Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 46 из 70

19.4.
При гомотетии с центром M и коэффициентом −2 прямые и переходят в прямые l
a
, и l
c
, а значит, искомая точка Q является образом точки P при этой гомотетии.
19.5.
Рассмотрим гомотетию с центром B, переводящую отрезок в отрезок A
0
C
0
, касающийся описанной окружности треугольника ABC. Обозначим середины отрезков PK и через и D, центр окружности S через Окружность S является вписанной окружностью треугольника A
0
BC
0
, поэтому достаточно доказать, что при гомотетии точка переходит в O. Для этого достаточно проверить, что BO
1
: BO = BA : BA
0
. Это равенство следует из того, что и DA — высоты подобных прямоугольных треугольников и Пусть k — коэффициент подобия многоугольников, причём k < Сдвигая стороны исходного многоугольника внутрь последовательно на k, k
2
,

Решения задач, . . . , получаем стягивающуюся систему вложенных выпуклых многоугольников, подобных исходному с коэффициентами k, k
2
, k
3
, . . . Единственная об-
Рис. 19.1
щая точка этих многоугольников является центром вписанной окружности исходного многоугольника.
19.7.
Пусть A
1
, и C
1
— середины сторон, AC и AB соответственно. При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом гомотетии
−1/2
описанная окружность S треугольника переходит в описанную окружность треугольника. Так как окружность пересекает все стороны треугольника ABC, то можно построить треугольник со сторонами, параллельными сторонам треугольника, для которого будет вписанной окружностью (рис. 19.1). Пусть r и r
0
— радиусы вписанных окружностей треугольников ABC и A
0
B
0
C
0
; R и R
1
— радиусы окружностей S и S
1
. Ясно, что r6r
0
=R
1
=R/2. Равенство достигается, если треугольники и ABC совпадают, те вписанная окружность треугольника. В этом случае AB
1
= AC
1
, поэтому AB = AC. Аналогично AB = Так как # –
MM
i
= (
# –
MA
1
+ . . . +
# –
MA
n
− # –
MA
i
)/(n − 1) = −
# –
MA
i
/(n − 1), то точка переходит в точку при гомотетии с центром M и коэффициентом − Пусть A и B — пара наиболее удалённых друг от друга точек многоугольника. Тогда Φ
1
= H
1/2
A
(Φ) и Φ
2
= H
1/2
B
(Φ) — искомые фигуры. В самом деле, и не пересекаются, так как лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра к отрезку AB. Кроме того, содержится в Φ, так как Φ — выпуклый многоугольник.
19.10.
Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC, O — середина отрезка AB. Ясно, что 3 # –
OM =
# –
OC, поэтому точки M заполняют окружность,
полученную из исходной окружности гомотетией с коэффициентом 1/3 и центром а) При гомотетии с центром B, переводящей вписанную окружность во вневписанную окружность, касающуюся стороны AC, точка M переходит в некоторую точку M
0
. Точка является концом диаметра, перпендикулярного прямой AC, поэтому является точкой касания вписанной окружности со стороной AC, а значит, и точкой пересечения прямой BM со стороной Поэтому K = и точка K является точкой касания вневписанной окружности со стороной AC. Теперь легко вычислить, что AK = (a + b − c)/2 = CD, где a,
b и c — длины сторон треугольника б) Рассмотрим гомотетию с центром M, переводящую прямую EH впрямую, касающуюся данной окружности. При этой гомотетии точки E, F, K и переходят в точки E
0
, F
0
, и H
0
. Согласно задаче а) E
0
F
0
= K
0
H
0
, поэтому = Воспользуемся решением и обозначениями задачи
19.11
а). Так как = DC, то B
1
K = B
1
D, а значит, B
1
O — средняя линия треугольника Пусть O
a
, O
b
, O
g и O
d
— центры окружностей a
,
b
,
g и
d
;
O
1
и O
2
— центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия
Треугольник ABC переходит в треугольник O
a
O
b
O
g при гомотетии сцен- тром O
1
. При этой гомотетии точка переходит в центр описанной окружности треугольника O
a
O
b
O
g
, совпадающий сточкой. Поэтому точки и O
d лежат на одной прямой.
19.14.
Пусть A
1
, и C
1
— центры данных окружностей, касающихся сторон треугольника, O — центр окружности, касающейся этих окружностей,
O
1
и O
2
— центры вписанной и описанной окружностей треугольника Прямые AA
1
, и являются биссектрисами треугольника ABC, поэтому они пересекаются в точке O
1
. Следовательно, треугольник ABC переходит в треугольник при гомотетии с центром O
1
, причём коэффициент гомотетии равен отношению расстояний от точки до сторон треугольников ABC и A
1
B
1
C
1
, те. равен (r −
r
)/r. При этой гомотетии описанная окружность треугольника ABC переходит в описанную окружность треугольника A
1
B
1
C
1
. Так как OA
1
= OB
1
= OC
1
= 2
r
, радиус описанной окружности треугольника равен 2
r
. Следовательно, R(r −
r
)/r = те+ Пусть X — центр гомотетии (с положительным коэффициентом),
переводящей вписанную окружность треугольника ABC в описанную окружность. Прямая AX пересекает вписанную окружность в точках и одна из которых (для определённости A
00
) при указанной гомотетии переходит в точку A, а другая — в некоторую точку A
2
, лежащую на описанной окружности.
Рассмотрим гомотетию с центром A, переводящую в A
2
. При этой гомотетии центр вписанной окружности переходит в точку, лежащую на отрезке OA
2
, где O — центр описанной окружности. Это означает, что вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности в точке A
2
. Следовательно, A
2
= A
1
. Поэтому прямые AA
1
, и проходят через точку X.
19.16.
Возьмём на биссектрисе угла ABC произвольную точку O и построим окружность S с центром O, касающуюся сторон угла. Прямая BM пересекает окружность S в точках и M
2
. Задача имеет два решения при гомотетии с центром B, переводящей в M, и при гомотетии с центром B, переводящей в M, окружность S переходит в окружности, проходящие через точку M и касающиеся сторон угла.
19.17.
Ясно, что обе окружности касаются одной из сторон треугольника.
Покажем, как построить окружности, касающиеся стороны AB. Построим окружности S
0 и S
0 одного радиуса, касающиеся друг друга и прямой c
0
= и расположенные внутри треугольника ABC. Построим касательные и к этим окружностям, параллельные прямыми соответственно. Треугольник, образованный прямыми a
0
, и c
0
, имеет стороны, параллельные сторонам треугольника ABC. Поэтому существует гомотетия, переводящая треугольник в треугольник ABC. Искомые окружности являются
´образами окружностей S
0 и S
0 при этой гомотетии.
19.18.
а) Отложим на сторонах AB и BC треугольника ABC отрезки
AX
1
и равной длины a. Проведём через точку прямую l, параллельную стороне AC. Пусть Y
2
— точка пересечения прямой l и окружности радиуса с центром X
1
, лежащая внутри треугольника. Тогда искомая точка Y является точкой пересечения прямой со стороной BC, X — такая точка луча что AX = CY.

Решения задач
399
б) Возьмём на стороне AB произвольную точку X
1 6= B. Окружность радиуса с центром пересекает луч BC в точках B и Y
1
. На прямой построим такую точку C
1
, что Y
1
C
1
= и точка лежит между B и При гомотетии с центром B, переводящей точку в C, точки и переходят в искомые точки X и Y.
19.19.
Возьмём отрезок AD и проведём окружности и с центром и радиусами AB и AC соответственно. Вершина B является точкой пересечения окружности с образом окружности при гомотетии с центром и коэффициентом = −AB/AC.
19.20.
Возьмём на большей окружности произвольную точку X. Пусть 2
— образ окружности при гомотетии с центром X и коэффициентом точка пересечения окружностей S
0 и S
1
. Тогда XY — искомая прямая.
19.21.
Восставим из точек B и C перпендикуляры к прямыми пусть P — точка их пересечения. Тогда точка пересечения прямых AP и BC —
искомая.
19.22.
Проведём к окружностями общие внешние касательные
l
1
и l
2
. Прямые и пересекаются в точке K, которая является центром гомотетии H, переводящей окружность в окружность S
2
. Пусть A
1
= Точки A и K лежат на прямой, соединяющей центры окружностей, поэтому диаметр окружности S
2
, те и A
1
C k AB. Следовательно, отрезок AB при гомотетии H переходит в A
1
C. Поэтому прямая проходит через точку K и ∠ADK = 90
◦
. Точка D лежит на окружности с диаметром AK. Ясно также, что точка D лежит внутри угла, образованного прямыми и l
2
. Таким образом, геометрическим местом точек D является дуга окружности S, высекаемая прямыми и Из условия задачи следует, что отображение f взаимно одно- значно.
а) Пусть точка A переходит при отображении f в точку A
0
, а B — в точку. Тогда –
BB
0
=
# –
BA +
# –
AA
0
+
# –
A
0
B
0
= −
# –
AB +
# –
AA
0
+
# –
AB =
# –
AA
0
, те. преобразование является параллельным переносом.
б) Рассмотрим три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Пусть и C
0
— их образы при отображении f. Прямые AB, BC и CA немо- гут совпасть с прямыми A
0
B
0
, и соответственно, так как в этом случае A = A
0
, B = и C = C
0
. Пусть AB 6= A
0
B
0
. Прямые и не параллельны, поскольку иначе четырёхугольник был бы параллелограммом и –
AB =
# –
A
0
B
0
. Пусть O — точка пересечения прямых и Треугольники AOB и подобны с коэффициентом подобия k, поэтому –
OA
0
= k
# –
OA, те неподвижная точка преобразования f. Следовательно –
Of(X) =
# –
f(O)f(X) = k
# –
OX для любой точки X, а это означает, что преобразование является гомотетией с коэффициентом k и центром Пусть H = H
2
◦ H
1
, где и H
2
— гомотетии с центрами и и коэффициентами и k
2
. Введём обозначения A
0
= H
1
(A), B
0
= H
1
(B),
A
00
= H
2
(A
0
), B
00
= H
2
(B
0
). Тогда –
A
0
B
0
= k
1
# –
AB и –
A
00
B
00
= k
2
# –
A
0
B
0
, те. Из этого с помощью предыдущей задачи получаем, что преобразование при k
1
k
2 6= 1 является гомотетией с коэффициентом k
1
k
2
, а при 1 — параллельным переносом

Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия
Остаётся проверить, что неподвижная точка преобразования H лежит на прямой, соединяющей центры гомотетий и H
2
. Так как –
O
1
A
0
= k
1
# и –
O
2
A
00
= k
2
# –
O
2
A
0
, то –
O
2
A
00
= k
2
(
# –
O
2
O
1
+
# –
O
1
A
0
) = k
2
(
# –
O
2
O
1
+ k
1
# –
O
1
A) = k
2
# –
O
2
O
1
+
+ k
1
k
2
# –
O
1
O
2
+ k
1
k
2
# –
O
2
A. Для неподвижной точки X получаем уравнение –
O
2
X =
= (k
1
k
2
− k
2
)
# –
O
1
O
2
+ k
1
k
2
# –
O
2
X, поэтому –
O
2
X =
l
# –
O
1
O
2
, где l
= (k
1
k
2
− k
2
)/(1 − Точка A является центром гомотетии, переводящей в S
2
, точка центром гомотетии, переводящей в S
3
. Композиция этих гомоте- тий переводит в S
3
, причём её центр лежит на прямой AB. С другой стороны, центром гомотетии, переводящей в S
3
, является точка C. В самом деле, точке пересечения внешних касательных соответствует гомотетия с положительным коэффициентом, а композиция гомотетий с положительными коэффициентами является гомотетией с положительным коэффици- ентом.
19.26.
а) Пусть K, L, M — точки пересечения прямых AB и CD, AP и DQ,
BP и CQ. Эти точки являются центрами гомотетий H
K
, и с положительными коэффициентами, переводящих соответственно отрезок BC в AD,
AD в PQ ив. Ясно, что H
L
◦ H
K
= H
M
. Поэтому точки K, L и M лежат на одной прямой.
б) Пусть K, L, M — точки пересечения прямых AB и CD, AQ и DP,
BQ и CP. Эти точки являются центрами гомотетий H
K
, и H
M
, переводящих соответственно отрезок BC в AD, AD в QP, BC в QP, коэффициент первой гомотетии положительный, а двух последних — отрицательный. Ясно, что H
L
◦ H
K
= H
M
. Поэтому точки K, L и M лежат на одной прямой.
19.27.
Так как ∠(P
1
A, AB) =
∠(P
2
A, AB), то ориентированные угловые величины дуги равны. Поэтому при поворотной гомотетии сцен- тром B, переводящей в S
2
, точка переходит в P
2
, а прямая переходит впрямую Так как ориентированные угловые величины дуги AM
2
равны,
то ∠(M
1
B, BA) =
∠(M
2
B, BA), а значит, точки M
1
, и B лежат на одной прямой.
19.29.
Пусть P
i
— поворотная гомотетия с центром O, переводящая окружность в S
i+1
. Тогда X
i+1
= P
i
(X
i
) см. задачу. Остаётся отметить,
что композиция P
n
◦ . . . ◦ P
2
◦ является поворотной гомотетией сцен- тром O, переводящей в S
1
, те. она является тождественным преобразо- ванием.
19.30.
Так как ∠AMB = ∠NAB и ∠BAM = ∠BNA, то 4AMB ∼ 4NAB, а значит. Кроме того, ∠ABM = 180
◦
− ∠MAN = Следовательно ∼ 4ACN, те. поворотная гомотетия с центром A, переводящая в B, переводит C в N, а значит, она переводит Q в Пусть и O
2
— центры данных окружностей, и r
2
— их радиусы. Коэффициент k поворотной гомотетии, переводящей в S
2
, равен, а её центр O лежит на окружности с диаметром O
1
O
2
, и, кроме того OO
2
= k = r
1
/r
2
. Остаётся проверить, что окружность с диаметром и ГМТ O таких, что OO
1
: OO
2
= k, имеют ровно две общие точки. При k = это очевидно, а при k 6= 1 последнее ГМТ описано в решении задачи оно является окружностью, причём одна из её точек пересечения с прямой лежит внутри отрезка O
1
O
2
, а другая — вне его

Решения задач
401
19.32.
Рассмотрим преобразование, переводящее треугольник BHC в треугольник, те. композицию поворота на относительно точки и гомотетии с коэффициентом BP : CB и центром H. Поскольку при этом преобразовании вершины квадрата переходят в вершины некоторого другого квадрата, а точки C и B переходят в точки B и P, то точка D переходит в точку Q, те Пусть P — поворотная гомотетия, переводящая вектор # –
CB в вектор –
CA
1
. Тогда # –
AA
1
+
# –
CC
1
+ # –
BB
1
=
# –
AC + P(
# –
CB) +
# –
CB + P(
# –
BA) +
# –
BA + P(
# –
AC) =
#–
0 Значит, если M — центр масс треугольника ABC, то # –
MA
1
+ # –
MB
1
+
# –
MC
1
=
= (
# –
MA + # –
MB +
# –
MC) + (
# –
AA
1
+ # –
BB
1
+
# –
CC
1
) =
#–
0 Пусть M — общая середина сторон BC и B
1
C
1
,