Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 66 из 70

§ 3. Парабола
31.29.
Докажите, что с помощью гомотетии с центром (0, 0) параболу можно перевести в параболу y = Окружность пересекает параболу в четырёх точках. Докажите, что центр масс этих точек лежит на оси параболы.
31.31.
Две параболы, оси которых перпендикулярны, пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности Условия задач
587
31.32.
Докажите, что середины параллельных хорд параболы лежат на одной прямой, параллельной оси параболы.
Для параболы = точку, p/2)
называют
фокусом,
а прямую = −p/2 — директрисой.
31.33.
а) Докажите, что расстояния от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равны.
б) Докажите, что множество точек, для которых расстояния до некоторой фиксированной точки и до некоторой фиксированной прямой равны, является параболой.
31.34.
Докажите, что пучок лучей света, параллельных оси параболы, после отражения от параболы сходится в её фокусе.
31.35.
Докажите, что касательные к параболе 4y = в точках, t
2 1
) и (2t
2
, t
2 2
) пересекаются в точке (t
1
+ t
2
, Из точки O проведены касательные OA и OB к параболе с фокусом F. Докажите, что ∠AFB = 2∠AOB, причём луч OF — биссектриса угла Докажите, что касательные OA и OB к параболе перпендикулярны тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих
α
β
γ
C
A
B
Рис. эквивалентных условий) отрезок AB проходит через фокус параболы) точка O лежит на директрисе параболы.
31.38*.
Касательные к
параболе в
точках a
,
b
,
g образуют треугольник ABC рис. Докажите, что:
а) описанная окружность треугольника проходит через фокус параболы;
б) высоты треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на директрисе параболы;
в) S
abg
= 2S
ABC
;
г)
3
√
S
ab
C
+
3
√
S
bg
A
=
3
√
S
ag
B
31.39*.
Прямая l получена из директрисы параболы гомотетией с центром в фокусе параболы и коэффициентом. Из точки O прямой l проведены касательные OA и к параболе. Докажите, что ортоцентром треугольника AOB служит вершина параболы.
31.40*.
Пучок параллельных лучей света, отразившись от кривой, сходится в точке F. Докажите, что C — парабола с фокусом и осью, параллельной лучам света 4. Гипербола
Гиперболу, заданную уравнением y = 1/x, называют равнобочной.
Произвольная гипербола получается из равнобочной гиперболы аффинным преобразованием

Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола
31.41.
Точки A и B лежат на гиперболе. Прямая AB пересекает асимптоты гиперболы в точках и а) Докажите, что AA
1
= и AB
1
= б) Докажите, что если прямая касается гиперболы в точке то X — середина отрезка Докажите, что окружность девяти точек треугольника вершины которого лежат на равнобочной гиперболе, проходит через центр O гиперболы.
31.43.
Вершины треугольника лежат на гиперболе xy = 1. Докажите, что его ортоцентр тоже лежит на этой гиперболе.
31.44.
Окружность радиуса 2
q
x
2 0
+ x
−2 с центром (x
0
, x
−1 0
) пересекает гиперболу xy = 1 в точке (−x
0
,
−x
−1 0
) ив точках A, B, Докажите, что треугольник ABC равносторонний.
31.45.
Докажите, что асимптоты гиперболы+ 2bxy + cy
2
+ dx + ey + f = ортогональны тогда и только тогда, когда a + c = Докажите, что множество точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек и F
2
— постоянная величина, есть гипербола.
Точки и называют фокусами гиперболы.
31.47.
Докажите, что середины параллельных хорд гиперболы лежат на одной прямой.
Диаметром гиперболы называют произвольную хорду, проходящую через её центр. Сопряжёнными диаметрами называют пару её диаметров, обладающих следующим свойством середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. Тогда середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
31.48.
Докажите, что площадь треугольника, образованного асимптотами и касательной к гиперболе, одна и та же для всех касательных.
Для гиперболы 1 число e =
p1 + называют эксцентриситетом. Прямые x = ±a/e называют директрисами. (У гиперболы две директрисы.)
31.49*.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки гиперболы до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету б) Даны точка F и прямая l. Докажите, что множество точек для которых отношение расстояния от X док расстоянию от X до равно постоянному числу e > 1, — гипербола.
31.50*.
Найти множество точек пересечения всех пар перпендикулярных касательных к гиперболе

Условия задач 5. Пучки коник
Введём для удобства следующее обозначение. Будем считать, что прямая задаётся уравнением l
AB
= 0; это уравнение определено с точностью до пропорциональности. В координатах x, y функция имеет вид, y) = ax + by + c, причём обращается в нуль в точках A и Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что где и m
— некоторые числа.
Пучком коник, порождённым кониками f = 0 и g = 0, называют семейство коник l
f +
m
g = 0. Результат задачи
31.51
можно интерпретировать следующим образом пучок коник — это семейство коник, проходящих через фиксированные точки.
31.52*.
Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (те. прямых AB и DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).
Будем называть прямой Паскаля шестиугольника, вписанного в конику,
прямую, на которой лежат точки пересечения пар его противоположных сторон. При этом шестиугольником можно считать и замкнутую самопере- секающуюся ломаную.
31.53*.
а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF,
ADEBCF и ADCFEB пересекаются водной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE,
AEFBDC и ABDFEC пересекаются водной точке (Киркман).
31.54*.
Пусть хорды KL и MN проходят через середину O хорды данной окружности. Докажите, что прямые KN и ML пересекают прямую AB в точках, равноудалённых от точки O (задача
о бабочке).
31.55*.
Пусть стороны самопересекающихся четырёхугольников
KLMN и K
0
L
0
M
0
N
0
, вписанных в одну и туже окружность, пересекают хорду AB этой окружности в точках P, Q, R, S и P
0
, Q
0
, R
0
, соответственно (сторона KL — в точке P, LM — в точке Q, и т. д. Докажите,
что если три из точек P, Q, R, S совпадают с соответственными тремя из точек P
0
, Q
0
, R
0
, S
0
, то и оставшиеся две точки тоже совпадают.
(Предполагается, что хорда AB не проходит через вершины четырёх- угольников.)
31.56*.
Докажите, что любая гипербола, проходящая через вершины треугольника ABC и точку пересечения его высот, является гиперболой с перпендикулярными асимптотами

Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола
31.57*.
Две коники имеют 4 общих точки. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда оси коник перпендикулярны.
31.58*.
Докажите, что центры коник, проходящих через точки, B, C и D, образуют конику Г.
31.59*.
Докажите следующие свойства коники Г из задачи
31.58
а) Г проходит через 6 середин отрезков, соединяющих пары данных точек, и через 3 точки пересечения прямых, соединяющих пары данных точек.
б) Центр Г совпадает с центром масс точек A, B, C ив) Если D — точка пересечения высот треугольника ABC, то Г окружность девяти точек этого треугольника.
г) Если четырёхугольник ABCD вписанный, то Г — гипербола спер- пендикулярными асимптотами. В этом случае оси всех коник пучка параллельны асимптотам Г.
31.60*.
Пусть коники Г и Г
1
касаются в точках A и B, a коники
Г и Г
2
касаются в точках C и D, причём Г
1
и Г
2
имеют четыре общие точки. Докажите, что у коник Г
1
и Г
2
есть пара общих хорд,
проходящих через точку пересечения прямых AB и CD.
§ 6. Коники как геометрические места точек
31.61.
Пусть a и b — фиксированные комплексные числа. Докажите, что при изменении от 0 до 2
p точки вида ae
i
f
+ be
−i
f заметают эллипс или отрезок.
31.62.
Пусть a, b, c, d — фиксированные числа. Докажите, что когда угол пробегает всевозможные значения, точки с координатами заметают эллипс или отрезок.
31.63.
Вершины A и B треугольника ABC скользят по сторонам прямого угла. Докажите, что если угол C непрямой, то вершина перемещается при этом по эллипсу.
31.64.
Докажите, что множество точек, равноудалённых отданной точки и данной окружности, представляет собой эллипс, гиперболу или луч.
31.65.
Докажите, что множество всех центров окружностей, проходящих через данную точку и касающихся данной окружности (или прямой, не содержащей данную точку, представляет собой эллипс или гиперболу (или параболу).
31.66.
На плоскости даны точки A
t
=(1+t, 1+t) и B
t
=(−1+t, Найдите ГМТ, заметаемое всеми прямыми для всех вещественных чисел t.

Условия задач
591
31.67.
Даны точка O и прямая l. Точка X движется по прямой Найдите ГМТ, которое заметают перпендикуляры к прямой XO, восставленные из точки По прямыми с постоянными скоростями v 6= движутся точки X и X
0
. Какое множество заметают прямые Через каждую точку X, лежащую внутри данной окружности, проводится прямая l, ортогональная прямой XO, где O — данная точка, не лежащая на окружности S. Найдите ГМТ, заметаемое всеми прямыми Докажите, что центры всех правильных треугольников,
вписанных в данную конику, лежат на некоторой конике 7. Рациональная параметризация
31.71.
Докажите, что для любой коники можно выбрать многочлены) итак, что при изменении t от −∞ до +∞ точки

P(t)
A(t)
,
Q(t)
A(t)

заметают всю данную конику, кроме, быть может, одной точки.
Представление коники с помощью рациональных функций
P(t)
A(t)
и
Q(t)
A(t)
на- зывают рациональной параметризацией коники.
31.72.
Постройте рациональную параметризацию окружности x
2
+
+ y
2
= 1, проведя прямые через точку (1, Пусть рациональная параметризация коники,
построенная при решении задачи. Докажите, что степень каждого из многочленов A, P, Q не превосходит Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырёх общих точек.
31.75*.
Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой 8. Коники, связанные с треугольником
31.76.
а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (те. коника, проходящая через все вершины треугольника)
задаётся уравнением вида + qxz + rzy = б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида+ qy
2
+ rz
2
= 2(±
√
pqxy ±
√
prxz ±
√
qryz).

Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола
31.77*.
Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты + q − r) : q(p + r − q) : p(r + q − Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой,
не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.
31.79*.
Дан треугольники прямая l, не проходящая через его вершины.
а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой является эллипсом, если l не пересекает описанную окружность треугольника параболой, если l касается описанной окружности;
гиперболой, если l пересекает описанную окружность в двух точках.
б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямой является эллипсом, если l не пересекает описанный эллипс Штейнера треугольника ABC; параболой, если l касается эллипса Штейнера;
гиперболой, если l пересекает эллипс Штейнера в двух точках.
31.80*.
а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через центр O описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника.
б) Докажите, что центр этой коники лежит на окружности девяти точек.
Кривую, изогонально сопряжённую прямой OK, где K — точка Лемуана,
называют гиперболой Киперта.
Кривую, изогонально сопряжённую прямой Эйлера OH, называют гиперболой Енжабека.
31.81*.
Найдите уравнение гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах б) в барицентрических координатах.
31.82*.
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC построены равнобедренные треугольники AC
1
B, BA
1
C, AB
1
C с углом при основании все три внешним или внутренним образом одновременно).
Докажите, что прямые AA
1
, и пересекаются водной точке,
лежащей на гиперболе Киперта.
З а меча ни е. На гиперболе Киперта лежат следующие точки ортоцентр
(
f
=
p
/2), центр масс (
f
= 0), точки Торричелли (
f
= ±
p
/3), вершины треугольника Найдите уравнение центра гиперболы Киперта: а) в трили- нейных координатах б) в барицентрических координатах.
31.84*.
Найдите уравнение гиперболы Енжабека в трилинейных координатах Решения задач
593
Решения
31.1.
Ясно, что, y) + 2dx + 2ey = a(x
0
− x
0
)
2
+ 2b(x
0
− x
0
)(y
0
− y
0
) + c(y
0
− y
0
)
2
+
+ 2d(x
0
− x
0
) + 2e(y
0
− y
0
) =
= ax
02
+ 2bx
0
y
0
+ cy
02
+ 2(−ax
0
− by
0
+ d)x
0
+
+ 2(−bx
0
− cy
0
+ e)y
0
+ Q(x
0
, y
0
) − 2(dx
0
+ Если ac − b
2 6= 0, то система уравнений ax
0
+ by
0
= d, bx
0
+ cy
0
= e имеет (единственное) решение. Решив эту систему и положив f
0
=f −Q(x
0
, приводим (1) к требуемому виду.
31.2.
Ясно, что, y
0
) = Q(x
00
cos f
+ y
00
sin f
,
−x
00
sin f
+ y
00
cos f
) =
= x
002
(a cos
2
f
− 2b cos f
sin f
+ c sin
2
f
) +
+ 2x
00
y
00
(a sin f
cos f
+ b(cos
2
f
− sin
2
f
) − c cos f
sin f
) +
+ y
002
(a sin
2
f
+ 2b sin f
cos f
+ c Чтобы уничтожить коэффициент при x
00
y
00
, нужно решить уравнение − c
2b
=
= − ctg 2
f и найти требуемый угол При решении задачи
31.2
мы получили, что a cos
2
f
− 2b cos f
sin f
+ c sin
2
f
,
b
1
= a cos f
sin f
+ b(cos
2
f
− sin
2
f
) − c cos f
sin f
,
c
1
= a sin
2
f
+ 2b cos f
sin f
+ c Поэтому b
2 1
= (a
2
+ c
2
) sin
2
f cos
2
f
+ ac(sin
4
f
+ cos
4
f
) −
− 2b(a − c) sin f
cos f
(sin
2
f
− cos
2
f
) − 4b
2
sin
2
f cos
2
f
−
− (a
2
+ c
2
) sin
2
f cos
2
f
+ 2ac sin
2
f cos
2
f
−
− 2b(a − c) sin f
cos f
(cos
2
f
− sin
2
f
) − b
2
(cos
2
f
− sin
2
f
)
2
=
= ac − Если b = 0, то требуемое представление можно получить с помощью параллельного переноса (задача. Если же b 6= 0, то помимо параллельного переноса нужно применить поворот (задача. После этого, произведя очевидные преобразования, получим уравнение вида или Здесь оба числа и неравны нулю, поскольку согласно задаче ±(ac − b
2
).

Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола
31.5.
Если b = 0, то a = 0 или c = 0. Сделав при необходимости замену координат x
0
= y и y
0
= x, можно считать, что a = 0. Пусть теперь b 6= 0. При повороте = x
0
cos f
+ y
0
sin f
,
y = −x
0
sin f
+ y
0
cos выражение ax
2
+ 2bxy + переходит в a
1
x
02
+ 2b
1
x
0
y
0
+ c
1
y
02
, где a
1
= a cos
2
f
−
− 2b cos f
sin f
+ c sin
2
f
. По условию ac = b
2
, поэтому если tg f
=
√
a/c, то Итак, в обоих случаях мы приходим к уравнению вида y
2
+ 2dx + 2ey = Сделаем замену x
0
= x + x
0
, y
0
= y + e. В результате получим уравнение e
2
+ 2d(x
0
− x
0
) = f. Если d = 0, то получаем уравнение вида y
02
=
l
, а если, то при соответствующем выборе получаем уравнение y
02
+ 2dx
0
= Поместим начало координат посередине между точками и ось Ox направим по отрезку F
1
F
2
, а ось Oy — перпендикулярно оси Пусть и имеют координаты (c, 0) и (−c, 0), соответственно, а сумма расстояний от точки X = (x, y) дои равна 2a. Тогда p
(x − c)
2
+ y
2
= 2a −
p
(x + c)
2
+ y
2
=⇒
(x − c)
2
+ y
2
= 4a
2
− 4a
p
(x + c)
2
+ y
2
+ (x + c)
2
+ y
2
=⇒
a
p
(x + c)
2
+ y
2
= a
2
+ xc =⇒
a
2
(x
2
+ 2xc + c
2
) + a
2
y
2
= a
4
+ 2a
2
xc + x
2
c
2
=⇒
(a
2
− c
2
)x
2
+ a
2
y
2
= a
2
(a
2
− В итоге, обозначив b
2
= a
2
− c
2
, получаем x
2
/a
2
+ y
2
/b
2
= Точки (x
0
, y
0
) и (x
00
, y
00
) пересечения эллипса 1 и прямой = px + q найдём, решив квадратное уравнение + q)
2
b
2
= По теореме Виета (x
0
+ x
00
)/2 = −a
2
pq/(b
2
+ a
2
p
2
) и, значит+ y
00 2
= p
x
0
+ x
00 2
+ q =
b
2
q
b
2
+ Таким образом, середины хорд эллипса, параллельных прямой y = px, лежат на прямой y = Это уравнение можно получить, воспользовавшись тем, что касательная к эллипсу — это прямая, пересекающая его ровно водной точке. Действительно, если 0
a
2
+
y
2 0
b
2
= 1,
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 и 1, то x)
2
a
2
+
(y
0
− y)
2
b
2
= поэтому (x
0
, y
0
) = (x, y).