Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
16.17. Предварительно разобьём прямые на пары. Это можно сделать тремя способами. Пусть противоположные вершины A и C параллелограмма Рис. лежат на одной паре прямых, B и D — на другой. Рассматривая угол, образованный первой парой прямых, строим точки A и C, как это описано в решении задачи. Аналогично строим точки и D. 16.18. Возьмём на меньшей окружности произвольную точку X. Пусть S 0 1 — образ окружности при симметрии относительно точки X, Y — точка пересечения окружностей S 0 и S 2 . Тогда искомая прямая. 16.19. Предположим, что точка X построена. Обозначим образы точек A, B и X при симметрии относительно точки J через A 0 , и соответственно (рис. 16.4). Угол ∠A 0 FB = 180 ◦ − известен, поэтому точка F является точкой пересечения отрезка CD с дугой окружности, из которой отрезок виден под углом 180 ◦ − Точка X является точкой пересечения прямой BF сданной окружностью. 16.20. Предположим, что прямая l построена. Рассмотрим окружность S 0 симметричную окружности относительно точки A. Пусть O 1 , O 0 и O 2 — Глава 16. Центральная симметрия Рис. центры окружностей S 1 , S 0 ирис. 16.5). Проведём через точки O 0 и прямые l 0 и перпендикулярные прямой l. Расстояние между прямыми l 0 и равно половине разности длин хорд, высекаемых прямой l на окружностях S 1 и S 2 . Поэтому для построения прямой l нужно построить окружность радиуса a/2 сцен- тром O 0 1 ; прямая будет касательной к этой окружности. Построив прямую l 2 , опускаем на неё перпендикуляр из точки A и получаем прямую Пусть, B 2 , . . . , B m — середины сторон, A 2 A 3 , . . . , многоугольника. . . A m . Тогда S B 1 (A 1 ) = A 2 , S B 2 (A 2 ) = A 3 , ..., S B m (A m ) = A 1 . Поэтому S B m ◦ . . . ◦ S B 1 (A 1 ) = те неподвижная точка композиции симметрий S B m ◦ S B m−1 ◦ . . . ◦ Согласно задаче 16.9 композиция нечётного числа центральных симметрий является центральной симметрией, те. имеет единственную неподвижную точку. Эту точку можно построить как середину отрезка, соединяющего точки и S B m ◦ S B m−1 ◦ . . . ◦ S B 1 (X), где X — произвольная точка ГЛАВА ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ Основные сведения. Симметрией относительно прямой l обозначение S l ) называют преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку X 0 , что l — серединный перпендикуляр к отрезку XX 0 . Это преобразование называют также осевой симметрией, а l — осью симметрии. Если фигура переходит в себя при симметрии относительно прямой то l называют осью симметрии этой фигуры. Композиция двух осевых симметрий является параллельным переносом, если их оси параллельны, и поворотом, если они не параллельны (см. задачу Осевые симметрии являются как бы кирпичиками, из которых построены все другие движения плоскости любое движение является композицией не более чем трёх осевых симметрий (задача. Поэтому композиции осевых симметрий дают гораздо более мощный метод решения задач, чем композиции центральных симметрий. Кроме того, поворот часто бывает удобно разложить в композицию двух симметрий, причём за одну из осей можно взять любую прямую, проходящую через центр поворота. Вводные задачи 1. Докажите, что окружность при осевой симметрии переходит в окружность. 2. Четырёхугольник имеет ось симметрии. Докажите, что этот че- тырёхугольник либо является равнобедренной трапецией, либо симметричен относительно диагонали. 3. Ось симметрии многоугольника пересекает его стороны в точках и B. Докажите, что точка A является либо вершиной многоугольника, либо серединой стороны, перпендикулярной оси сим- метрии. 4. Докажите, что если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то она имеет центр симметрии 1. Симметрия помогает решить задачу 17.1. Точка M лежит на диаметре AB окружности. Хорда CD проходит через M и пересекает AB под углом 45 ◦ . Докажите, что сумма+ не зависит от выбора точки M. Глава 17. Осевая симметрия 17.2. Равные окружности и касаются окружности S внутренним образом в точках и A 2 . Произвольная точка C окружности соединена отрезками с точками и A 2 . Эти отрезки пересекают S 1 и в точках и B 2 . Докажите, что A 1 A 2 k Через точку M основания AB равнобедренного треугольника проведена прямая, пересекающая его боковые стороны CA и или их продолжения) в точках и B 1 . Докажите, что A 1 A : A 1 M = = B 1 B : См. также задачи 2. Построения 17.4. Постройте четырёхугольник ABCD, у которого диагональ является биссектрисой угла A, зная длины его сторон. 17.5. Постройте четырёхугольник ABCD, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон AB и AD и углы при вершинах B и Постройте треугольник ABC пои разности углов A и Постройте треугольник ABC по стороне c, высоте и разности углов A и Постройте треугольник ABC по аи углуби углу Дана прямая l и точки A и B, лежащие по одну сторону от не. Постройте такую точку X прямой l, что AX + XB = a, где a — данная величина. 17.10. Дан острый угол MON и точки A и B внутри его. Найдите на стороне OM точку X так, чтобы треугольник XYZ, где Y и Z — точки пересечения прямых XA и XB сбыл равнобедренным XY = = Дана прямая MN и две точки A и B по одну сторону от неё. Постройте на прямой MN точку X так, что ∠AXM = Даны три прямые l 1 , и l 3 , пересекающиеся водной точке, и точка на прямой l 1 . Постройте треугольник ABC так, чтобы точка была серединой его стороны BC, а прямые l 1 , и были серединными перпендикулярами к сторонам. 17.13. Постройте треугольник ABC, если даны точки A, B и прямая, на которой лежит биссектриса угла Даны три прямые l 1 , и l 3 , пересекающиеся водной точке, и точка A на прямой l 1 . Постройте треугольник ABC так, чтобы точка A была его вершиной, а биссектрисы треугольника лежали на прямых l 1 , и l 3 Условия задач 363 17.15. Постройте треугольник поданным серединам двух сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведённая к одной из этих сторон 3. Неравенства и экстремумы 17.16. На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Докажите, что MA + MB > CA + В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что > (b + c) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон ив точках и A 1 . Докажите, что если AC > BC, то AA 1 > Докажите, что площадь любого выпуклого четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон. 17.20. Дана прямая l и две точки A и B по одну сторону от неё. Найдите на прямой l точку X так, чтобы длина ломаной AXB была минимальна. 17.21*. В данный остроугольный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра 4. Композиции симметрий 17.22. а) Прямые и параллельны. Докажите, что S l 1 ◦ S l 2 = где T a — параллельный перенос, переводящий в l 2 , причём a ⊥ б) Прямые и пересекаются в точке O. Докажите, что S l 2 ◦ S l 1 = = R 2 a O , где R a O — поворот, переводящий в Даны три прямые a, b, c. Докажите, что композиция симметрий является симметрией относительно некоторой прямой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются водной точке. 17.24. Даны три прямые a, b, c. Пусть T = S a ◦ S b ◦ S c . Докажите, что T ◦ T — параллельный переносили тождественное отображение). 17.25. Пусть l 3 = S l 1 (l 2 ). Докажите, что S l 3 = S l 1 ◦ S l 2 ◦ Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках A 1 , и C 1 ; точки A 2 , и симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что A 2 B 2 k AB и прямые AA 2 , и пересекаются водной точке. 17.27*. Две прямые пересекаются под углом g . Кузнечик прыгает с одной прямой на другую длина каждого прыжка равна 1 ми кузнечик не прыгает обратно, если только это возможно. Докажите, что последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда g / p — рациональное число. 17.28*. а) Впишите в данную окружность угольник, стороны которого параллельны заданным n прямым Глава 17. Осевая симметрия б) Через центр O окружности проведено n прямых. Постройте описанный около окружности угольник, вершины которого лежат на этих прямых. 17.29*. Дано n прямых. Постройте угольник, для которого эти прямые являются а) серединными перпендикулярами к сторонам; б) биссектрисами внешних или внутренних углов при вершинах. 17.30*. Впишите в данную окружность угольник, одна из сторон которого проходит через данную точку, а остальные стороны параллельны данным прямым 5. Свойства симметрий и осей симметрии 17.31. Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что аза отражений точку A можно загнать внутрь данного круга б) за 24 отражения этого сделать нельзя. 17.32. На окружности с центром O даны точки A 1 , . . . , A n , делящие её на равные дуги, и точка X. Докажите, что точки, симметричные относительно прямых OA 1 , . . . , OA n , образуют правильный многоуголь- ник. 17.33. Сколько осей симметрии может иметь семиугольник? 17.34. Докажите, что если плоская фигура имеет ровно две оси симметрии, то эти оси перпендикулярны. 17.35*. Докажите, что если многоугольник имеет несколько (больше двух) осей симметрии, то все они пересекаются водной точке. 17.36*. Докажите, что если многоугольник имеет чётное число осей симметрии, то он имеет центр симметрии 6. Теорема Шаля Движением называют преобразование, сохраняющее расстояния между точками, те. если и B 0 — образы точек A и B, то A 0 B 0 = AB. Движение плоскости, оставляющее неподвижными три точки, не лежащие на одной прямой, оставляет неподвижными и все остальные точки. 17.37*. Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трёх симметрий относительно прямых. Движение, являющееся композицией чётного числа симметрий относительно прямых, называют движением первого рода или движением, сохраняющим ориентацию плоскости. Движение, являющееся композицией нечётного числа симметрий относительно прямых, называют движением второго рода или движением, изменяющим ориентацию плоскости. Движения первого рода часто называют собственными, а движения второго рода — несобственными Решения задач 365 Композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых (задача 17.40 ). 17.38*. Докажите, что любое движение первого рода является поворотом или параллельным переносом. Скользящей симметрией называют композицию симметрии относительно некоторой прямой l и переноса на вектор, параллельный l этот вектор может быть нулевым). 17.39*. Докажите, что любое движение второго рода является скользящей симметрией. 17.40*. Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых. 17.41*. Дан треугольник ABC. Докажите, что композиция симметрий является скользящей симметрией, для которой вектор переноса имеет длину 4R sin a sin b sin g , где R — радиус описанной окружности углы данного треугольника. 17.42*. Пусть движение плоскости переводит фигуру F в фигуру Для каждой пары соответственных точек A и рассмотрим середину отрезка AA 0 . Докажите, что либо все точки X совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную Задачи для самостоятельного решения 17.43. Дан невыпуклый четырёхугольник периметра P. Докажите, что найдётся выпуклый четырёхугольник того же периметра, но большей площади. 17.44. Может ли ограниченная фигура иметь центр симметрии и ровно одну ось симметрии? 17.45. Точка M лежит на описанной окружности треугольника Докажите, что прямые, симметричные прямыми относительно биссектрис углов A, B и C, параллельны. 17.46. Вершины выпуклого четырёхугольника лежат на различных сторонах квадрата. Докажите, что периметр этого четырёхугольника не меньше 2 √ 2a, где a — длина стороны квадрата. 17.47. На прямоугольном бильярдном столе лежит шар. Постройте траекторию, при движении по которой шар, отразившись от каждой стенки по одному разу, вернётся на исходное место. Решения 17.1. Обозначим точки, симметричные точками относительно прямой, через и соответственно. ∠C 0 MD = 90 ◦ , поэтому CM 2 + MD 2 = = C 0 M 2 + MD 2 = C 0 D 2 . Поскольку ∠C 0 CD = 45 ◦ , хорда C 0 D имеет постоянную длину Глава 17. Осевая симметрия 17.2. Проведём диаметр окружности S, являющийся осью симметрии окружностей и S 2 . Пусть точки и B 0 симметричны точками Рис. относительно этого диаметра (рис. Окружности и S гомотетичны с центром гомотетии в точке A 1 , причём при этой гомотетии прямая B 1 B 0 переходит впрямую поэтому эти прямые параллельны. Ясно также, что B 2 B 0 2 k CC 0 . Поэтому точки B 1 , B 0 и лежат на одной прямой, причём эта прямая параллельна прямой Пусть прямая, симметричная прямой A 1 B 1 относительно прямой AB, пересекает стороны и CB или их продолжения) в точках iAi2иiBi2Так как и тот. е. A 1 A : A 1 M = B 2 B : B 2 M. Кроме того, так как MB — биссектриса треугольника B 1 MB 2 , то : B 2 M = B 1 B : B 1 M. 17.4. Предположим, что четырёхугольник ABCD построен. Пусть для определённости AD > AB. Обозначим через точку, симметричную точке B относительно диагонали AC. Точка лежит на стороне AD, причём B 0 D = AD − AB. В треугольнике B 0 CD известны длины Рис. всех сторон B 0 D = AD − AB и B 0 C = BC. Построив треугольник B 0 CD, на продолжении стороны B 0 D заточку построим точку Дальнейшее построение очевидно. 17.5. Предположим, что четырёхуголь- ник ABCD построен. Для определённости будем считать, что AD > AB. Пусть O — центр вписанной окружности точка симметрична относительно прямой AO; A 0 — точка пересечения прямых AO и DC, C 0 — точка пересечения прямых BC ирис. 17.2). В треугольнике BC 0 D 0 известны сторона и прилегающие к ней углы 180 ◦ − ∠B и ∠BD 0 C 0 = ∠D. Построим треугольник по этим элементам. Так как AD 0 = AD, то можно построить точку. Затем строим точку O пересечения биссектрис углов и BD 0 C 0 . Зная положение точки O, можно построить точку D и вписанную окружность. Точка является точкой пересечения прямой и касательной к окружности, проведённой из точки Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть C 0 — точка, симметричная точке C относительно серединного перпендикуляра к отрезку В треугольнике известны AC = b, AC 0 = a и ∠CAC 0 = ∠A − ∠B. Поэтому его можно построить. Точка B симметрична точке A относительно серединного перпендикуляра к отрезку Предположим, что треугольник ABC построен. Обозначим через точку, симметричную C относительно серединного перпендикуляра к сто Решения задач 367 роне AB, через B 0 — точку, симметричную B относительно прямой CC 0 . Для определённости будем считать, что AC < BC. Тогда ∠ACB 0 = ∠ACC 0 + ∠C 0 CB = = 180 ◦ − ∠A + ∠C 0 CB = 180 ◦ − (∠A − ∠B), те. угол ACB 0 известен. Треугольник можно построить, так как AB = c, BB 0 = и ∠ABB 0 = = 90 ◦ . Точка C является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку и дуги окружности, из которой отрезок виден под углом (∠A − а) Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть C 0 — точка, симметричная точке A относительно биссектрисы угла C. Тогда ∠BC 0 A = = 180 ◦ − ∠AC 0 C = 180 ◦ − (180 ◦ − ∠C)/2 = 90 ◦ + ∠C/2 и BC 0 = a − В треугольнике известны AB = c, BC 0 = a − b и ∠C 0 = 90 ◦ + Так как ∠C 0 > 90 ◦ , треугольник строится по этим элементам однозначно. Точка C является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AC 0 и прямой б) Решение аналогично решению задачи а. В качестве нужно взять точку, симметричную точке A относительно биссектрисы внешнего угла треугольника ABC. Так как ∠AC 0 B = ∠C/2 < 90 ◦ , задача может иметь два решения. |