и получим прямые l
1
, и l, пересекающиеся водной точке. Прямая пересекает окружность в точках A и B, прямая пересекает в точках C и а прямая l проходит через точки пересечения этих окружностей. Поэтому точки A, B, C, D лежат на одной окружности (задача
3.10
).
28.33.
Сделаем инверсию с центром в точке A
1
. Тогда окружности и S перейдут в прямые A
*
2
D
*
1
, и D
*
1
B
*
1
, окружности ив окружности и S
*
4
, описанные около треугольников ирис. 28.11).
Проведём окружность через точки B
*
2
, D
*
2
, A
*
2
. Согласно задаче
2.83
а) она пройдёт через точку пересечения окружностей и S
*
4
. Таким образом,
точки A
*
2
, B
*
2
, C
*
2
, лежат на одной окружности. Следовательно, точки A
2
,
B
2
, C
2
, лежат на одной окружности или прямой.
28.34.
Пусть P, Q, R, S, T — точки пересечения окружностей S
1
, S
2
, S
3
,
S
4
, S
5
, о которых говорится в условии (см. рис. 28.4). Докажем, например,
что точки P, Q, R, S лежат на одной окружности. Проведём окружность Σ,

Решения задач
531
Рис. описанную около треугольника NKD. Применяя результат задачи
2.88
а)
(совпадающей с) к четырёхугольникам AKDE и BNDC, получаем, что окружности S
4
, и Σ пересекаются водной точке (в точке P) и окружности тоже пересекаются водной точке (в точке S). Следовательно,
окружность Σ проходит через точки P и S. Заметим теперь, что из восьми точек пересечения окружностей Σ, S
1
, S
2
, четыре, а именно N, A, B, лежат на одной прямой. Следовательно, согласно задаче
28.33
оставшиеся четыре точки P, Q, R, S лежат на одной окружности.
28.35.
После инверсии с центром в точке пересечения описанных окружностей треугольников A
1
A
2
B
3
, и эти окружности перейдут в прямые, а утверждение задачи сведётся к доказательству того, что описанные окружности треугольников B
*
1
B
*
2
A
*
3
, и проходят через одну точку, тек утверждению задачи
2.83
а).
28.36.
После инверсии с центром в точке пересечения описанных окружностей треугольников A
1
B
1
C
1
, A
1
B
2
C
2
, и мы получим четыре прямые и четыре окружности, описанные около образованных этими прямыми треугольников. Согласно задаче
2.88
а) эти окружности проходят через одну точку.
28.37.
а) Обозначим через точку пересечения прямых и l
j
, а через окружность, соответствующую трём оставшимся прямым. Тогда точка является отличной от точки точкой пересечения окружностей
S
15
и Повторив это рассуждение для всех точек A
i
, получаем, что они в силу задачи
28.34
лежат на одной окружности.
б) Докажем утверждение задачи по индукции, рассматривая отдельно случай чётного и нечётного Пусть n нечётно. Обозначим через точку, соответствующую набору из − 1 прямой, получаемому отбрасыванием прямой l
i
, а через A
ijk
— точку, соответствующую набору изданных прямых без прямых l
i
, и Аналогично обозначим через и окружности, соответствующие наборам из n − 2 и n − 4 прямых, получаемых отбрасыванием прямых l
i
, и l
i
, l
j
, l
k
, l
m

Глава 28. Инверсия
Для того чтобы доказать, что n точек A
1
, A
2
, . . . , лежат на одной окружности, достаточно доказать, что любые четыре из них лежат на одной окружности. Докажем это, например, для точек A
1
, A
2
, и A
4
. Так как точки и лежат на S
ij
, то окружности и пересекаются в точках и A
123
, окружности ив точках и A
234
, окружности
S
34
и S
41
— в точках и A
134
, окружности ив точках и A
124
. Но точки A
123
, A
234
, и лежат на одной окружности — окружности поэтому согласно задаче
28.33
точки A
1
, A
2
, и лежат на одной окруж- ности.
Пусть теперь n чётно; S
i
, A
ij
, S
ijk
, A
ijkm
— окружности и точки, соответствующие наборам из n − 1, n − 2, n − 3 и n − 4 прямых. Для того чтобы доказать, что окружности S
1
, S
2
, . . . , пересекаются водной точке, покажем, что это верно для любых трёх из них. (Этого достаточно при n > см. задачу) Докажем, например, что S
1
, и пересекаются водной точке. По определению точек и окружностей и точки A
12
, и лежат на окружности S
1
; A
12
, и A
24
— на S
2
; A
13
, и A
34
— на S
3
;
A
12
, и A
24
— на S
124
; A
13
, A
14
, A
34
— на S
134
; A
23
, A
24
, A
34
— на S
234
. Но три окружности S
124
, и проходят через точку поэтому согласно задаче
28.35
и окружности S
1
, и пересекаются водной точке.
28.38.
а) Обозначим через точку пересечения прямых и l
j
. Тогда точка, соответствующая тройке l
2
, l
3
, l
4
, — это точка пересечения описанных окружностей треугольников и M
3
M
4
M
34
. Рассуждая аналогично для точек A
2
, и A
4
, мы получим, что точки A
1
, A
2
, и лежат на одной окружности согласно задаче, так как точки M
1
, M
2
, M
3
, лежат на одной окружности.
б) Как ив задаче
28.37
б), докажем утверждение по индукции, рассматривая отдельно случаи чётного и нечётного Пусть n чётно и A
i
, S
ij
, и обозначают точки и окружности, соответствующие наборам из n − 1, n − 2, n − 3 и n − 4 прямых. Докажем, что точки, лежат на одной окружности. По определению точек и окружности и пересекаются в точках и A
123
; ив точках
A
3
и A
234
; ив точках и A
134
; ив точках и Точки A
123
, A
234
, и лежат на окружности S
1234
, поэтому согласно задаче
28.33
точки A
1
, A
2
, A
3
, лежат на одной окружности. Аналогично доказывается, что и любые четыре из точек и, следовательно, все они)
лежат на одной окружности.
Доказательство в случае нечётного n > 5 дословно повторяет доказательство утверждения задачи
28.37
б) для случая чётного Если окружности и пересекаются или касаются, то инверсия с центром в их точке пересечения переведёт окружности S
1
, S
2
, . . . , в окружности, касающиеся пары прямых и друг друга в точках A
*
1
, A
*
2
, . . .
. . . , A
*
n−1
, лежащих на биссектрисе угла, образованного прямыми и если и пересекаются, и на прямой, параллельной и R
*
2
, если эти прямые не пересекаются. Применив инверсию ещё раз, получим, что точки, A
*
2
, . . . , лежат на одной окружности.
Если же окружности и не пересекаются, то согласно задаче
28.6
найдётся инверсия, переводящая их в пару концентрических окружностей.
В этом случае точки A
*
1
, A
*
2
, . . . , лежат на окружности, концентрической си, а значит, точки A
1
, A
2
, . . . , лежат на одной окружности

Решения задач
533
28.40.
Сделаем инверсию, переводящую ив пару концентрических окружностей. Тогда окружности S
*
1
, S
*
2
, . . . , и равны между собой
(рис. 28.12). Повернув цепочку S
*
1
, . . . , вокруг центра окружности R
*
1
так,
чтобы перешла в T
*
1
, и сделав инверсию ещё раз, получим нужную цепочку, T
2
, . . . , Рис. Центр инверсии, переводящей окружности ив концентрические, лежит (см. решение задачи) на линии их центров. Поэтому, сделав
Рис. эту инверсию и учтя, что угол между окружностями и касание при этом сохраняется, мы сведём доказательство к случаю концентрических окружностей и с центром O и радиусами
r
1
и r
2
Проведём окружность S с центром P радиуса r
2
)/2, касающуюся изнутри и R
2
внешне,
и две окружности и радиуса (r
1
+ с центрами A и B, касающиеся ив их точках пересечения с прямой OP рис. Пусть OM и ON — касательные к S, проведён- ные из O. Очевидно, что цепочка из n окружностей, касающихся и R
2
, существует тогда и только тогда, когда угол MON равен в этом случае окружности цепочки m раз обегают окружность R
2
). Поэтому осталось доказать,
что угол между окружностями и равен ∠MON. Но угол между и равен углу между их радиусами, проведёнными в точку пересечения Кроме того = 4PON так как OP = r
1
− (r
1
− r
2
)/2 = (r
1
+ r
2
)/2 = AC,

Глава 28. Инверсия = (r
1
− r
2
)/2 = r
1
− ((r
1
+ r
2
)/2) = OA,
∠PNO = ∠AOC = Поэтому = 2∠ACO = 2∠PON = Пусть и R
2
— какая-либо пара несоприкасающихся окружностей.
Оставшиеся четыре окружности образуют цепочку, поэтому по предыдущей
Рис. задаче окружности и S
00
, касающиеся ив точках их пересечения с линией центров,
пересекаются под прямым углом (рис. Если лежит внутри R
1
, то радиусы и r
00
окружностей
S
0
и
S
00
равны
(r
1
+ r
2
+ и (r
1
+ r
2
− d)/2, а расстояние между их центрами. Угол между и равен углу между их радиусами, проведёнными в точку пересечения, поэтому (r
0
)
2
+ или, после преобразований r
2 1
+ r
2 2
− В случае, когда и не лежат одна внутри другой, радиусы окружностей и равны (d + (r
1
− r
2
))/2 и (d − (r
1
− r
2
))/2, а расстояние между центрами r
1
+ r
2
+ d − (r
0 1
+ r
0 2
) = r
1
+ r
2
. В результате получаем d
2
= r
2 1
+ r
2 2
+ 6r
1
r
2

ГЛАВА АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Аффинные преобразования
О пределен и е. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно непрерывно, взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая.
З а меча ни е. В действительности требование непрерывности здесь излишне непрерывность следует из взаимной однозначности итого, что преобразование переводит прямые в прямые. Поэтому поводу см. задачу
29.18
Частным случаем аффинных преобразований являются движения и преобразования подобия.
О пределен и е. Растяжением плоскости относительно оси l с коэффициентом называется преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в такую точку M
0
, что –
OM
0
= k
# –
OM, где O — проекция точки напрямую. (Растяжение с коэффициентом меньше единицы называется
сжатием.)
29.1.
Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.
29.2.
Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.
29.3.
Пусть A
1
, B
1
, C
1
, D
1
— образы точек A, B, C, D при аффинном преобразовании. Докажите, что если # –
AB =
# –
CD, то # –
A
1
B
1
=
=
# Из предыдущей задачи вытекает, что мы можем определить образ вектора –
AB при аффинном отображении L как –
L(A)L(B), и это определение не будет зависеть от выбора точек A и Докажите, что если L — аффинное преобразование, то а) L( #–
0 ) = #–
0 б) L(a + b) = L(a) + в) L(ka) = Пусть A
0
, B
0
, C
0
— образы точек A, B, C при аффинном преобразовании L. Докажите, что если C делит отрезок AB вот- ношении AC : CB = p : q, то делит отрезок в том же отно- шении.
29.6.
а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку O в данную точку а данный базис векторов e
1
, e
2
— в данный базис e
0 1
, e
0 2

Глава 29. Аффинные преобразования б) Даны два треугольника ABC и A
1
B
1
C
1
. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку A в A
1
,
B — в B
1
, C — в в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое один из них переводит в другой.
29.7*.
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.
29.8*.
Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании каждая точка некоторой прямой l переходит в себя,
то все прямые вида ML(M), где в качестве M берутся произвольные точки, не лежащие на прямой l, параллельны друг другу.
29.9*.
Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух растяжений и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему тре- угольник.
29.10*.
На плоскости дан многоугольники точка O внутри его. Докажите, что равенства –
OA
1
+
# –
OA
3
= 2 cos
2
p
n
# –
OA
2
,
# –
OA
2
+
# –
OA
4
= 2 cos
2
p
n
# –
OA
3
,
# –
OA
n−1
+
# –
OA
1
= 2 cos
2
p
n
# необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование, переводящее данный многоугольник в правильный,
а точку O — в его центр.
Многоугольник,
который аффинным преобразованием можно перевести в правильный многоугольник, называют аффинно правильным.
29.11*.
Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треуголь- ник.
29.12*.
Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.
29.13*.
Докажите, что если и N
0
— образы многоугольников и N при аффинном преобразовании, то отношение площадей M и равно отношению площадей и N
0

Условия задач
537
29.14*.
Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырёх- угольнику которого противоположные углы прямые.
29.15*.
Докажите, что любой выпуклый шестиугольник в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне,
аффинным преобразованием можно перевести в шестиугольник с равными диагоналями AD, BE и На плоскости даны три вектора a, b, c, причём a
a +
b
b +
+
g
c = 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами, |
b
|, |
g
| можно составить треугольник.
29.17*.
На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Докажите, что найдётся точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
29.18*.
Пусть L — взаимно однозначное отображение плоскости все- бя. Предположим, что оно обладает следующим свойством если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогда L — аффинное преобразование.
29.19*.
Пусть L — взаимно однозначное отображение плоскости все- бя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, что L — аффинное преобразование 2. Решение задач при помощи
аффинных преобразований
29.20.
Через каждую вершину треугольника проведены две прямые,
делящие противоположную сторону треугольника натри равные части.
Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются водной точке.
29.21.
На сторонах AB, BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K, L и M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c, d — прямые, проходящие через B, C, D параллельно прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что прямые b,
c, d проходят через одну точку.
29.22.
Дан треугольник ABC. Пусть O — точка пересечения его медиана и P — точки сторон AB, BC и CA, делящие эти стороны в одинаковых отношениях те Докажите, что:
а) O — точка пересечения медиан треугольника б) O — точка пересечения медиан треугольника, образованного прямыми и В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диаго-

Глава 29. Аффинные преобразования наль AC в точке P, а через точку C — прямая, параллельная стороне и пересекающая диагональ BD в точке Q. Докажите, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.
29.24.
В параллелограмме ABCD точки A
1
, B
1
, C
1
, лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA. На сторонах A
1
B
1
, B
1
C
1
,
C
1
D
1
, D
1
A
1
четырёхугольника взяты соответственно точки. Известно, что
AA
1
BA
1
=
BB
1
CB
1
=
CC
1
DC
1
=
DD
1
AD
1
=
A
1
D
2
D
1
D
2
=
D
1
C
2
C
1
C
2
=
C
1
B
2
B
1
B
2
=
B
1
A
2
A
1
A
2
Докажите, что A
2
B
2
C
2
D
2
— параллелограмм со сторонами, параллельными сторонам На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC даны точки и P соответственно. Докажите:
а) если точки M
1
, и симметричны точками относительно середин соответствующих сторон, то S
MNP
= б) если M
1
, и P
1
— такие точки сторон AC, BA и CB, что BC, NN
1
k CA и PP
1
k AB, то S
MNP
= S
M
1
N
1
P
1