Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
§ 1. Векторы сторон многоугольников 13.1. а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник. б) Из медиан треугольника ABC составлен треугольника из медиан треугольника составлен треугольник Докажите, что треугольники ABC и подобны, причём коэффициент подобия равен Стороны треугольника T параллельны медианам треугольника. Докажите, что медианы треугольника T параллельны сторонам треугольника T 1 13.3. M 1 , M 2 , . . . , M 6 — середины сторон выпуклого шестиугольника. . . A 6 . Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M 1 M 2 , M 3 M 4 , Из точки, лежащей внутри выпуклого угольника, проведены лучи, перпендикулярные его сторонами пересекающие стороны (или их продолжения. На этих лучах отложены векторы a 1 , . . . , длины которых равны длинам соответствующих сторон. Докажите, что+ . . . Сумма четырёх единичных векторов равна нулю. Докажите, что их можно разбить на две пары противоположных векторов. 13.6. Пусть E и F — середины сторон AB и CD четырёхугольни- ка ABCD, K, L, M и N — середины отрезков AF, CE, BF и Докажите, что KLMN — параллелограмм. 13.7. Дано n попарно не сонаправленных векторов (n > 3), сумма которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый угольник, набор векторов сторон которого совпадает сданным набором векторов. 13.8. Даны четыре попарно непараллельных вектора, сумма которых равна нулю. Докажите, что из них можно составить а) невыпуклый четырёхугольник; б) самопересекающуюся четырёхзвенную ломаную. 13.9*. Даны четыре попарно непараллельных вектора a, b, c и сумма которых равна нулю. Докажите, что + |b| + |c| + |d| > |a + b| + |a + c| + |a + В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона BC параллельна диагонали AD, CD k BE, DE k AC и AE k BD. Докажите, что AB k См. также задачу Глава 13. Векторы 2. Скалярное произведение. Соотношения 13.11. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырёхугольника ста- кими же длинами сторон перпендикулярны. 13.12. а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки. Докажите, чтоб) Докажите, что высоты треугольника пересекаются водной точке. 13.13. Пусть O — центр описанной окружности треугольника а точка H обладает тем свойством, что # – OH = # – OA + # – OB + # – OC. Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника Докажите, что OH 2 = R 2 (1 − 8 cos a cos b cos Пусть A 1 . . . A n — правильный угольник, X — произвольная точка. Рассмотрим проекции X 1 , . . . , точки X на прямые, . . . , A n A 1 . Пусть x i — длина отрезка с учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи и A i A i+1 сонаправлены). Докажите, что сумма x 1 + . . . + равна половине периметра многоугольника. Пусть a 1 , . . . , a n — векторы сторон угольника ∠(a i , Докажите, что a 2 1 = a 2 2 + . . . + a 2 n + 2 P i>j>1 a i a j cos f ij , где a i = Дан четырёхугольник ABCD. Пусть u = AD 2 , v = BD 2 , w = CD 2 , U = BD 2 + CD 2 − BC 2 , V = AD 2 + CD 2 − AC 2 , W = AD 2 + BD 2 − AB 2 . Докажите, что uU 2 + vV 2 + wW 2 = UVW + 4uvw (Гаусс). 13.18*. Точки A, B, C и D таковы, что для любой точки M числа – MA, # – MB) и ( # – MC, # – MD) различны. Докажите, что – AC = # Докажите, что в выпуклом угольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон постоянна тогда и только тогда, когда сумма векторов единичных внешних нормалей равна нулю. 13.20*. В выпуклом четырёхугольнике сумма расстояний от вершины до сторон одна и та же для всех вершин. Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом. См. также задачи 3. Неравенства 13.21. Даны точки A, B, C и D. Докажите, что AB 2 + BC 2 + CD 2 + + DA 2 > AC 2 + BD 2 , причём равенство достигается, только если ABCD — параллелограмм. 13.22. Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся трёх векторов. 13.23. Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти ихних меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что Условия задач 311 существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна. 13.24. Точки A 1 , . . . , лежат на окружности с центром O, причём # – OA 1 + . . . + # – OA n = #– 0 . Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA 1 + . . . + XA n > nR, где R — радиус окружности. 13.25. Дано восемь вещественных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно. 13.26*. На окружности радиуса 1 с центром O дано 2n + 1 точек, . . . , P 2n+1 , лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что # – OP 1 + . . . + # – OP 2n+1 | > Пусть a 1 , a 2 , . . . , a n — векторы, длины которых не превосходят. Докажите, что в сумме c = ±a 1 ± a 2 . . . можно выбрать знаки так, что Из точки O выходит n векторов единичной длины, причём в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку, содержится не менее k векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость. Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит n − См. также задачи 4. Суммы векторов 13.29. Докажите, что точка X лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда # – OX = t # – OA + (1 − t) # – OB для некоторого t и любой точки Дано несколько точек и для некоторых пар (A, B) этих точек взяты векторы # – AB, причём в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна #– 0 Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что – OA + S AOC · # – OB + S AOB · # – OC = #– 0 Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина p OA + q OB остаётся постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку. 13.33. Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA ив точках и C 1 . Докажите, что (1/MA 1 ) + (1/MB 1 ) + (1/MC 1 ) = 0 (отрезки, и считаются ориентированными). 13.34. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки, и C 1 . Отрезки и CC 1 , и AA 1 , и пересекаются в точках A 2 , и соответственно. Докажите, что если – AA 2 + # – BB 2 + # – CC 2 = #– 0 , то AB 1 : B 1 C = CA 1 : A 1 B = BC 1 : C 1 A. Глава 13. Векторы 13.35. Четырёхугольник ABCD вписанный. Пусть H a — ортоцентр треугольника BCD, M a — середина отрезка AH a ; точки M b , и определяются аналогично. Докажите, что точки M a , M b , и M d совпадают. 13.36*. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса а) Пусть S a — окружность радиуса R с центром в ортоцентре треугольника окружности S b , и определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются водной точке. б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются водной точке 5. Вспомогательные проекции 13.37. Точка X лежит внутри треугольника ABC, a = S BXC , b = и g = S AXB . Пусть A 1 , и C 1 — проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора a # – AA 1 + b # – BB 1 + g # равна ( a + b + g )d, где d — расстояние от точки X до прямой Выпуклый угольник A 1 A 2 . . . вписан в окружность радиуса 1. Докажите, что – A 1 A 2 + # – A 3 A 4 + . . . + # – A 2n−1 A 2n | 6 Пусть a 1 , a 2 , . . . , a 2n+1 — векторы длины 1. Докажите, что в сумме c = ±a 1 ± a 2 ± . . . ± знаки можно выбрать так, что 6 Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, n a , и n c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонами направленные во внешнюю сторону. Докажите, что+ b 3 n b + c 3 n c = 12S · # где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника и r — центр и радиус его вписанной окружности — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причём OZ : ZK = 3R : См. также задачу 6. Метод усреднения 13.42*. Даны два набора векторов a 1 , . . . , и b 1 , . . . , b m , причём сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на туже прямую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора Условия задач 313 13.43*. Докажите, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внутреннего многоугольника не превосходит периметра внешнего. 13.44*. Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число векторов (может быть, только один) так, что длина их суммы будет не меньше Докажите, что если длины всех сторон и диагоналей выпуклого многоугольника меньше d, то его периметр меньше На плоскости даны четыре вектора a, b, c и d, сумма которых равна нулю. Докажите, что + |b| + |c| + |d| > |a + d| + |b + d| + |c + Внутри выпуклого угольника A 1 A 2 . . . взята точка так, что # – OA 1 + . . . + # – OA n = #– 0 . Пусть d = OA 1 + . . . + OA n . Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d/n прич тном n и не меньше 1) при нечётном Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что её длина равна Дано несколько выпуклых многоугольников, причём нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от неё лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров 7. Псевдоскалярное произведение Псевдоскалярным произведением ненулевых векторов и b называют число = | a| · |b| sin ∠(a, b); если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то c = 0. Псевдоскалярное произведение векторов a и b обозначают a ∨ b. Ясно, что ∨ b = −b ∨ Абсолютная величина псевдоскалярного произведения векторов a и равна площади параллелограмма, натянутого на эти векторы. В связи с этим ориентированной площадью тройки точек A, B и C называют число абсолютная величина числа S(A, B, C) равна площади треугольника Докажите, что: а) ( l a) ∨ b = l ( a ∨ б) a ∨ (b + c) = a ∨ b + a ∨ Пусть a = (a 1 , a 2 ) и = (b 1 , b 2 ). Докажите, что ∨ b = = a 1 b 2 − а) Докажите, чтоб) Докажите, что для любых точек A, B, C и D справедливо равенство Глава 13. Векторы 13.53. Три бегуна A, B и C бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника равна 2, через 5 с равна 3. Чему она может быть равна ещё через 5 с? 13.54. По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз. 13.55. Решите с помощью псевдоскалярного произведения задачу P 1 , и P 3 , не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого угольника A 1 . . . A 2n . Докажите, что если сумма площадей треугольников A 1 A 2 P i , A 3 A 4 P i , . . . , равна одному и тому же числу c для i = 1, 2, 3, то для любой внутренней точки P сумма площадей этих треугольников равна Дан треугольники точка P. Точка Q такова, что k AP, а точка R такова, что AR k BQ и CR k BP. Докажите, что Пусть H 1 , и H 3 — ортоцентры треугольников и A 1 A 2 A 4 . Докажите, что площади треугольников и H 1 H 2 H 3 равны. 13.59*. В выпуклом пятиугольнике ABCDE, площадь которого равна, площади треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB равны a, b, c, d и e. Докажите, что S(a + b + c + d + e) + ab + bc + cd + de + ea = Задачи для самостоятельного решения 13.60. Пусть M и N — середины отрезков AB и AC, P — середина отрезка произвольная точка. Докажите, что 2 # – OA+ # – OB+ # – OC=4 # Точки A, B и C движутся равномерно с одинаковыми угловыми скоростями по трём окружностям в одну и туже сторону. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC при этом движется также по окружности. 13.62. Пусть A, B, C, D и E — произвольные точки. Существует ли такая точка O, что # – OA + # – OB + # – OC = # – OD + # – OE? Найдите все такие точки. 13.63. Пусть P и Q — середины диагоналей выпуклого четырёх- угольника ABCD. Докажите, что+ BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 + Середины отрезков AB и CD, BC и DE соединены середины полученных отрезков тоже соединены. Докажите, что последний отрезок параллелен отрезку AE и его длина равна AE/4. Решения задач 315 13.65. Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB треугольника в точках A 1 , и C 1 . Докажите, что если # – AA 1 + # – BB 1 + + # – CC 1 = #– 0 , то треугольник ABC правильный. 13.66. Четырёхугольники ABCD, AEFG, ADFH, FIJE и BIJC являются параллелограммами. Докажите, что четырёхугольник тоже параллелограмм. |