Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
§ 2. Гомотетичные окружности 19.10. На окружности фиксированы точки A и B, а точка C движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC. Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия 19.11*. а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны в точке D, DM — её диаметр. Прямая BM пересекает сторону в точке K. Докажите, чтоб) В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB и Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные кок- ружности, пересекающие прямую AB в точках E и H, а также прямые и MD, пересекающие прямую AB в точках F и K. Докажите, что = Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, D — точка касания её со стороной AC, B 1 — середина стороны Докажите, что прямая B 1 O делит отрезок BD пополам. 19.13*. Окружности a , b и имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов A, B и C треугольника ABC соответственно. Окружность касается внешним образом всех трёх окружностей a , b и g Докажите, что центр окружности лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса так, что одна из них касается трёх других, а каждая из этих трёх касается двух сторон треугольника. Найдите r , если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно. 19.15*. В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть A 1 , и C 1 — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые, и пересекаются водной точке. См. также задачи 3. Построения и геометрические места точек 19.16. Даны угол ABC и точка M внутри его. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку Впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности. 19.18. Дан остроугольный треугольник ABC. Постройте точки X и на сторонах AB итак, чтоб Постройте треугольник ABC по сторонами и биссектрисе Решите задачу 16.18 с помощью гомотетии. 19.21. Постройте на стороне BC данного треугольника ABC такую точку, что прямая, соединяющая основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на стороны AB и AC, параллельна Прямоугольный треугольник ABC изменяется таким образом, что вершина A прямого угла треугольника не изменяет своего Условия задач 391 положения, а вершины B и C скользят по фиксированным окружностями, касающимся внешним образом в точке A. Найдите геометрическое место оснований D высот AD треугольников См. также задачи 4. Композиции гомотетий 19.23. Преобразование f обладает следующим свойством если и B 0 — образы точек A и B, то – A 0 B 0 = k # – AB, где k — постоянное число. Докажите, что: а) если k = 1, то преобразование f является параллельным переносом б) если k 6= 1, то преобразование f является гомотетией. 19.24. Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициентами и k 2 , где k 1 k 2 6= 1, является гомотетией с коэффициентом, причём её центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий. Исследуйте случай k 1 k 2 = Общие внешние касательные к парам окружностей и и S 3 , и пересекаются в точках A, B и C соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой. 19.26. Трапеции ABCD и APQD имеют общее основание AD, причём длины всех их оснований попарно различны. Докажите, что на одной прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых: а) AB и CD, AP и DQ, BP и б) AB и CD, AQ и DP, BQ и CP. § 5. Поворотная гомотетия 19.27. Окружности и пересекаются в точках A и B. Прямые и q, проходящие через точку A, пересекают окружность в точках и Q 1 , а окружность S 2 — в точках и Q 2 . Докажите, что угол между прямыми и равен углу между окружностями S 1 и Окружности и пересекаются в точках A и B. При поворотной гомотетии с центром A, переводящей в S 2 , точка окружности переходит в M 2 . Докажите, что прямая проходит через точку Окружности S 1 , . . . , проходят через точку O. Кузнечик прыгает из точки окружности в точку окружности S i+1 так, что прямая проходит через точку пересечения окружностей S i и S i+1 , отличную от точки O. Докажите, что после n прыжков (с окружности нас нас на S 1 ) кузнечик вернётся в исходную точку. 19.30. Две окружности пересекаются в точках A и B, а хорды и AN касаются этих окружностей. Треугольник MAN достроен Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия до параллелограмма MANC и отрезки BN и MC разделены точками ив равных отношениях. Докажите, что = Даны две неконцентрические окружности и S 2 . Докажите, что существуют ровно две поворотные гомотетии с углом поворота, переводящие в Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат соответственно на сторонах AB и BC, причём BP = BQ. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что = На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники ∼ 4B 1 CA ∼ 4C 1 AB. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 совпадают. 19.34. Середины сторон BC и правильных треугольников и совпадают (вершины обоих треугольников перечислены почасовой стрелке. Найдите величину угла между прямыми AA 1 и BB 1 , а также отношение длин отрезков и Треугольник ABC при поворотной гомотетии переходит в треугольник произвольная точка. Пусть A 2 — вершина параллелограмма точки и определяются аналогично. Докажите, что На прямоугольную карту положили карту той же местности, но меньшего масштаба. Докажите, что можно проткнуть иголкой сразу обе карты так, чтобы точка прокола изображала на обеих картах одну и туже точку местности. 19.37*. Поворотные гомотетии и с центрами и имеют один и тот же угол поворота, а произведение их коэффициентов равно. Докажите, что композиция P 2 ◦ является поворотом, причём его центр совпадает с центром другого поворота, переводящего в и имеющего угол поворота 2∠( # – MA 1 , # – MN), где M — произвольная точка и N = Треугольники MAB и MCD подобны, но имеют противоположные ориентации. Пусть O 1 — центр поворота на угол 2∠( # – BA, # переводящего A в C, а O 2 — центр поворота на угол 2∠( # – AB, # переводящего B в D. Докажите, что O 1 = Дана полуокружность с диаметром AB. Для каждой точки этой полуокружности на луче XA откладывается точка Y так, что XY = kXB. Найдите ГМТ На стороне AB треугольника ABC дана точка P. Впишите в треугольник ABC треугольник PXY, подобный данному треугольнику Условия задач 393 19.41*. Постройте четырёхугольник ABCD пои См. также задачи 2.89 , 5.108 б), 5.145 , 18.32 § 6. Центр поворотной гомотетии 19.42. а) Пусть P — точка пересечения прямых AB и A 1 B 1 . Докажите, что если среди точек A, B, A 1 , и P нет совпадающих, то общая точка описанных окружностей треугольников и является центром поворотной гомотетии, переводящей точку A ваточку в B 1 , причём такая поворотная гомотетия единственна. б) Докажите, что центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок в отрезок BC, является точка пересечения окружности, проходящей через точку A и касающейся прямой BC в точке и окружности, проходящей через точку C и касающейся прямой в точке По двум пересекающимся прямым с постоянными, ноне равными скоростями движутся точки A и B. Докажите, что существует такая точка P, что в любой момент времени AP : BP = k, где k — отношение скоростей. 19.44. Постройте центр O поворотной гомотетии сданным коэффициентом, переводящей прямую впрямую, а точку лежащую на l 1 , — в точку Докажите, что центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок в отрезок A 1 B 1 , совпадает с центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок в отрезок Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют общую точку. 19.47*. Параллелограмм ABCD отличен от ромба. Прямые, симметричные прямыми относительно диагоналей AC и DB соответственно, пересекаются в точке Q. Докажите, что Q — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AO в отрезок OD, где O — центр параллелограмма. 19.48*. Даны два правильных пятиугольника с общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются цифрами от 1 до 5 почасовой стрелке, причём в общей вершине ставится 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Докажите, что полученные четыре прямые пересекаются водной точке. 19.49*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки, итак, что ∼ 4A 1 B 1 C 1 . Пары отрезков и и AA 1 , и пересекаются в точках A 2 , и соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC 2 , BCA 2 , CAB 2 , A 1 B 1 C 2 , и пересекаются водной точке. См. также задачу Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия 7. Композиции поворотных гомотетий 19.50. Пусть и H 2 — две поворотные гомотетии. Докажите, что H 2 = H 2 ◦ тогда и только тогда, когда центры этих поворотных гомотетий совпадают. 19.51. Пусть и H 2 — две поворотные гомотетии. Докажите, что H 2 = H 2 ◦ тогда и только тогда, когда H 1 ◦ H 2 (A) = H 2 ◦ для некоторой точки а) На сторонах треугольника ABC построены собственно подобные треугольники A 1 BC, и BC 1 A. Пусть A 2 , и C 2 — соответственные точки этих треугольников. Докажите, чтоб) Докажите, что центры правильных треугольников, построенных внешним (внутренним) образом на сторонах треугольника ABC, образуют правильный треугольник 8. Окружность подобия трёх фигур Пусть F 1 , и F 3 — три подобные фигуры, O 1 — центр поворотной гомотетии, переводящей в F 3 , точки и определяются аналогично. Если точки O 1 , и не лежат на одной прямой, то треугольник называют треугольником подобия фигур F 1 , и F 3 , а его описанную окружность называют окружностью подобия этих фигур. В случае, когда точки O 1 , и совпадают, окружность подобия вырождается в центр подобия, а в случае, когда эти точки не совпадают, но лежат на одной прямой, окружность подобия вырождается в ось подобия. В задачах этого параграфа предполагается, что окружность подобия рассматриваемых фигур не вырождена. 19.53*. Прямые и A 3 B 3 , и A 1 B 1 , и пересекаются в точках P 1 , P 2 , P 3 соответственно. а) Докажите, что описанные окружности треугольников и пересекаются водной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A 1 B 1 , и б) Пусть O 1 — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок A 2 B 2 в отрезок A 3 B 3 ; точки и определяются аналогично. Докажите, что прямые P 1 O 1 , и пересекаются водной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A 1 B 1 , и Точки и называют соответственными точками подобных фигур F 1 и F 2 , если при поворотной гомотетии, переводящей в F 2 , точка переходит в A 2 . Аналогично определяются соответственные прямые и от- резки. 19.54*. Пусть A 1 B 1 , и A 3 B 3 , а также A 1 C 1 , и A 3 C 3 — соответственные отрезки подобных фигур F 1 , и F 3 . Докажите, что треугольник, образованный прямыми A 1 B 1 , и A 3 B 3 , подобен треугольнику, образованному прямыми A 1 C 1 , и A 3 C 3 , причём Условия задач 395 центр поворотной гомотетии, переводящей один из этих треугольников в другой, лежит на окружности подобия фигур F 1 , и Пусть l 1 , и l 3 — соответственные прямые подобных фигур, и F 3 , пересекающиеся в точке а) Докажите, что точка W лежит на окружности подобия фигур и б) Пусть J 1 , и J 3 — точки пересечения прямых l 1 , и с окружностью подобия, отличные от точки W. Докажите, что эти точки зависят только от фигур F 1 , и и не зависят от выбора прямых l 1 , и Точки J 1 , и называют постоянными точками подобных фигур и F 3 , а треугольник называют постоянным треугольником. 19.56*. Докажите, что постоянный треугольник трёх подобных фигур подобен треугольнику, образованному их соответственными прямыми, причём эти треугольники противоположно ориентированы. 19.57*. Докажите, что постоянные точки трёх подобных фигур являются их соответственными точками. Окружностью подобия треугольника ABC называют окружность подобия отрезка AB, отрезка BC и отрезка CA или любых трёх подобных треугольников, построенных на этих отрезках. Постоянными точками треугольника называют постоянные точки трёх рассматриваемых фигур. 19.58*. Докажите, что окружностью подобия треугольника ABC является окружность с диаметром KO, где K — точка Лемуана, O — центр описанной окружности. 19.59*. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, K — точка Лемуана, P и Q — точки Брокара, f — угол Брокара. Докажите, что точки P и Q лежат на окружности с диаметром KO, причём OP = OQ и = Треугольник с вершинами в постоянных точках треугольника часто называют треугольником Брокара, а описанную окружность этого треугольника (т. е. окружность подобия треугольника) — окружностью Брокара. Диаметр этой окружности называют диаметром Брокара. 19.60*. Докажите, что вершинами треугольника Брокара являются точки пересечения окружности Брокара с прямыми, проходящими через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника а) Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника параллельно сторонам треугольника Брокара через A проходит прямая, параллельная B 1 C 1 , и т. п, пересекаются водной точке S точка Штейнера), причём эта точка лежит на описанной окружности треугольника б) Докажите, что прямая Симсона точки Штейнера параллельна диаметру Брокара. Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия Задачи для самостоятельного решения 19.62. Впишите в данный треугольник ABC треугольник стороны которого параллельны сторонам данного треугольника На плоскости даны точки A и E. Постройте ромб с заданной высотой, для которого E — середина стороны Дан четырёхугольник. Впишите в него ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника. 19.65. Даны острый угол AOB и внутри его точка C. Найдите на стороне OB точку M, равноудалённую от стороны OA и от точки Дан остроугольный треугольник ABC, O — точка пересечения его высот окружность с центром O, лежащая внутри этого треугольника. Постройте треугольник A 1 B 1 C 1 , описанный около окружности и вписанный в треугольник Даны три прямые a, b, c и три точки A, B, C, расположенные соответственно на прямых a, b, c. Постройте точки X, Y, Z на прямых a, b, c так, чтобы BY : AX = 2, CZ : AX = 3 и точки X, Y, лежали на одной прямой. Решения 19.1. При гомотетии с центром в точке пересечения диагоналей четы- рёхугольника и коэффициентом 3/2 точки пересечения медиан указанных треугольников переходят в середины сторон четырёхугольника. Остаётся воспользоваться результатом задачи 1.2 19.2. При гомотетии с центром K, переводящей 4KBC в 4KAD, точка переходит в N, поэтому точка K лежит на прямой MN. При гомотетии сцен- тром L, переводящей 4LBC в 4LDA, точка M переходит в N. Поэтому точка лежит на прямой Пусть продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке а диагонали трапеции пересекаются в точке L. Согласно предыдущей задаче прямая KL проходит через середину отрезка AD, а по условию задачи этаже прямая делит пополам угол AKD. Поэтому треугольник AKD равнобедренный (см. задачу, а значит, трапеция ABCD тоже равнобедренная. |