Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
§ 1. Перенос помогает решить задачу 15.1. В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую деревни A и B, чтобы путь AMNB изв был кратчайшим (Берега реки считаются параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам.) 15.2. Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной, затем параллельно AB до пересечения с BC, затем параллельно до пересечения сит. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнётся. 15.3. Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и выпуклого четырёхугольника а) Докажите, что KM 6 (BC + AD)/2, причём равенство достигается, только если BC k AD. Глава 15. Параллельный перенос б) При фиксированных длинах сторон четырёхугольника найдите максимальные значения длин отрезков KM и Внутри параллелограмма ABCD взята точка O так, что ∠OAD = ∠OCD. Докажите, что ∠OBC = В трапеции ABCD стороны BC и AD параллельны, M — точка пересечения биссектрис углов A и B, N — точка пересечения биссектрис углов C и D. Докажите, что 2MN = |AB + CD − BC − Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты и BH. Известно, что KH = a и BD = b. Найдите расстояние от точки B до точки пересечения высот треугольника Внутри каждой стороны параллелограмма выбрано по точке. Выбранные точки сторон, имеющих общую вершину, соединены. Докажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся треугольников являются вершинами некоторого параллелограмма. 15.8*. В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой неравно. Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит а) 0,34; б) 0,288. § 2. Построения и геометрические места точек 15.9. Дан угол ABC и прямая l. Постройте прямую, параллельную прямой l, на которой стороны угла ABC высекают отрезок данной длины Даны две окружности S 1 , и прямая l. Проведите прямую, параллельную прямой l, так, чтобы: а) расстояние между точками пересечения с окружностями S 1 и имело заданную величину б) и высекали на равные хорды; в) и высекали на хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину Даны непересекающиеся хорды AB и CD окружности. Постройте точку X окружности так, чтобы хорды AX и BX высекали на хорде CD отрезок EF, имеющий данную длину Постройте четырёхугольник ABCD по четырём углами длинам сторон AB = a и CD = Даны окружности S 1 , и точка A. Проведите через точку прямую l так, чтобы и высекали на ней равные хорды. 15.14. а) Даны окружности и S 2 , пересекающиеся в точках и B. Проведите через точку A прямую l так, чтобы отрезок этой прямой, заключённый внутри окружностей и S 2 , имел данную длину. б) Впишите в данный треугольник ABC треугольник, равный данному треугольнику Постройте четырёхугольник по углами диагоналям Решения задач 347 * * * 15.16*. Найдите геометрическое место точек а) сумма б) разность расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную вели- чину. 15.17*. Угол, изготовленный из прозрачного материала, двигают так, что две непересекающиеся окружности касаются его сторон внутренним образом. Докажите, что на нём можно отметить точку, которая описывает дугу окружности. См. также задачу 7.5 Задачи для самостоятельного решения 15.18. Даны две пары параллельных прямых и точка P. Проведите через точку P прямую так, чтобы обе пары параллельных прямых отсекали на ней равные отрезки. 15.19. Постройте параллелограмм по сторонами углу между диаго- налями. 15.20. В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Докажите, что: а) прямые AB и CD образуют равные углы с прямой, соединяющей середины сторон AC и б) прямые AB и CD образуют равные углы с прямой, соединяющей середины диагоналей BC и Среди всех четырёхугольников сданными длинами диагоналей и величиной угла между ними найдите четырёхугольник наименьшего периметра. 15.22. Постройте параллелограмм, две смежные вершины которого даны, а две другие лежат на данной окружности. Решения 15.1. Пусть A 0 — образ точки A при параллельном переносе на вектор # Тогда A 0 N = AM, поэтому длина пути AMNB равна A 0 N + NB + MN. Так как Рис. длина отрезка MN постоянна, то нужно найти точку N, для которой сумма A 0 N + NB минимальна. Ясно, что она минимальна, когда точка лежит на отрезке A 0 B, те. точка N является точкой пересечения берега, ближайшего к точке и отрезка Обозначим последовательные точки траектории на сторонах треугольника через A 1 , B 1 , B 2 , C 2 , C 3 , A 3 , A 4 , B 4 , ... (рис. 15.1). Так как AB 2 , B 1 B 2 k и B 1 C k B 2 C 2 , то треугольник получается из треугольника A 1 B 1 C параллельным переносом. Аналогично треугольник Глава 15. Параллельный перенос A 3 BC 3 получен параллельным переносом из треугольника AB 2 C 2 , а треугольник из треугольника A 3 BC 3 . Но треугольник A 1 B 1 C тоже получен из треугольника параллельным переносом. Поэтому A 1 = A 4 , те. после семи шагов траектория замкнётся (возможно, что она замкнётся и раньше). 15.3. а) Достроим треугольник CBD до параллелограмма CBDE. Тогда 2KM= = AE 6 AD + DE = AD + BC, причём равенство достигается, только если AD k б) Пусть a = AB, b = BC, c = CD и d = DA. Если |a − c| = |b − d| 6= 0, то согласно задаче а) максимум достигается в вырожденном случае, когда все точки, B, C и D окажутся на одной прямой. Предположим теперь, например, что |a − c| < |b − d|. Достроим треугольники ABL и LCD до параллелограммов и LCDQ. Тогда PQ > |b − d|, а значит, LN 2 = (2LP 2 + 2LQ 2 − PQ 2 )/4 6 6 (2(a 2 + c 2 ) − (b − d) 2 )/4. Кроме того, согласно задаче а) KM 6 (b + d)/2. Оба Рис. равенства достигаются, когда ABCD — трапеция с основаниями AD и Рассмотрим точку O 0 , которая получается из точки O параллельным переносом навек- тор # – AD. Тогда = ∠OO 0 D, поэтому = = ∠OO 0 D. Следовательно, четырёхугольник вписанный, а значит, ∠ODC = ∠OO 0 C Построим окружность S, касающуюся стороны AB и лучей BC и AD, и перенесём треугольник параллельно (в направлении оснований итак, чтобы точка совпала сточкой, те. сторона касалась окружности S рис. 15.2). Для описанной трапеции равенство |AB + C 0 D 0 − BC 0 − AD 0 | очевидно, так как N 0 = M. При переходе от трапеции к трапеции ABCD клевой части этого равенства добавляется, а к правой добавляется CC 0 +DD 0 =2NN 0 , поэтому равенство сохраняется. 15.6. Обозначим точку пересечения высот треугольника BKH через Так как HH 1 ⊥ BK и KH 1 ⊥ BH, то HH 1 k AD и KH 1 k DC, те параллелограмм. Поэтому при параллельном переносе на вектор # – H 1 H точка переходит в точку D, а точка B переходит в некоторую точку P рис. Так как PD k BK, то BPDK — прямоугольники. Атак как KH, то PH ⊥ KH. Ясно также, что PH = В прямоугольном треугольнике PKH известны гипотенуза KP = b и катет = a, поэтому BH 1 = PH = √ b 2 − Обозначим серединные перпендикуляры к сторонам треугольников так, как показано на рис. 15.4. Все прямые параллельны и расстояние Рис. Рис. 15.4 Решения задач 349 между прямыми и равно расстоянию между прямыми и оно равно половине длины стороны параллелограмма. Поэтому параллельный перенос, переводящий в l 12 , переводит в l 22 , а параллельный перенос, переводящий в m 21 , переводит в m 22 . Следовательно, параллельный Рис. перенос, переводящий точку пересечения прямых ив точку пересечения прямых l 12 и m 21 , переводит точку пересечения прямых ив точку пересечения прямых l 22 и а) Фигуру, лежащую внутри квадрата со стороной 1, обозначим через, а её площадь — через S. Рассмотрим два вектора # и # – AA 2 , где точка лежит на стороне AD и AA 1 = 0,001, а точка лежит внутри угла BAD, ∠A 2 AA 1 = ирис. Пусть и F 2 — образы F при параллельных переносах на векторы # и # – AA 2 . Фигуры, и не имеют общих точек и лежат внутри квадрата со стороной 1,001. Поэтому < 1,001 2 , а значит, S < 0,335 < б) Рассмотрим вектор – AA 3 = # – AA 1 + # – AA 2 Повернём вектор # вокруг точки A против часовой стрелки на острый угол) так, чтобы точка перешла в точку A 4 , для которой A 3 A 4 = 0,001. Рассмотрим также векторы и # длиной образующие с вектором # углы и лежащие по разные стороны от него (рис. Обозначим образ фигуры F при параллельном переносе на вектор # через F i . Для определённости будем считать, что S(F 4 ∩ F) 6 S(F 3 ∩ F). Тогда F) 6 S/2, поэтому S(F 4 ∪ F) > 3S/2. Фигуры и не пересекаются ни друг с другом, ни с фигурами F и F 4 , поэтому S(F ∪ F 4 ∪ F 5 ∪ F 6 ) > Если бы оказалось, что S(F 3 ∩ F) 6 S(F 4 ∩ F), то вместо фигур и нужно было бы взять и F 2 .) Так как длины векторов # не превосходят все рассматриваемые фигуры лежат внутри квадрата со стороной 1 + Поэтому 7S/2 6 (1 + и S < Примечание площадь объединения фигур A и B, S(A ∩ B) площадь их пересечения. 15.9. Имеются два вектора, параллельных прямой l и имеющих заданную длину a. Рассмотрим образы луча BC при параллельных переносах на эти векторы. Точка их пересечения с лучом BA лежит на искомой прямой (если точек пересечения нетто задача решений не имеет). 15.10. а) Пусть S 0 1 — образ окружности при параллельном переносе на вектор длиной a, параллельный прямой l таких векторов два. Искомая прямая проходит через точку пересечения окружностей S 0 и б) Пусть и O 2 — проекции центров окружностей и напрямую образ окружности при параллельном переносе на вектор # – O 1 O 2 . Искомая прямая проходит через точку пересечения окружностей S 0 ив) Пусть S 0 1 — образ окружности при параллельном переносе на некоторый вектор, параллельный прямой l. Тогда длины хорд, высекаемых прямой l 1 Глава 15. Параллельный перенос на окружностях и S 0 1 , равны. А если расстояние между проекциями центров окружностей S 0 и напрямую равно a/2, то сумма или разность длин хорд, высекаемых прямой, параллельной прямой l и проходящей через точку пересечения окружностей S 0 и S 2 , равна a. Требуемая окружность S 0 легко строится. 15.11. Предположим, что точка X построена. Перенесём точку A на вектор – EF, те. построим точку A 0 , для которой # – EF = # – AA 0 . Это построение можно Рис. сделать, так как вектор # – EF известен его длина равна a ион параллелен Поскольку AX k A 0 F, то = ∠AXB, поэтому угол A 0 FB известен. Таким образом, точка лежит на пересечении двух фигур отрезка и дуги окружности, из которой отрезок виден под углом AXB рис. Предположим, что четырёхугольник ABCD построен. Обозначим образ точки D при параллельном переносе на вектор # – CB через. В треугольнике известны AB, BD 1 и ∠ABD 1 Из этого вытекает следующее построение. Строим произвольно луч затем проводим лучи 1 и BA 0 так, что ∠D 0 1 BC 0 = 180 ◦ − ∠C, ∠A 0 BC 0 = ∠B и эти углы откладываются от луча водной полуплоскости. На лучах и BD 0 отложим отрезки BA = a и BD 1 = b соответственно. Проведём луч так, что ∠BAD 0 = ∠A и лучи BC 0 , лежат по одну сторону от прямой AB. Вершина D является точкой пересечения луча и луча, проведённого из точки параллельно лучу BC 0 . Вершина C является точкой пересечения луча и луча, проведённого из точки D параллельно лучу Предположим, что точки M ив которых прямая l пересекает окружность S 2 , построены. Пусть и O 2 — центры окружностей и S 2 ; O 0 1 — образ точки при таком параллельном переносе вдоль прямой l, что 1 O 2 ⊥ MN, S 0 1 — образ окружности при этом переносе. Проведём касательные и AQ к окружностями. Тогда AQ 2 = AM · AN = а значит, O 0 1 A 2 = AP 2 + R 2 , где R — радиус окружности S 0 1 . Так как отрезок можно построить, то можно построить и отрезок AO 0 1 . Остаётся заметить, что точка O 0 лежит на окружности радиуса AO 0 с центром A и на окружности с диаметром а) Проведём через точку A прямую PQ (P лежит на окружности на окружности S 2 ). Опустим из центров и O 2 окружностей S 1 и перпендикуляры O 1 M и O 2 N напрямую. Перенесём отрезок параллельно на вектор # – MO 1 . Пусть C — образ точки N при этом переносе. Треугольник прямоугольный и O 1 C = MN = PQ/2. Следовательно, чтобы построить прямую PQ, для которой PQ = a, нужно построить треугольник с заданной гипотенузой и катетом O 1 C = a/2, а затем провести через точку A прямую, параллельную б) Достаточно решить обратную задачу описать вокруг данного треугольника треугольник, равный данному треугольнику ABC. Предположим, что Решения задач 351 мы построили треугольник ABC, стороны AB, BC и CA которого проходят через данные точки P, Q и R. Построим дуги окружностей, из которых отрезки RP и QP видны под углами A и B соответственно. Точки A и лежат на этих дугах, причём длина отрезка AB известна. Согласно задаче а) можно построить прямую AP, проходящую через точку P, отрезок которой, заключённый внутри окружностей и S 2 , имеет данную длину. Проводя прямые AR и BQ, получаем треугольник ABC, равный данному треугольнику, так как у этих треугольников по построению равны сторона и прилегающие к ней углы. 15.15. Предположим, что искомый четырёхугольник ABCD построен. Пусть D 1 и D 2 — образы точки D при переносах на векторы # – AC и – CA соответственно. Опишем вокруг треугольников и окружности и Обозначим точки пересечения прямых BC и BA с окружностями и через M ирис. Ясно, что ∠DCD 1 = ∠DAD 2 = ∠D, ∠DCM = 180 ◦ − и ∠DAN = 180 ◦ − Рис. Из этого вытекает следующее построение. На произвольной прямой l берём точку D и строим на l точки итак, что DD 1 = DD 2 = AC. Фиксируем одну из полуплоскостей П, заданных прямой l, и будем считать, что точка B лежит в этой полуплоскости. Построим окружность S 1 , из точек которой, лежащих в П, отрезок виден под углом D. Аналогично строим окружность S 2 . Построим точку M на так, чтобы из всех точек части окружности, лежащей в П, отрезок DM был виден под углом 180 ◦ − Аналогично строим точку N. Отрезок MN виден из точки B под углом те является точкой пересечения окружности с центром D радиуса и дуги окружности, из которой отрезок MN виден под углом B иона лежит в полуплоскости П. Точки C и A являются точками пересечения прямых и BN с окружностями и Опустим из точки X перпендикуляры и на данные прямые и l 2 . Возьмём на луче A 1 X точку B так, что A 1 B = a. Тогда при Глава 15. Параллельный перенос Рис. 15.8 XA 1 ± XA 2 = a получим XB = XA 2 . Пусть l 0 образ прямой при параллельном переносе на вектор # – A 1 B, M — точка пересечения прямых и l 2 . Тогда луч MX будет биссектрисой угла A 2 MB. В итоге получаем следующий ответ. Пусть точки пересечения прямых l 1 и с прямыми, параллельными прямыми и удалёнными от них на расстояние, образуют прямоугольник Искомое ГМТ в задаче а) — стороны этого прямоугольника, а в задаче б) — продолжения сторон. |