Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
Основные сведения. Для решения многих задач бывает полезно рассмотреть какой-либо «крайний», граничный элемент, те. элемент, на котором некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение, например, наибольшую или наименьшую сторону треугольника, наибольший или наименьший угол и т. д. Этот метод решения задач иногда называют принципом (правилом) крайнего; название это, правда, не общепринятое. Пусть O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольни- ка. Его вершины можно обозначить так, что CO 6 AO и BO 6 DO. Тогда при симметрии относительно точки O треугольник BOC попадает внутрь треугольника, те. в некотором смысле треугольник BOC наименьший, а треугольник AOD наибольший (см. § 4). 3. Вершины выпуклой оболочки и опорные прямые тоже являются в некотором смысле крайними элементами эти понятия используются в § 5, там приведены их определения и свойства 1. Наименьший или наибольший угол 20.1. Докажите, что если длины всех сторон треугольника меньше, то его площадь меньше √ 3/4. 20.2. Докажите, что круги, построенные на сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах, полностью покрывают этот че- тырёхугольник. 20.3. В некоторой стране 100 аэродромов, причём все попарные расстояния между ними различны. С каждого аэродрома поднимается самолёт и летит на ближайший к нему аэродром. Докажите, что ни на один аэродром не может прилететь больше пяти самолётов. 20.4. Внутри круга радиуса 1 лежат восемь точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая точка O лежит внутри каждого из них. Докажите, что один из этих кругов содержит центр некоторого другого. 20.6*. Внутри остроугольного треугольника взята точка P. Докажите, что наибольшее из расстояний от точки P до вершин этого треугольника не меньше удвоенного наименьшего из расстояний от P до его сторона) Длины биссектрис треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит 1/ √ 3. Глава 20. Принцип крайнего б) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки и C 1 . Докажите, что если длины отрезков AA 1 , и не превосходят 1, то площадь треугольника ABC не превосходит См. также задачу 2. Наименьшее или наибольшее расстояние 20.8. На плоскости дано n > 3 точек, причём не все они лежат на одной прямой. Докажите, что существует окружность, проходящая через три изданных точек и не содержащая внутри ни одной из оставшихся точек. 20.9. На плоскости расположено несколько точек, все попарные расстояния между которыми различны. Каждую из этих точек соединяют с ближайшей. Может ли при этом получиться замкнутая ломаная? 20.10. Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, опущенных из внутренней точки выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне, а не на её продолжении. 20.11. Из каждой вершины многоугольника опущены перпендикуляры на стороны, её не содержащие. Докажите, что хотя бы для одной вершины одно из оснований перпендикуляров лежит на самой стороне, а не на её продолжении. 20.12*. Докажите, что в любом выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник. 20.13*. Докажите, что многоугольник нельзя покрыть двумя многоугольниками, гомотетичными ему с коэффициентом k, где 0 < k < На плоскости дано конечное число точек, причём любая прямая, проходящая через две изданных точек, содержит ещё одну данную точку. Докажите, что все данные точки лежат на одной прямой (Сильвестр). 20.15*. На плоскости дано конечное число попарно непараллельных прямых, причём через точку пересечения любых двух из них проходит ещё одна изданных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку. 20.16*. На плоскости дано n точек и отмечены середины всех отрезков с концами в этих точках. Докажите, что различных отмеченных точек не менее 2n − См. также задачи 3. Наименьшая или наибольшая площадь 20.17*. На плоскости расположено n точек, причём площадь любого треугольника с вершинами в этих точках не превосходит 1. Докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4. Условия задач 409 20.18*. Многоугольник M 0 гомотетичен многоугольнику M с коэффициентом гомотетии. Докажите, что существует параллельный перенос, переводящий многоугольник внутрь многоугольника См. также задачу 4. Наибольший треугольник 20.19*. Пусть O — точка пересечения диагоналей выпуклого четы- рёхугольника ABCD. Докажите, что если периметры треугольников, BCO, CDO и DAO равны, то ABCD — ромб. 20.20*. Докажите, что если центр вписанной окружности четырёх- угольника совпадает сточкой пересечения диагоналей, то четырёх- угольник — ромб. 20.21*. Пусть O — точка пересечения диагоналей выпуклого четы- рёхугольника ABCD. Докажите, что если радиусы вписанных окружностей треугольников ABO, BCO, CDO и DAO равны, то ABCD — ромб 5. Выпуклая оболочка и опорные прямые При решении задач этого параграфа рассматриваются выпуклые оболочки систем точек и опорные прямые выпуклых многоугольников. Выпуклой оболочкой конечного набора точек называют наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все эти точки (слово «наименьший» означает, что он не содержится нив каком другом таком многоугольнике. У любой конечной системы точек существует единственная выпуклая оболочка (рис. Опорной прямой выпуклого многоугольника называют прямую, проходящую через его вершину и обладающую тем свойством, что многоугольник лежит по одну сторону от не. Легко проверить, что для любого выпуклого многоугольника существуют ровно две опорные прямые, параллельные данной прямой (рис. Рис. Рис. Решите задачу, воспользовавшись понятием выпуклой оболочки Глава 20. Принцип крайнего 20.23*. На плоскости даны 2n + 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что n из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведён- ной через выбранные точки, а n — вне её. 20.24*. Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади можно поместить в прямоугольник площади На плоскости дано конечное число точек. Докажите, что из них всегда можно выбрать точку, для которой ближайшими к ней являются не более трёх данных точек. 20.26*. На столе расположено n картонных и n пластмассовых квадратов, причём никакие два картонных и никакие два пластмассовых квадрата не имеют общих точек, в том числе и точек границы. Оказалось, что множество вершин картонных квадратов совпадает с множеством вершин пластмассовых квадратов. Обязательно ли каждый картонный квадрат совпадает с некоторым пластмассовым На плоскости дано n > 4 точек, причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что если для любых трёх из них найдётся четвёртая (тоже изданных, с которой они образуют вершины параллелограмма, то n = На плоскости дано несколько точек, попарные расстояния между которыми не превосходят 1. Докажите, что эти точки можно покрыть правильным треугольником со стороной √ 3. См. также задачи 6. Разные задачи 20.29. На плоскости дано конечное множество многоугольников (необязательно выпуклых, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, имеющая общие точки со всеми этими многоугольниками. 20.30. Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь других отрезков? 20.31. На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным. 20.32. На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами, где n и m — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника. Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом Решения задач 411 20.33*. На плоскости дано n точек, причём любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса Дан выпуклый многоугольник A 1 . . . A n . Докажите, что описанная окружность некоторого треугольника содержит весь многоугольник. Решения 20.1. Пусть a — наименьший угол треугольника. Тогда a 6 60 ◦ . Поэтому = (bc sin a )/2 6 (sin 60 ◦ )/2 Пусть X — произвольная точка, лежащая внутри выпуклого четырёх- угольника. Так как ∠AXB + ∠BXC + ∠CXD + ∠AXD = 360 ◦ , то наибольший из этих углов не меньше 90 ◦ . Пусть для определённости ∠AXB > 90 ◦ . Тогда точка X лежит внутри окружности с диаметром Если самолёты из точек A и B прилетели в точку O, то AB — наибольшая сторона треугольника AOB, те. Предположим, что в точку O прилетели самолёты из точек A 1 , . . . , A n . Тогда один из углов не превосходит 360 ◦ /n. Поэтому 360 ◦ /n > 60 ◦ , те По крайней мере семь точек отличны от центра O окружности. Поэтому наименьший из углов A i OA j , где и A j — данные точки, не превосходит < 60 ◦ . Если A и B — точки, соответствующие наименьшему углу, то < 1, так как AO 6 1, BO 6 1 и угол AOB строго меньше наибольшего угла треугольника Один из углов между шестью отрезками, соединяющими точку с центрами кругов, не превосходит 360 ◦ /6 = 60 ◦ . Пусть ∠O 1 OO 2 6 60 ◦ , где O 1 и O 2 — центры кругов радиуса и соответственно. Так как ∠O 1 OO 2 этот угол не является наибольшим углом треугольника поэтому либо 6 O 1 O, либо O 1 O 2 6 O 2 O. Пусть для определённости O 1 O 2 6 O 1 O. Так как точка O лежит внутри кругов, то O 1 O < r 1 . Поэтому O 1 O 2 6 O 1 O < те. точка лежит внутри круга радиуса с центром Опустим из точки P перпендикуляры PA 1 , и на стороны, CA и AB и выберем наибольший из углов, образованных этими перпендикулярами и лучами PA, PB и PC. Пусть для определённости это будет угол APC 1 . Тогда ∠APC 1 > 60 ◦ , поэтому PC 1 : AP = cos APC 1 6 cos 60 ◦ = те. Ясно, что неравенство сохранится, если AP заменить на наибольшее из чисел AP, BP и CP, а PC 1 — на наименьшее из чисел и а) Пусть для определённости a — наименьший угол треугольника биссектриса. Одна из сторон AB и AC не превосходит cos( a /2), так как иначе отрезок BC не проходит через точку D. Пусть для определённости AB 6 AD/ cos( a /2) 6 AD/ cos 30 ◦ 6 2/ √ 3. Тогда S ABC = = h c AB/2 6 l c AB/2 6 б) Предположим сначала, что треугольник ABC не остроугольный, например. Тогда AB 6 BB 1 6 1. Ясно также, что h c 6 CC 1 6 1. Поэтому 1/2 < Предположим теперь, что треугольник ABC остроугольный. Пусть ∠A наименьший из его углов. Тогда ∠A 6 60 ◦ , поэтому высота делит угол A Глава 20. Принцип крайнего на два угла, один из которых не превосходит 30 ◦ . Если этот угол прилегает к стороне AB, то AB 6 h a / cos 30 ◦ 6 2/ √ 3. Учитывая, что h c 6 1, получаем требуемое. 20.8. Пусть A и B — те изданных точек, расстояние между которыми минимально. Тогда внутри окружности с диаметром AB нет данных точек. Пусть C — та из оставшихся точек, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом. Тогда внутри окружности, проходящей через точки A, B и C, нет данных точек. 20.9. Предположим, что получилась замкнутая ломаная. Пусть AB — наибольшее звено этой ломаной, аи соседние с ним звенья. Тогда < AB, те не ближайшая к A точка, и BD < AB, те не ближайшая к B точка. Поэтому точки A и B не могут быть соединены. Получено противоречие. 20.10. Пусть O — данная точка. Проведём прямые, содержащие стороны многоугольника, и выберем среди них ту, которая наименее удалена от точки. Пусть на этой прямой лежит сторона AB. Докажем, что основание перпендикуляра, опущенного из точки O на сторону AB, лежит на самой стороне. Предположим, что основанием перпендикуляра, опущенного из точки напрямую, является точка P, лежащая вне отрезка AB. Так как точка лежит внутри выпуклого многоугольника, отрезок OP пересекает некоторую сторону CD в точке Q. Ясно, что OQ < OP, а расстояние от точки O до прямой CD меньше OQ. Поэтому прямая CD менее удалена от точки O, чем прямая AB, что противоречит выбору прямой AB. 20.11. Возьмём наибольшую сторону AB данного многоугольника и рассмотрим полосу, состоящую из тех точек, проекции которых напрямую попадают на отрезок AB. Эту полосу должна пересекать какая-нибудь другая сторона CD многоугольника (одна из вершин C и D может совпадать с или с B). Неравенство CD 6 AB показывает, что одна из вершин C и D лежит внутри или на границе полосы (если C = A или B, то вершина D лежит внутри полосы. Вершина, лежащая внутри или на границе полосы и отличная от и B, обладает требуемым свойством. 20.12. Пусть BE — наибольшая диагональ пятиугольника ABCDE. Докажем, что тогда из отрезков BE, EC и BD можно составить треугольник. Для этого достаточно проверить, что BE < EC + BD. Пусть O — точка пересечения диагоналей BD и EC. Тогда BE < BO + OE < BD + Пусть и O 2 — центры гомотетий с коэффициентом k, переводящих многоугольник M в многоугольники и M 2 . Тогда точка многоугольника, наиболее удалённая от прямой непокрыта многоугольниками M 1 и Предположим, что не все данные точки лежат на одной прямой. Проведём через каждую пару данных точек прямую (этих прямых конечное число) и выберем наименьшее ненулевое расстояние отданных точек до этих прямых. Пусть наименьшим будет расстояние от точки A до прямой BC, где точки B и C данные. На прямой BC лежит ещё одна изданных точек — некоторая точка D. Опустим из точки A перпендикулярна прямую BC. Две из точек B, C и D лежат по одну сторону от точки Q, например C и D. Пусть для определённости CQ < DQ рис. 20.3). Тогда расстояние от точки C до прямой меньше, чем расстояние от точки A до прямой BC, что противоречит выбору точки A и прямой BC. Решения задач 413 Рис. Предположим, что не все прямые проходят через одну точку. Рассмотрим точки пересечения прямых и выберем наименьшее ненулевое расстояние от этих точек доданных прямых. Пусть наименьшим будет расстояние от точки A до прямой l. Через точку A проходят по крайней мере три данные прямые. Пусть они пересекают прямую l в точках B, C и D. Опустим из точки A перпендикулярна прямую l. Две из точек B, C и D лежат по одну сторону от точки Q, например C и D. Пусть для определённости CQ < DQ рис. 20.4). Тогда расстояние от точки C до прямой AD меньше, чем расстояние от точки A до прямой l, что противоречит выбору A и Рис. Пусть A и B — наиболее удалённые друг от друга данные точки. Середины отрезков, соединяющих точку A соответственно точку B) с остальными точками, все различны и лежат внутри окружности радиуса AB/2 сцен- тром A соответственно B). Полученные два круга имеют лишь одну общую точку, поэтому различных отмеченных точек не менее 2(n − 1) − 1 = 2n − Выберем среди всех треугольников с вершинами в данных точках треугольник наибольшей площади. Пусть это будет треугольник ABC. Прове- дм через вершину C прямую l c k AB. Если точки X и A лежат по разные стороны от прямой l c , то S ABX > S ABC . Поэтому все данные точки лежат по одну сторону от прямой l c . Аналогично, проводя через точки B и A прямые AC и l a k BC, получаем, что все данные точки находятся внутри (или на границе) треугольника, образованного прямыми l a , и l c . Площадь этого треугольника ровно в 4 раза больше площади треугольника ABC, поэтому она не превосходит Пусть ABC — треугольник наибольшей площади с вершинами в вершинах многоугольника M. Тогда многоугольник M содержится внутри треугольника, серединами сторон которого являются точки A, B и C. При гомотетии с центром в центре масс треугольника ABC и коэффициентом −1/2 Глава 20. Принцип крайнего Рис. 20.5 треугольник A 1 B 1 C 1 переходит в треуголь- ник ABC, поэтому многоугольник M переходит внутрь треугольника Для определённости можно считать, что AO > CO и DO > BO. Пусть точки и симметричны точкам B и C относительно точки O (рис. 20.5). Так как треугольник B 1 OC 1 лежит внутри треугольника AOD, то P B 1 OC 1 = P BOC , причём равенство достигается, только если B 1 = D и C 1 = A см. задачу б. Следовательно, ABCD — параллелограмм. Поэтому AB − BC = P ABO − P BCO = те ромб. |