Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
§ 3. Момент инерции 14.19. Пусть O — центр масс системы точек, суммарная масса которой равна m. Докажите, что моменты инерции этой системы относительно точки O и произвольной точки X связаны соотношением I O + а) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с единичными массами равен, где n — число точек, a ij — расстояние между точками с номерами i и б) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с массами m 1 , . . . , m n , равен, где m=m 1 +. . .+m n , a ij — расстояние между точками с номерами i и а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое место таких точек X, чтоб) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника ABC прямоугольный Глава 14. Центр масс 14.22. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, H — точка пересечения высот. Докажите, что a 2 + b 2 + c 2 = 9R 2 − Хорды AA 1 , и окружности с центром O пересекаются в точке X. Докажите, что (AX/XA 1 ) + (BX/XB 1 ) + (CX/XC 1 ) = тогда и только тогда, когда точка X лежит на окружности с диаметром, где M — центр масс треугольника На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки и B 2 , и C 2 , и A 2 , что отрезки A 1 A 2 , и параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA 1 · PA 2 + PB 1 · PB 2 + PC 1 · PC 2 = R 2 − OP 2 , где O — центр описанной окружности. 14.25*. Внутри окружности радиуса R расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть d a , и d c — расстояния от точки P до сторон треугольника, R a , и расстояния от неё до вершин. Докажите, что+ d 2 b + d 2 c ) > (R a sin A) 2 + (R b sin B) 2 + (R c sin Точки A 1 , . . . , лежат на одной окружности, а M — их центр масс. Прямые MA 1 , . . . , пересекают эту окружность в точках, отличных от A 1 , . . . , A n ). Докажите, что MA 1 + . . . . . . + MA n 6 MB 1 + . . . + См. также задачу 4. Разные задачи 14.28. Докажите, что если у многоугольника есть несколько осей симметрии, то все они пересекаются водной точке. 14.29. Центрально симметричная фигура на клетчатой бумаге состо- Рис. 14.1 ит из n уголков и k прямоугольников размером 4, изображённых на рис. 14.1. Докажите, что n чётно. 14.30*. Решите задачу, используя свойства центра масс. 14.31*. На сторонах BC и CD параллело- грамма ABCD взяты точки K и L так, что BK : KC = CL : LD. Докажите, что центр масс треугольника лежит на диагонали BD. § 5. Барицентрические координаты Пусть на плоскости задан треугольник A 1 A 2 A 3 . Если точка X является центром масс вершин этого треугольника с массами m 1 , и m 3 , то числа m 2 : m 3 ) называют барицентрическими координатами точки X относительно треугольника A 1 A 2 A 3 Условия задач 329 14.32. Пусть задан треугольник A 1 A 2 A 3 . Докажите, что: а) любая точка X имеет некоторые барицентрические координаты относительно него; б) при условии m 1 + m 2 + m 3 = 1 барицентрические координаты точки определены однозначно. Барицентрические координаты (m 1 : m 2 : m 3 ), для которых выполняется условие m 1 + m 2 + m 3 = 1, будем называть абсолютными барицентрически- ми координатами они определены уже нес точностью до пропорциональности, а однозначно. 14.33. Докажите, что барицентрические координаты точки X, лежащей внутри треугольника ABC, равны (S BCX : S CAX : Точка X лежит внутри треугольника ABC. Прямые, проходящие через точку X параллельно AC и BC, пересекают сторону в точках K и L соответственно. Докажите, что барицентрические координаты точки X равны (BL : AK : Найдите барицентрические координаты а) центра описанной окружности б) центра вписанной окружности в) ортоцентра треуголь- ника. 14.36. Относительно треугольника ABC точка X имеет абсолютные барицентрические координаты ( a , b , g ). Докажите, что – XA = b # – BA + + g # Пусть ( a , b , g ) — абсолютные барицентрические координаты точки X; M — центр масс треугольника ABC. Докажите, что # – XM = ( a − b ) # – AB + ( b − g ) # – BC + ( g − a ) # а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля б) Пусть N — точка Нагеля, M — центр масс, I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что # – NM = 2 # – MI; в частности точка N лежит на прямой Пусть M — центр масс треугольника ABC, X — произвольная точка. На прямых BC, CA и AB взяты точки A 1 , и C 1 так, что A 1 X k AM, B 1 X k BM и C 1 X k CM. Докажите, что центр масс треугольника совпадает с серединой отрезка Найдите уравнение описанной окружности треугольника A 1 A 2 A 3 в барицентрических координатах. 14.41*. а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами) и ( a −1 : b −1 : g −1 ) изотомически сопряжены относительно треугольника б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c. Докажите, что точки с барицентрическими координатами ( a : b : g ) и (a 2 / a : b 2 / b : c 2 / g ) изогонально сопряжены относительно треугольника Две прямые заданы в барицентрических координатах уравнениями и a 2 a + b 2 b + c 2 g = 0. Глава 14. Центр масса) Докажите, что точка пересечения этих прямых имеет барицен- трические координаты б) Докажите, что эти прямые параллельны тогда и только тогда, когда b 1 c 1 b 2 c 2 + c 1 a 1 c 2 a 2 + a 1 b 1 a 2 b 2 = На прямых AB, BC, CA даны точки и C 2 , и и B 2 . Точки и определяют числа и g 2 , для которых + g 1 ) # – AC 1 = # – AB и (1 + g 2 ) # – C 2 B = # – AB; числа определяются аналогично. Докажите, что прямые A 2 B 1 , и пересекаются водной точке тогда и только тогда, когда a 1 b 1 g 1 + a 2 b 2 g 2 + a 1 a 2 + b 1 b 2 + g 1 g 2 = Замечание. При a 2 = b 2 = g 2 = 0 точки A 2 , B 2 , совпадают св этом случае получаем теорему Чевы. При a 1 a 2 = b 1 b 2 = g 1 g 2 = 1 совпадают точки и A 2 , и B 2 , и C 2 . (Действительно, совпадение точек и эквивалентно тому, что 1 + a 1 + 1 1 + a 2 = 1; это равенство эквивалентно равенству) Прямые A 1 B 1 , и пересекаются водной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая. 14.44*. Пусть ( a 1 , b 1 , g 1 ) и ( a 2 , b 2 , g 2 ) — абсолютные барицентри- ческие координаты точек M и N. Докажите, что S A ( a 1 − a 2 ) 2 + S B ( b 1 − b 2 ) 2 + где S w = 2S ctg для произвольного угла w , A, B, C — углы данного треугольника, а S — его площадь. 14.45*. Докажите, что величина S w , введённая в задаче, обладает следующими свойствами: а) S A = b 2 + c 2 − a 2 2 , S B = c 2 + a 2 − b 2 2 , S C = a 2 + b 2 − c 2 б) S A + S B = c 2 , S B + S C = a 2 , S C + S A = в) S A + S B + S C = S f , где f — угол Брокара. г) S A S B + S B S C + S C S A = д) S A S B S C = 4S 2 S f − Прямая l проходит через точку X с барицентрическими координатами. Пусть d a , d b , d c — расстояния от вершин A, B, до прямой l с учётом знака (для точек, лежащих по разные стороны от прямой l, знаки разные. Докажите, что d a a + d b b + d c g = 0. Условия задач 331 14.47*. Прямая l касается вписанной окружности треугольника Пусть d a , d b , d c — расстояния от прямой l до точек A, B, C с уч- том знака (расстояние положительно, если точка и центр вписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрицательно. Докажите, что a d a + b d b + c d c = Прямая l касается вневписанной окружности треугольника, касающейся стороны BC. Пусть d a , d b , d c — расстояния от прямой l до точек A, B, C с учётом знака (расстояние положительно, если точка и центр вневписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрицательно. Докажите, что −a d a + b d b + c d c = Пусть и S b — вневписанные окружности, касающиеся сторон BC и AC треугольника ABC, и d ac — расстояния от вершин и C до прямой l a , касающейся внешним образом окружностей S b и и отличной от прямой BC); числа и d ba , и определяются аналогично. Докажите, что d ab d bc d ca = См. также задачи 6. Трилинейные координаты Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если ( a : b : g ) — барицентрические координаты точки относительно треугольника ABC, то (x : y : z) = a a : b b : g c — её трили- нейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности. Для точки X, лежащей внутри треугольника ABC, в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников S CAX : S ABX ). Это означает, что в качестве трилинейных координат можно взять расстояния от точки X до сторон треугольника — абсолютные трилинейные координаты. Если точка X лежит вне треугольника, то расстояния до сторон нужно взять с учётом знака. Например, если точки и A лежат по одну сторону от прямой BC, то x > 0, а если по разные, то < В трилинейных координатах изогональное сопряжение задаётся формулой. В связи с этим трилинейные координаты часто бывают удобны при работе с изогональным сопряжением. 14.50*. Продолжения сторон выпуклого четырёхугольника пересекаются в точках P и Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис внешних углов при вершинах A и C, B и D, P и Q лежат на одной прямой. 14.51*. На сторонах AD и DC выпуклого четырёхугольника взяты точки P итак, что ∠ABP = ∠CBQ. Отрезки AQ и CP пересекаются в точке E. Докажите, что ∠ABE = Найдите трилинейные координаты точек Брокара. Глава 14. Центр масс 14.53*. На сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники ABC 1 , AB 1 C и A 1 BC. Докажите, что прямые AA 1 , и пересекаются водной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки. Эту точку называют первым (вторым) изогоническим центром. Первый изо- гонический центр называют также точкой Торричелли или точкой Ферма. 14.54*. Найдите уравнения в трилинейных координатах для а) описанной окружности б) вписанной окружности в) вневписанной окруж- ности. 14.55*. Найдите уравнение окружности девяти точек в трилиней- ных координатах. 14.56*. а) Докажите, что в трилинейных координатах любая окружность задаётся уравнением вида + qy + rz)(x sin a + y sin b + z sin g ) = yz sin a + xz sin b + xy sin б) Докажите, что радикальная ось двух окружностей, заданных уравнениями такого вида, задаётся уравнением + q 1 y + r 1 z = p 2 x + q 2 y + Докажите, что касательная к вписанной окружности в точке) задаётся уравнением a 2 + y √ y 0 cos b 2 + z √ z 0 cos g 2 = Докажите, что вписанная окружность касается окружности девяти точек (Фейербах). Найдите трилинейные координаты точки ка- сания. 14.59*. а) Найдите трилинейные координаты вершин треугольника Брокара. б) Найдите трилинейные координаты точки Штейнера (см. задачу (x 1 , y 1 , z 1 ) и (x 2 , y 2 , z 2 ) — абсолютные трилинейные координаты точек M и N. Докажите, что a sin b sin g (x 1 − x 2 ) 2 + cos b sin g sin a (y 1 − y 2 ) 2 + cos g sin a sin b (z 1 − См. также задачи 31.78 , 31.81 , 31.83 , 31.84 Решения 14.1. Пусть X и O — произвольные точки. Тогда m 1 # – OX 1 + . . . + m n # – OX n = = (m 1 + . . . + m n ) # – OX + m 1 # – XX 1 + . . . + m n # – XX n , поэтому точка O является центром масс данной системы точек тогда и только тогда, когда+ . . . + m n ) # – OX + m 1 # – XX 1 + . . . + m n # – XX n = #– 0 , Решения задач 333 т. е. # – XO = 1 m 1 + . . . + m n (m 1 # – XX 1 + . . . + m n # – XX n ). Из этого рассуждения вытекают решения обеих задач. 14.2. Пусть O — центр масс точек X 1 , . . . , X n , Y 1 , . . . , с массами a 1 , . . . . . . , a n , b 1 , . . . , b m , а Y — центр масс точек Y 1 , . . . , с массами b 1 , . . . , Тогда – OX 1 + . . . + a n # – OX n + b 1 # – OY 1 + . . . + b m # и b 1 # – YY 1 + . . . + b m # – YY m = #– 0 . Вычитая второе равенство из первого, получаем – OX 1 + . . . + a n # – OX n + (b 1 + . . . + b m ) # – OY = те центр масс точек X 1 , . . . , X n , Y с массами a 1 , . . . , a n , b 1 + . . . + Пусть O — центр масс данной системы. Тогда a # – OA + b # – OB = #– 0 , поэтому точка O лежит на отрезке AB и aOA = bOB, те Поместим в точки A, B и C единичные массы. Пусть O — центр масс этой системы точек. Точка O является также центром масс точки A с массой и точки с массой 2, где A 1 — центр масс точек B и C с единичными массами, те середина отрезка BC. Поэтому точка O лежит на медиане и делите в отношении AO : OA 1 = 2 : 1. Аналогично доказывается, что остальные медианы проходят через точку O и делятся ею в отношении 2 : Поместим в вершины четырёхугольника ABCD единичные массы. Пусть O — центр масс этой системы точек. Достаточно доказать, что точка является серединой отрезков KM и LN и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. Ясно, что K — центр масс точек A и B, M — центр масс точек C и D. Поэтому точка O является центром масс точек K и с массами 2, те середина отрезка KM. Аналогично O — середина отрезка. Рассматривая центры масс пар точек (A, C) и (B, D) те. середины диагоналей, получаем, что точка O является серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. |