Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
17.39. Согласно задаче 17.37 любое движение второго рода можно представить в виде S 3 ◦ S 2 ◦ S 1 , где S 1 , и S 3 — симметрии относительно прямых, и l 3 . Предположим сначала, что прямые и не параллельны. Тогда Глава 17. Осевая симметрия при повороте прямых и относительно точки их пересечения на любой угол композиция S 3 ◦ не изменяется (см. задачу. б, поэтому можно считать, что l 2 ⊥ l 1 . Остаётся повернуть прямые и относительно точки их пересечения так, чтобы прямая стала параллельна прямой Предположим теперь, что l 2 k l 3 . Если прямая не параллельна этим прямым, то прямые и можно повернуть относительно точки их пересечения так, что прямые и станут не параллельны. А если l 1 k l 2 , то прямые и можно перенести параллельно так, что прямые и l 3 совпадут. 17.40. Предположим, что некоторое движение можно представить в виде композиции как чётного, таки нечётного числа симметрий относительно прямых. Тогда, с одной стороны, согласно задаче 17.39 это движение является скользящей симметрией относительно некоторой прямой l. Поэтому оно переводит прямую l в себя, но никакую другую прямую, параллельную l, оно в себя не переводит. Кроме того, скользящая симметрия либо не оставляет никакие точки неподвижными, либо оставляет неподвижными все точки прямой l. С другой стороны, согласно задаче 17.38 рассматриваемое движение является поворотом или параллельным переносом. Но поворот оставляет неподвижной ровно одну точку, а параллельный перенос переводит в себя каждую прямую некоторого семейства параллельных прямых. З а меча ни е. Если воспользоваться таким понятием, как направление обхода окружности, то можно сказать, что собственное движение сохраняет направление обхода, а несобственное — изменяет. Но если попытаться дать аккуратное определение этого понятие, то основанное на этом решение задачи будет не таким уж коротким. 17.41. Пусть точка симметрична точке A относительно прямой Тогда S BC (A 1 ) = A, а при симметриях относительно прямых AB и AC точка остаётся на месте. Поэтому преобразование S переводит точку в Аналогично проверяется, что преобразование S переводит точку B в точку симметричную B относительно прямой Согласно задаче 17.39 преобразование S является скользящей симметрией. Ось этой скользящей симметрии проходит через середины отрезков и те. через основания высот и BH 2 . Длина вектора переноса равна длине проекции отрезка напрямую. Угол между прямыми и равен 90 ◦ − a , поэтому длина проекции отрезка напрямую равна) = AH 1 sin a = AC sin a sin g = 2R sin a sin b sin Замечание. Если ∠C = 90 ◦ , то точки и совпадают. Тем не менее, предельное положение прямой определено однозначно, поскольку эта прямая антипараллельна стороне Если движение несобственное, то согласно задаче 17.39 оно представляет собой скользящую симметрию относительно некоторой прямой l. В таком случае все точки X лежат на прямой Если движение собственное, то согласно задаче 17.38 оно является либо параллельным переносом на вектор a, либо поворотом на угол a , где 0 < a 6 этот поворот может быть либо почасовой стрелке, либо против. Если движение является переносом на вектор a, то точка X получается из точки переносом на вектор a/2. Если движение является поворотом на 180 ◦ , то все точки X совпадают с центром поворота. Если движения является поворотом на угол a , где 0 < a < 180 ◦ , то точка X получается из точки A поворотом на угол a /2 и гомотетией с коэффициентом cos( a /2). ГЛАВА 18 ПОВОРОТ Основные сведения. Мы не будем давать строгого определения поворота. Для решения задач достаточно иметь следующее представление о повороте поворот с центром или относительно точки O) на угол f — это преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку X 0 , что: а) OX 0 = б) угол поворота от вектора # – OX к вектору равен f 2. В главе используются следующие обозначения для преобразований и их композиций перенос на вектор a; S O — симметрия относительно точки O; S l — симметрия относительно прямой l; R f O — поворот с центром O на угол f ; F ◦ G — композиция преобразований F и G, причём (F ◦ G)(X) = F(G(X)). 3. Задачи, решаемые с помощью поворотов, можно разделить на два больших класса задачи, не использующие свойств композиции поворотов, и задачи, использующие эти свойства. Для решения задач, использующих свойства композиции поворотов, нужно усвоить результат задачи R b B ◦ R a A = где g = a + b и ∠BAC = a /2, ∠ABC Вводные задачи 1. Докажите, что при повороте окружность переходит в окруж- ность. 2. Докажите, что выпуклый угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол относительно некоторой точки. 3. Докажите, что треугольник ABC является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на либо почасовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B переходит в Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник. 5. Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата образуют квадрат Глава 18. Поворот 1. Поворот на На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно, причём ∠BAM = ∠MAK. Докажите, что BM + KD = В треугольнике ABC проведены медиана CM и высота Прямые, проведённые через произвольную точку P плоскости перпендикулярно и CB, пересекают прямую CH в точках и B 1 . Докажите, что A 1 M 1 = Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены почасовой стрелке.) 18.4. Внутри квадрата взята точка P. Из вершины опущен перпендикулярна, из A 2 — на A 3 P, из A 3 — на из A 4 — на A 1 P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются водной точке. 18.5. На сторонах CB и CD квадрата ABCD взяты точки M и K так, что периметр треугольника CMK равен удвоенной стороне квадрата. Найдите величину угла На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата, и A 2 B 2 CD 2 ; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника перпендикулярна отрезку Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат. 18.8*. Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат. См. также задачи 2. Поворот на На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники A 1 BC, AB 1 C и ABC 1 . Докажите, что BB 1 = На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний. 18.11. Постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы его вершины лежали натр х данных параллельных прямых. 18.12. Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники, вершина P которых фиксирована, а вершина K лежит в данном квадрате. Найдите геометрическое место вершин M. Условия задач 375 18.13. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCP и CDQ. Докажите, что треугольник APQ правильный. 18.14. Точка M лежит на дуге AB описанной окружности правильного треугольника ABC. Докажите, что MC = MA + Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри правильного треугольника ABC, для которых MA 2 = MB 2 + Шестиугольник ABCDEF правильный, K и M — середины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK правильный. 18.17. Пусть M и N — середины сторон CD и DE правильного шестиугольника точка пересечения отрезков AM и а) Найдите величину угла между прямыми AM и б) Докажите, что S ABP = На сторонах AB и BC правильного треугольника ABC взяты точки M итак, что MN k AC, E — середина отрезка AN, D — центр треугольника BMN. Найдите величины углов треугольника На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC 1 , AB 1 C и A 1 BC. Пусть P и Q — середины отрезков и A 1 C 1 . Докажите, что треугольник APQ пра- вильный. 18.20. На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники и AB 0 C. Точка M делит сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1; K и L — середины сторон и B 0 C. Докажите, что углы треугольника KLM равны и Правильные треугольники ABC, CDE, EHK вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что # – AD = # – DK. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный. 18.22. а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна. б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше 120 ◦ , взята точка O, из которой его стороны видны под углом 120 ◦ . Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна (a 2 + b 2 + c 2 )/2 + + Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите, что из отрезков XA, XB и XC можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка лежит на описанной окружности треугольника ABC (Помпею). 18.24*. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причём AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и образуют правильный треугольник. 18.25*. На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника внешним образом построены правильные тре- Глава 18. Поворот угольники. Докажите, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник 3. Повороты на произвольные углы 18.26. Докажите, что при повороте на угол с центром вначале координат точка с координатами (x, y) переходит в точку cos a − y sin a , x sin a + y cos Даны точки A и B и окружность S. Постройте на окружности такие точки C и D, что AC k BD и дуга CD имеет данную величину Поворот с центром O переводит прямую впрямую а точку A 1 , лежащую на прямой l 1 , — в точку A 2 . Докажите, что точка пересечения прямых и лежит на описанной окружности треугольника На плоскости лежат две одинаковые буквы Г. Конец короткой палочки одной буквы обозначим A, а другой — A 0 . Длинные палочки разбиты на n равных частей точками A 1 , . . . , A n−1 ; A 0 1 , . . . , точки деления нумеруются от концов длинных палочек. Прямые AA i и пересекаются в точке X i . Докажите, что точки X 1 , . . . , образуют выпуклый многоугольник. 18.30. По двум прямым, пересекающимся в точке P, равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки по одной прямой — точка, подругой точка B. Через точку P они проходят не одновременно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность треугольника ABP проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от Для данного треугольника ABC, один из углов которого больше 120 ◦ , найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна. 18.32. Треугольник получен из треугольника ABC поворотом на угол a ( a <180 ◦ ) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон AB и A 1 B 1 , BC и B 1 C 1 , CA и или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику Дан треугольник ABC. Постройте прямую, делящую пополам его площадь и периметр. 18.34*. На векторах # – A i B i , где i = 1, . . . , k, построены правильные одинаково ориентированные угольники A i B i C i D i . . . (n > 4). Докажите, что угольники C 1 . . . и D 1 . . . правильные одинаково ориентированные тогда и только тогда, когда угольники A 1 . . . и B 1 . . . правильные одинаково ориентированные. 18.35*. Докажите, что три прямые, симметричные произвольной прямой, проходящей через точку пересечения высот треуголь- Условия задач 377 ника, относительно сторон треугольника, пересекаются водной точке. 18.36*. По арене цирка, являющейся кругом радиусам, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан. См. также задачи 4. Композиции поворотов 18.37. Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360 ◦ , является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и пер- пендикулярны. 18.39. На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат. 18.40. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами P, Q и R. На сторонах треугольника внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры являются серединами сторон треугольника Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO 1 , BCO 2 , и Докажите, что если O 1 = O 3 , то O 2 = а) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник. б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных внутренним образом. в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников, полученных в задачах аи б, равна площади исходного треуголь- ника. 18.43*. На сторонах треугольника ABC построены правильные треугольники и B 0 AC внешним образом, C 0 AB — внутренним, M центр треугольника C 0 AB. Докажите, что A 0 B 0 M — равнобедренный треугольник, причём ∠A 0 MB 0 = Пусть углы a , b , g таковы, что 0 < a , b , g < p и a + b + g = p Докажите, что если композиция поворотов R 2 g C ◦ R 2 b B ◦ является Глава 18. Поворот тождественным преобразованием, то углы треугольника ABC равны Постройте угольник, если известны n точек, являющихся вершинами равнобедренных треугольников, построенных на сторонах этого угольника и имеющих при вершинах углы a 1 , . . . На сторонах произвольного треугольника ABC вне его построены равнобедренные треугольники A 0 BC, AB 0 C и сверши- нами A 0 , и и углами a , b и при этих вершинах, причём a + b + g = 2 p . Докажите, что углы треугольника равны Пусть AKL и AMN — подобные равнобедренные треугольники с вершиной A и углом при вершине GNK и G 0 LM — подобные равнобедренные треугольники с углом p − a при вершине. Докажите, что G = G 0 . (Треугольники ориентированы одинаково.) 18.48*. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки, Q и R соответственно. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников APR, BPQ и CQR образуют треугольник, подобный треугольнику Задачи для самостоятельного решения 18.49. На плоскости проведена окружность радиуса 1 с центром Две соседние вершины квадрата лежат на этой окружности. На каком наибольшем расстоянии от точки O могут лежать две другие его вершины? 18.50. На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD построены правильные треугольники ABM, CDP во внешнюю сторону, а BCN, ADK — во внутреннюю. Докажите, что MN = На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD во внешнюю сторону построены квадраты с центрами M, N, P, Q. Докажите, что середины диагоналей четырёхугольников ABCD и MNPQ образуют квадрат. |