Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
20.20. Пусть O — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. Для определён- ности можно считать, что AO > CO и DO > BO. Пусть точки и симметричны точками относительно точки O. Так как точка является центром вписанной окружности четырёхугольника, то отрезок B 1 C 1 касается этой окружности. Поэтому отрезок AD может касаться этой окружности, только если B 1 = D и C 1 = A, те. если ABCD — параллелограмм. В этот параллелограмм можно вписать окружность, поэтому он — ромб. 20.21. Для определённости можно считать, что AO > CO и DO > Пусть точки и симметричны точками относительно точки Тогда треугольник содержится внутри треугольника AOD, поэтому вписанная окружность S треугольника содержится внутри треугольника. Предположим, что отрезок AD не совпадает с отрезком C 1 B 1 . Тогда окружность S переходит во вписанную окружность треугольника AOD при гомотетии с центром O и коэффициентом больше 1, те Получено противоречие, поэтому A = и D = B 1 , те параллело- грамм. В параллелограмме ABCD площади треугольников AOB и BOC равны, поэтому если у них равны радиусы вписанных окружностей, то равны и периметры, так как S = pr. Следовательно, AB = BC, те ромб. 20.22. Пусть AB — сторона выпуклой оболочки данных точек, B 1 — ближайшая к A из всех данных точек, лежащих на AB. Выберем ту из оставшихся точек, из которой отрезок виден под наибольшим углом. Пусть это будет точка C. Тогда описанная окружность треугольника AB 1 C будет ис- комой. 20.23. Пусть AB — одна из сторон выпуклой оболочки данных точек. Занумеруем оставшиеся точки в порядке возрастания углов, под которыми виден из них отрезок AB, те. обозначим их через C 1 , C 2 , . . . , C 2n+1 , так, что < ∠AC 2 B < . . . < AC 2n+1 B. Тогда точки C 1 , . . . , лежат вне описанной окружности треугольника ABC n+1 , а точки C n+2 , . . . , C 2n+1 — внутри е, те. это и есть искомая окружность. 20.24. Пусть AB — наибольшая диагональ (или сторона) многоугольника. Проведём через точки A и B прямые a и b, перпендикулярные прямой Если X — вершина многоугольника, то AX 6 AB и XB 6 AB, поэтому многоугольник находится внутри полосы, образованной прямыми a и b. Проведём Решения задач 415 опорные прямые многоугольника, параллельные AB. Пусть эти прямые проходят через вершины C и D и вместе с прямыми a и b образуют прямоугольник рис. 20.6). Тогда S KLMN = 2S ABC + 2S ABD = 2S ACBD . Так как четырёхугольник ACBD содержится в исходном многоугольнике, площадь которого равна 1, то S KLMN 6 Рис. Рис. Выберем наименьшее из всех попарных расстояний между данными точками и рассмотрим точки, у которых есть соседи на таком расстоянии. Достаточно доказать требуемое утверждение для этих точек. Пусть P — вершина их выпуклой оболочки. Если и A j — ближайшие к P точки, то A i A j > и A i A j > A j P, поэтому 60 ◦ . Следовательно, уточки не может быть четырёх ближайших соседей, так как иначе один из углов был бы меньше 180 ◦ /3 = 60 ◦ . Поэтому P — искомая точка. 20.26. Предположим, что есть картонные квадраты, не совпадающие с пластмассовыми. Выбросим из рассмотрения все совпадающие квадраты и рассмотрим выпуклую оболочку вершин оставшихся квадратов. Пусть A вершина этой выпуклой оболочки. Тогда A является вершиной двух разных квадратов — картонного и пластмассового. Легко проверить, что одна из вершин меньшего из этих квадратов лежит внутри большего (рис. 20.7). Пусть Рис. для определённости вершина B картонного квадрата лежит внутри пластмассового. Тогда точка B лежит внутри пластмассового квадрата и является вершиной другого пластмассового квадрата, чего не может быть. Получено противоречие, поэтому каждый картонный квадрат совпадает с некоторым пластмассовым. 20.27. Рассмотрим выпуклую оболочку данных точек. Возможны два случая. Выпуклая оболочка является параллелограммом. Если точка M лежит внутри параллелограмма, то вершины всех трёх параллелограммов с вершинами A, B и M лежат вне ABCD рис. 20.8). Значит, в этом случае, кроме точек A, B, C и D, никаких других точек быть не может. Выпуклая оболочка не является параллелограммом. Пусть AB и BC стороны выпуклой оболочки. Проведём опорные прямые, параллельные и BC. Пусть эти опорные прямые проходят через вершины P и Q. Тогда Глава 20. Принцип крайнего Рис. вершины всех трёх параллелограммов с вершинами B, P и Q лежат вне выпуклой оболочки (рис. 20.9). Они даже лежат вне параллелограмма, образованного опорными прямыми, кроме того случая, когда P и Q являются вершинами этого параллелограмма. В этом случае его четвёртая вершина не принадлежит выпуклой оболочке, так как та не является параллелограммом. 20.28. Рассмотрим три прямые, попарно образующие углы 60 ◦ , и прове- дм к данному множеству точек три пары опорных прямых, параллельных выбранным прямым. Проведённые опорные прямые задают два правильных треугольника, каждый из которых накрывает данные точки. Докажем, что сторона одного из них не превосходит √ 3. На каждой опорной прямой лежит хотя бы одна изданных точек. Расстояние между любой парой данных точек не превосходит 1, поэтому расстояние между любой парой опорных прямых не превосходит 1. Возьмём одну изданных точек. Пусть a 1 , и c 1 — расстояния от неё до сторон одного правильного треугольника, a 2 , и c 2 — расстояния до сторон другого. При этом мы предполагаем, что a 1 + a 2 , b 1 + и c 1 + c 2 — расстояния между опорными прямыми. Как только что было доказано, a 1 + a 2 6 1, b 1 + b 2 6 1 и c 1 + c 2 6 1. С другой стороны, a 1 + b 1 + c 1 = и a 2 + b 2 + c 2 = где и h 2 — высоты построенных равносторонних треугольников (задача. Следовательно, h 1 + h 2 6 3, а значит, одна из высот и не превосходит 3/2. Но тогда сторона соответствующего правильного треугольника не превосходит √ 3. 20.29. Возьмём на плоскости произвольную прямую l и спроецируем на неё все многоугольники. При этом мы получим несколько отрезков, любые два из которых имеют общую точку. Рассмотрим левые концы этих отрезков и выберем из них самый правый (чтобы стало ясно, что значит правый и «левый», на прямой нужно задать направление. Полученная точка принадлежит всем отрезкам, поэтому проведённый через неё перпендикуляр к прямой l пересекает все данные многоугольники. 20.30. Пусть на плоскости расположено 1000 отрезков. Возьмём произвольную прямую l, не перпендикулярную ни одному из них, и спроецируем концы всех этих отрезков напрямую. Ясно, что конец отрезка, проецирующийся в самую левую из полученных точек, не может упираться строго внутрь другого отрезка Решения задач 417 20.31. Возможны два варианта расположения четырёх точек. Точки являются вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD. Выберем наибольший из углов при его вершинах. Пусть это будет угол ABC. Тогда > 90 ◦ , те. треугольник ABC не остроугольный. Точка D лежит внутри треугольника ABC. Выберем наибольший из углов ADB, BDC и ADC. Пусть это будет угол ADB. Тогда ∠ADB > Рис. те. треугольник ADB тупоугольный. Доказать, что других вариантов расположения четырёх точек нет, можно следующим образом. Прямые, проходящие через три изданных точек, делят плоскость на семь частей (рис. 20.10). Если четвёртая данная точка лежит во второй, четвёр- той или шестой частях, то имеет место первая ситуация, а если впервой, третьей, пятой или седьмой, то вторая. 20.32. У прямоугольника с вершинами в точках) и (n, m) горизонтальная сторона равна n, а вертикальная равна Выберем изданного множества прямоугольник с наименьшей горизонтальной стороной. Пусть его вертикальная сторона равна. Рассмотрим любые из оставшихся прямоугольников. Возможны два случая. Вертикальные стороны двух из этих прямоугольников равны. Тогда один из них содержится в другом. Вертикальные стороны всех этих прямоугольников различны. Тогда вертикальная сторона одного из них не меньше m 1 , поэтому он содержит прямоугольник с наименьшей горизонтальной стороной. 20.33. Рассмотрим круг, содержащий все данные точки. Будем уменьшать радиус такого круга до тех пор, пока это возможно. Пусть R — радиус полученного круга. На границе этого круга лежат по крайней мере две данные точки. Рассмотрим сначала случай, когда на границе лежат ровно две точки и B. Ясно, что они — диаметрально противоположные точки круга. Возьмём третью данную точку C. Минимальный радиус круга, содержащего точки A, B и C, равен R, поэтому R 6 1. Рассмотрим теперь случай, когда на границе лежат ровно три данные точки A, B и C. Тогда треугольник остроугольный, поскольку иначе можно было бы уменьшить радиус круга, содержащего все данные точки. Поэтому снова минимальный радиус круга, содержащего точки A, B и C, равен R. Рассмотрим наконец случай, когда на границе лежат по крайней мере четыре данные точки. Пусть a 1 , a 2 , . . . , a n — угловые величины последовательных дуг, на которые данные точки разбивают границу круга. Если сумма угловых величин двух последовательных дуг не больше 180 ◦ , то сотрём их общую точку. Покажем, что при 4 такая пара последовательных дуг всегда найдётся. Предположим, что a 1 + a 2 > 180 ◦ , a 2 + a 3 > 180 ◦ , ..., a n + a 1 > 180 ◦ . Сложив эти неравенства, получим 2( a 1 + a 2 + . . . + a n ) > n · 180 ◦ , а значит, 4 · 180 ◦ > n · 180 ◦ . Получено противоречие. Таким образом, на границе полученного круга лежат либо две диаметрально противоположные данные точки, либо три данные точки, являющиеся вершинами остроугольного треугольника. Такие случаи мы уже разбирали Глава 20. Принцип крайнего 20.34. Рассмотрим все окружности, проходящие через две соседние вершины и и такую вершину A j , что ∠A i A j A i+1 < 90 ◦ . Хотя бы одна такая окружность есть. В самом деле, один из углов и меньше 90 ◦ ; в первом случае положим A j = A i+2 , а во втором A j = A i . Выберем среди всех таких окружностей (для всех i и j) окружность S наибольшего радиуса пусть для определённости она проходит через точки A 1 , и Предположим, что вершина лежит вне окружности S. Тогда точки A p и лежат по одну сторону от прямой и ∠A 1 A p A 2 < ∠A 1 A k A 2 < Из теоремы синусов следует, что радиус описанной окружности у треугольника больше, чему треугольника A 1 A k A 2 . Получено противоречие, поэтому окружность S содержит весь многоугольник A 1 . . . Пусть для определённости ∠A 2 A 1 A k 6 A 1 A 2 A k . Докажем, что тогда и A k — соседние вершины. Если A k 6= A 3 , то 180 ◦ − ∠A 2 A 3 A k 6 ∠A 2 A 1 A k < поэтому радиус описанной окружности у треугольника больше, чему треугольника A 1 A 2 A k . Получено противоречие, поэтому окружность S проходит через соседние вершины A 1 , и A 3 ГЛАВА ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ Основные сведения. Самая популярная формулировка принципа Дирихле такова Если в n клетках сидит m зайцев, причём m > n, то хотя бы водной клетке сидят по крайней мере два зайца. На первый взгляд даже непонятно, почему это совершенно очевидное замечание является весьма эффективным методом решения задач. Дело в том, что в каждой конкретной задаче нелегко бывает понять, что же здесь зайцы и клетки и почему зайцев больше, чем клеток. Выбор зайцев и клеток часто неочевиден; далеко не всегда по виду задачи можно определить, что следует воспользоваться принципом Дирихле. А главное, этот метод даёт неконструктивное доказательство (мы, естественно, не можем сказать, в какой именно клетке сидят два зайца, а знаем только, что такая клетка есть, а попытка дать конструктивное доказательство, т. е. доказательство путём явного построения или указания требуемого объекта, может привести к гораздо большим трудностям. Некоторые задачи решаются также методами, в какой-то мере аналогичными принципу Дирихле. Сформулируем соответствующие утверждения (все они легко доказываются методом от противного). а) Если на отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, сумма длин которых больше 1, то по крайней мере два из них имеют общую точку. б) Если на окружности радиуса 1 расположено несколько дуг, сумма длин которых больше 2 p , то по крайней мере две из них имеют общую точку. в) Если внутри фигуры площадью 1 расположено несколько фигур, сумма площадей которых больше 1, то по крайней мере две из них имеют общую точку 1. Конечное число точек, прямых и т. д. 21.1. Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в два цвета. Докажите, что существуют две горизонтальные и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат точки одного цвета. 21.2. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше В прямоугольнике 3 × 4 расположено 6 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не превосходит На шахматной доске 8 × 8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми разбить доску на части так Глава 21. Принцип Дирихле чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной точки? 21.5. На плоскости дано 25 точек, причём среди любых трёх из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Докажите, что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек. 21.6*. В квадрате со стороной 1 находится 51 точка. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса Каждый из двух дисков разделён на 1985 равных секторов и на каждом окрашено произвольным образом (одним цветом) по секторов. Диски наложили друг на друга и один стали поворачивать на углы, кратные 360 ◦ /1985. Докажите, что существует по крайней мере 80 положений, при которых совпадает не более 20 окрашенных секторов. 21.8*. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четы- рёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку. 21.9*. В парке растёт 10 000 деревьев, посаженных квадратно-гнез- довым способом (100 рядов по 100 деревьев. Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие если встать на любой пень, тоне будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.) 21.10*. Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого угольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в вершинах угольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка? 21.11*. Внутри выпуклого угольника взята точка P. Через каждую вершину и точку P проведена прямая. Докажите, что найдётся сторона многоугольника, с которой ни одна из проведённых прямых не имеет общих внутренних точек. 21.12*. Докажите, что в любом выпуклом угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон. 21.13*. Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в три цвета. Докажите, что существует равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета 2. Углы и длины 21.14. На плоскости дано n попарно непараллельных прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из них не больше В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше На плоскости отмечена точка O. Можно ли расположить на плоскости а) пять кругов б) четыре круга, не покрывающих точку так, чтобы любой луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов (Пересекает — имеет общую точку Условия задач 421 21.17*. Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка. 21.18*. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей. 21.19*. На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, прич м расстояние между любыми двумя закрашенными точками неравно. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит Даны две окружности, длина каждой из которых равна см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу. |