Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 51 из 70

Основные сведения. Есть несколько разных (но эквивалентных) определений выпуклого многоугольника. Приведём наиболее известные и часто встречающиеся из них.
Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих условий:
а) он лежит по одну сторону от любой из своих сторон (те. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);
б) он является пересечением (те. общей частью) нескольких полуплоскостей в) любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику,
целиком ему принадлежит. Фигуру называют выпуклой, если любой отрезок с концами в точках фигуры целиком принадлежит ей. При решении некоторых задач этой главы используются понятия выпуклой оболочки и опорной прямой 1. Выпуклые многоугольники
22.1.
На плоскости дано n точек, причём любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Докажите, что эти точки являются вершинами выпуклого n-угольника.
22.2.
На плоскости дано пять точек, причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих точек расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника.
22.3.
Внутри квадрата лежит выпуклый четырёхуголь- ник A
5
A
6
A
7
A
8
. Внутри выбрана точка A
9
. Докажите, что из этих девяти точек можно выбрать 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугольника.
22.4.
На плоскости дано несколько правильных угольников. Докажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее n углов.
22.5.
Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый угольник можно представить в виде пересечения (те. общей части) n треугольников, найдите наименьшее.
22.6.
Назовём выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются водной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник

Условия задач
431
22.7.
Выпуклый многоугольник A
1
. . . лежит внутри окружности, а выпуклый многоугольник B
1
. . . B
m
— внутри S
2
. Докажите,
что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек A
1
, . . .
. . . , лежит внутри или одна из точек B
1
, . . . , лежит внутри Докажите, что существует такое число N, что среди любых точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.
22.9*.
Выпуклый угольник разрезан на треугольники непересека- ющимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения,
при котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите,
что:
а) P(n) > n − б) P(n) 6 2n − в) P(n) 6 2n − 10 при n > Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.
22.11*.
Дан выпуклый угольник, никакие две стороны которого не параллельны. Докажите, что различных треугольников, о которых идёт речь в задаче, не менее n − Точка O лежит внутри выпуклого угольника A
1
. . . A
n
. Докажите, что среди углов не менее n − 1 не острых.
22.13*.
В окружность вписан выпуклый угольник A
1
. . . A
n
, прич м среди его вершин нет диаметрально противоположных точек.
Докажите, что если среди треугольников есть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее n − а) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя меньшими гомотетичными ему параллелограммами.
б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме параллелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему многоугольниками 2. Изопериметрическое неравенство
Мы будем рассматривать фигуры, ограниченные гладкими или кусочно гладкими
1
кривыми. Периметром фигуры называют длину кривой, ограничивающей эту фигуру.
22.15.
Докажите, что для любой невыпуклой фигуры Ψ существует выпуклая фигура с меньшим периметром и большей площадью.
1
Состоящими из конечного числа дуг гладких кривых

Глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
22.16.
Докажите, что если существует фигура Φ
0
, площадь которой не меньше площади фигуры Φ, а периметр — меньше, то существует фигура того же периметра, что и Φ, но большей площади.
22.17.
Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры делите на две части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура Φ
0
, имеющая тот же периметр, что и но большую площадь.
22.18*.
Докажите, что если выпуклая фигура Φ отлична от круга,
то существует фигура Φ
0
, имеющая тот же периметр, что и Φ, но большую площадь.
22.19*.
а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников сданными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник.
б) Докажите, что среди всех выпуклых угольников A
1
. . . сданными величинами углов и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный n-угольник.
22.20*.
Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна S, а её периметр равен P, то S 6 P
2
/4
p
, причём равенство достигается только в случае круга (изопериметрическое неравенство).
22.21*.
Докажите, что если соответственные стороны выпуклых многоугольников A
1
. . . и B
1
. . . равны, причём многоугольник. . . вписанный, то его площадь не меньше площади многоугольника. A
n
22.22*.
Несамопересекающаяся ломаная расположена в данной полуплоскости, причём концы ломаной лежат на границе этой полуплоскости. Длина ломаной равна L, а площадь многоугольника, ограниченного ломаной и границей полуплоскости, равна S. Докажите, что Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади 3. Симметризация по Штейнеру
Пусть M — выпуклый многоугольник, l — некоторая прямая. Симметризация по Штейнеру многоугольника M относительно прямой l — это фигура, которая получается следующим образом. Через каждую точку прямой l проведём прямую m, перпендикулярную l. Если прямая m пересекает многоугольник M по отрезку длины a, то построим на m отрезок длины a с серединой в точке X. Построенные отрезки образуют фигуру Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.
22.25*.
Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается

Условия задач 4. Сумма Минковского
22.26*.
Пусть A и B — фиксированные точки и фиксированные числа. Выберем произвольную точку X и зададим точку равенством # –
XP =
l
# –
XA +
m
# –
XB. Докажите, что положение точки P не зависит от выбора точки X тогда и только тогда, когда l
+
m
= Докажите также, что в этом случае точка P лежит на прямой Если l
+
m
= 1, то точку P из задачи
22.26
будем обозначать l
A Пусть и M
2
— выпуклые многоугольники,
l
1
и l
2
— положительные числа, сумма которых равна 1. Фигуру l
1
M
1
+
l
2
M
2
, состоящую из всех точек вида l
1
A
1
+
l
2
A
2
, где A
1
— точка M
1
, а A
2
— точка M
2
, называют суммой Минковского многоугольников и M
2
. Сумму Минковского можно рассматривать не только для выпуклых многоугольников, но и для произвольных фигур (необязательно выпуклых).
Аналогично для положительных чисел l
1
, . . . ,
l
n
, сумма которых равна, можно рассмотреть фигуру l
1
M
1
+ . . . +
l
n
M
n
. Можно рассматривать и фигуры l
1
M
1
+ . . . для l
1
+ . . . +
l
n
6= 1, нов этом случае фигура определена с точностью до параллельного переноса при изменении точки фигура сдвигается на некоторый вектора) Докажите, что если и M
2
— выпуклые многоугольники, то l
1
M
1
+
l
2
M
2
— выпуклый многоугольник, число сторон которого не превосходит суммы чисел сторон многоугольников и б) Пусть и P
2
— периметры многоугольников и M
2
. Докажите, что периметр многоугольника равен Пусть и S
2
— площади многоугольников и M
2
. Докажите, что площадь S(
l
1
,
l
2
) многоугольника равна l
2 1
S
1
+ 2
l
1
l
2
S
12
+
l
2 где зависит только от и Докажите, что S
12
>
√
S
1
S
2
, т. е.
p
S(
l
1
,
l
2
)
>
l
1
√
S
1
+
l
2
√
S
2
(Брунн).
22.30*.
а) Пусть M — выпуклый многоугольник, площадь которого равна S, а периметр равен P; D — круг радиуса R. Докажите, что площадь фигуры l
1
M +
l
2
D равна l
2 1
S +
l
1
l
2
PR +
l
2 б) Докажите, что S 6 Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков 5. Теорема Хелли
22.32*.
а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причём любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку

Глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причём любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).
22.33*.
Решите с помощью теоремы Хелли задачу
20.33
22.34*.
а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точку O внутри многоугольника так,
что перпендикуляры, опущенные из точки O на эти три стороны,
попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите,
что тогда такую точку O можно выбрать для всех сторон одновре- менно.
б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку O можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.
22.35*.
Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка, не принадлежащая ни одному из четырёхугольников, образованных четвёрками его соседних вершин.
22.36*.
Дано несколько параллельных отрезков, причём для любых трёх из них найдётся прямая, их пересекающая. Докажите, что най- дётся прямая, пересекающая все отрезки 6. Невыпуклые многоугольники
22.37.
Верно ли, что любой пятиугольник лежит по одну сторону от не менее чем двух своих сторона) Нарисуйте многоугольники точку O внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из неё полностью.
б) Нарисуйте многоугольники точку O вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из неё полностью.
22.39.
Докажите, что если многоугольник таков, что из некоторой точки O виден весь его контур, то из любой точки плоскости полностью видна хотя бы одна его сторона.
22.40.
Докажите, что сумма внешних углов любого многоугольника, прилегающих к меньшим внутренним углам, не меньше а) Докажите, что у любого угольника (n > 4) есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри его.
б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь n-угольник.
22.42*.
Чему равно наибольшее число вершин невыпуклого угольника, из которых нельзя провести диагональ?
22.43*.
Докажите, что любой угольник можно разрезать натре- угольники непересекающимися диагоналями.
22.44*.
Докажите, что сумма внутренних углов любого угольника равна (n − 2) · Докажите, что количество треугольников, на которые непе- ресекающиеся диагонали разбивают угольник, равно n − 2.

Решения задач
435
22.46*.
Многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что по крайней мере две из этих диагоналей отсекают от него треугольники.
22.47*.
Докажите, что для любого тринадцатиугольника найдётся прямая, содержащая ровно одну его сторону, однако при любом n > существует угольник, для которого это неверно.
22.48*.
Чему равно наибольшее число острых углов в невыпуклом
n-угольнике?
22.49*.
С
невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой AB, где A и B — несмежные вершины, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками A и B, отражается относительно середины отрезка AB. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.
22.50*.
Числа a
1
, . . . ,
a
n
, сумма которых равна (n − 2)
p
, удовлетворяют неравенствам 0 <
a
i
< 2
p
. Докажите, что существует угольник. . . с углами a
1
, . . . при вершинах A
1
, . . . , См. также задачи
9.29
а),
9.94
,
23.1
,
23.35
Решения
22.1.
Рассмотрим выпуклую оболочку данных точек. Она является выпуклым многоугольником. Нужно доказать, что все данные точки — его вершины.
Предположим, что одна изданных точек (точка A) не является вершиной, те. лежит внутри или на стороне этого многоугольника. Диагоналями,
Рис. выходящими из одной вершины, выпуклую оболочку можно разрезать на треугольники точка A принадлежит одному из них.
Вершины этого треугольника и точка A не могут быть вершинами выпуклого четырёх- угольника. Получено противоречие.
22.2.
Рассмотрим выпуклую оболочку данных точек. Если она является четырёх- или пятиугольником, то всё ясно. Допустим теперь, что выпуклая оболочка является треугольником ABC, а точки D и лежат внутри его. Точка E лежит внутри одного из треугольников ABD, BCD, пусть для определённости она лежит внутри треугольника ABD. Обозначим точку пересечения прямых CD и AB через H. Точка лежит внутри одного из треугольников ADH и BDH. Если, например лежит внутри треугольника ADH, то AEDC — выпуклый четырёхугольник
(рис. Предположим, что требуемого выпуклого пятиугольника нет. Про- ведём из точки лучи через точки A
5
, A
6
, A
7
, A
8
. Эти лучи разбивают плоскость на 4 угла, каждый из которых меньше 180
◦
. Если внутри одного

Глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники из этих углов лежат две из точек A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, то мы немедленно получаем требуемый пятиугольник. Поэтому внутри каждого из этих углов лежит ровно одна из указанных точек. Но тогда внутри каждого из двух углов, образованных лучами и A
9
A
7
, лежат две из указанных точек.
Рассмотрев тот из углов, который меньше 180
◦
, снова получаем требуемый пятиугольник.
22.4.
Пусть выпуклая оболочка вершин данных угольников является
m-угольником и f
1
, . . . ,
f
m
— его углы. Так как к каждому углу выпуклой оболочки прилегает угол правильного угольника, то f
i
> (1 − справа стоит величина угла правильного угольника. Поэтому f
1
+ . . . +
f
m
>
> m(1 − (2/n))
p
= (m − (2m/n))
p
. С другой стороны+ . . . +
f
m
= (m − Следовательно, (m − 2)
p
> (m − (2m/n))
p
, те Заметим сначала, что 50 треугольников достаточно. В самом деле,
пусть ∆
k
— треугольник, стороны которого лежат на лучах и и который содержит выпуклый многоугольник A
1
. . . A
100
. Тогда этот многоугольник является пересечением треугольников ∆
2
, ∆
4
, . . . , ∆
100
. С другой стороны, угольник, изображённый на рис. 22.2, нельзя представить в виде
Рис. пересечения менее чем 50 треугольников. В самом деле, если три его стороны лежат на сторонах одного треугольника, то одна из этих сторон — сторона. Все стороны этого многоугольника лежат на сторонах n треугольников,
поэтому 2n + 1 > 100, те Пусть P — точка пересечения диагоналей и выпуклого семиугольника A
1
. . . A
7
. Одна из диагоналей и A
3
A
6
, для определённости диагональ A
3
A
6
, не проходит через точку P. Точек пересечения диагоналей шестиугольника A
1
. . . конечное число, поэтому вблизи точки можно выбрать такую точку A
0 7
, что прямые A
1
A
0 7
, . . . , A
6
A
0 не проходят через эти точки, те. семиугольник A
1
. . . A
0 7
неособый.
22.7.
Предположим, что точки A
1
, . . . , лежат вне S
2
, а точки B
1
, . . . , лежат вне S
1
. Тогда окружность не может лежать внутри S
2
, а окружность внутри S
1
. Окружности и не могут также быть расположены вне друг друга (или касаться внешним образом, поскольку иначе многоугольники. и B
1
. . . не могли бы пересекаться. Таким образом,
окружности и пересекаются. При этом многоугольник A
1
. . . лежит внутри и вне S
2
, а многоугольник B
1
. . . B
m
— внутри и вне S
1
. Следовательно, эти многоугольники расположены по разные стороны от прямой,
проходящей через точки пересечения окружностей и S
2
. Но тогда они не могут пересекаться. Приходим к противоречию.