Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 32 из 70

§ 2. Теорема косинусов
12.11.
Докажите, что:
а) m
2
a
= (2b
2
+ 2c
2
− б) m
2
a
+ m
2
b
+ m
2
c
= 3(a
2
+ b
2
+ Докажите, что 4S = (a
2
− (b − c)
2
) Докажите, что sin
2
(
a
/2) = (p − b)(p − c)/bc и cos
2
(
a
/2) =
= p(p − Длины сторон параллелограмма равны a и b, длины диагоналей и n. Докажите, что a
4
+ b
4
= тогда и только тогда,
когда острый угол параллелограмма равен Докажите, что медианы и треугольника ABC перпендикулярны тогда и только тогда, когда a
2
+ b
2
= Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC,
M — точка пересечения медиан, причём точки O и M не совпадают. Докажите, что прямая OM перпендикулярна медиане тогда и только тогда, когда a
2
+ b
2
= Окружности радиусов t
a
, t
b
, касаются внутренним образом описанной окружности треугольника ABC в его вершинах A, B, и касаются друг друга внешним образом. Докажите, что + h
a
,
t
b
=
Rh
b
b + h
b
,
t
c
=
Rh
c
c + См. также задачи

Условия задач 3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности;
их радиусы
12.18.
Докажите, что:
а) a = r(ctg(
b
/2) + ctg(
g
/2)) = r cos(
a
/2)/(sin(
b
/2) б) a = r
a
(tg(
b
/2) + tg(
g
/2)) = r
a
cos(
a
/2)/(cos(
b
/2) в) p − b = r ctg(
b
/2) = г) p = Докажите, что:
а) rp = r
a
(p − a), rr
a
= (p − b)(p − c) и r
b
r
c
= p(p − б) S
2
= p(p − a)(p − b)(p − формула Герона);
в) S
2
= Докажите, что S = r
2
c
tg(
a
/2) tg(
b
/2) Докажите, что S = cr
a
r
b
/(r
a
+ Докажите, что
2
h
a
=
1
r
b
+
1
r
c
12.23.
Докажите, что
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
=
1
r
a
+
1
r
b
+
1
r
c
=
1
r
12.24.
Докажите, что − a)(p − b)
+
1
(p − b)(p − c)
+
1
(p − c)(p − Докажите, что r
a
+ r
b
+ r
c
= 4R + Докажите, что r
a
r
b
+ r
b
r
c
+ r
c
r
a
= Докажите, что
1
r
3
−
1
r
3
a
−
1
r
3
b
−
1
r
3
c
=
12R
S
2
12.28*.
Докажите, что a(b + c) = (r + r
a
)(4R + r − r
a
) и a(b − c) =
= (r
b
− r
c
)(4R − r
b
− Пусть O — центр вписанной окружности треугольника Докажите, что а) Докажите, что если для некоторого треугольника p =
= 2R + r, то этот треугольник прямоугольный.
б) Докажите, что если p = 2R sin f
+ r ctg(
f
/2), то f
— один из углов треугольника (предполагается, что 0 Докажите, что если sin a
+ sin b
+ sin g
=
√
3(cos a
+ cos b
+ cos то один из углов треугольника ABC равен 60
◦
§ 4. Длины сторон, высоты, биссектрисы
12.32.
Докажите, что abc = 4prR и ab + bc + ca = r
2
+ p
2
+ Докажите, что 2Rr

Глава 12. Вычисления и метрические соотношения
12.34.
Докажите, что + b − c
a + b + c
= Докажите, что h
a
= Докажите, что 2(p − a) cos(
b
/2) cos(
g
/2)/ cos(
a
/2) =
= 2(p − b) sin(
b
/2) cos(
g
/2)/ Докажите, что длину биссектрисы можно вычислить последующим формулам:
а) l
a
=
p4p(p − a)bc/(b + б) l
a
= 2bc cos(
a
/2)/(b + в) l
a
= 2R sin b
sin g
/ г) l
a
= 4p sin(
b
/2) sin(
g
/2)/(sin b
+ sin g
).
§ 5. Синусы и косинусы углов треугольника
Пусть a
,
b и углы треугольника ABC. В задачах этого параграфа требуется доказать соотношения, указанные в формулировках.
12.38.
а) sin(
a
/2) sin(
b
/2) sin(
g
/2) = б) tg(
a
/2) tg(
b
/2) tg(
g
/2) = в) cos(
a
/2) cos(
b
/2) cos(
g
/2) = а) cos(
a
/2) sin(
b
/2) sin(
g
/2) = (p − б) sin(
a
/2) cos(
b
/2) cos(
g
/2) = r
a
/4R.
12.40.
cos a
+ cos b
+ cos g
= (R + а) cos 2
a
+ cos 2
b
+ cos 2
g
+ 4 cos a
cos b
cos g
+ 1 = б) cos
2
a
+ cos
2
b
+ cos
2
g
+ 2 cos a
cos b
cos g
= в) cos 2
a
+ cos 2
b
+ cos 2
g
=
OH
2 2R
2
−
3 2
, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высота б) 4R
2
cos a
cos b
cos g
= p
2
− (2R + в) cos a
cos b
+ cos b
cos g
+ cos a
cos g
=
p
2
+ r
2
− 4R
2 4R
2
12.44.
ab cos g
+ bc cos a
+ ca cos b
= (a
2
+ b
2
+ c
2
)/2.
12.45.
cos
2
(
a
/2)
a
+
cos
2
(
b
/2)
b
+
cos
2
(
g
/2)
c
=
p
4Rr
§ 6. Тангенсы и котангенсы углов треугольника
Пусть a
,
b и углы треугольника ABC. В задачах этого параграфа требуется доказать соотношения, указанные в формулировках.
12.46.
а) ctg a
+ ctg b
+ ctg g
= (a
2
+ b
2
+ б) a
2
ctg a
+ b
2
ctg b
+ c
2
ctg g
= 4S.

Условия задача) ctg(
a
/2) + ctg(
b
/2) + ctg(
g
/2) = б) tg(
a
/2) + tg(
b
/2) + tg(
g
/2) =

a
r
a
+
b
r
b
+
c
r
c

/2.
12.48.
tg a
+ tg b
+ tg g
= tg a
tg b
tg g
12.49.
tg(
a
/2) tg(
b
/2) + tg(
b
/2) tg(
g
/2) + tg(
g
/2) tg(
a
/2) = а) ctg a
ctg b
+ ctg b
ctg g
+ ctg a
ctg g
= б) ctg a
+ ctg b
+ ctg g
− ctg a
ctg b
ctg g
= 1/(sin a
sin b
sin Для непрямоугольного треугольника tg a
+ tg b
+ tg g
=
= 4S/(a
2
+ b
2
+ c
2
− 8R
2
).
§ 7. Вычисление углов
12.52.
Даны две пересекающиеся окружности радиуса R, причём расстояние между их центрами больше R. Докажите, что b
= Рис. рис. Докажите, что если
1
b
+
1
c
=
1
l
a
,
то ∠A = В треугольнике ABC высота равна медиане BM. Найдите угол MBC.
12.55.
В
треугольнике
ABC
проведены биссектрисы AD и BE. Найдите величину угла C, если известно, что AD · BC = BE · и AC 6= Найдите угол B треугольника ABC, если длина высоты равна половине длины стороны AB, а ∠BAC = В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом на высоте AD как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону AB в точке K и сторону AC в точке M. Отрезки AD и пересекаются в точке L. Найдите острые углы треугольника ABC, если известно, что AK : AL = AL : В треугольнике ABC угол C вдвое больше угла A и b = Найдите углы этого треугольника.
12.59*.
В треугольнике ABC проведена биссектриса BE и на стороне взята точка K так, что ∠AKB = 2∠AEB. Найдите величину угла AKE, если ∠AEB В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC угол при вершине A равен 80
◦
. Внутри треугольника ABC взята точка так, что ∠MBC = и ∠MCB = 10
◦
. Найдите величину угла В равнобедренном треугольнике ABC с основанием угол при вершине B равен На сторонах BC и AB взяты точки

Глава 12. Вычисления и метрические соотношения и E соответственно так, что = и ∠ECA = 50
◦
. Найдите угол В остроугольном треугольнике ABC отрезки BO и где O — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках D и E со сторонами AC и AB. Оказалось, что ∠BDE = и ∠CED = 30
◦
. Найдите величины углов треугольника См. также задачу 8. Окружности
12.63.
Окружность S с центром O на основании BC равнобедренного треугольника ABC касается равных сторон AB и AC. На сторонах
Рис. 12.3
AB и AC взяты точки P итак, что отрезок касается окружности S. Докажите, что тогда 4PB · CQ = Пусть — середина стороны
AB
квадрата ABCD, а точки F и G выбраны на сторонах BC итак, что AG k EF. Докажите,
что отрезок FG касается окружности, вписанной в квадрат Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов,
стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге,
а две другие — на хорде или её продолжении
(рис. 12.3). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?
12.66*.
Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью натри равные части.
*
*
*
12.67*.
В окружность вписан квадрата в сегмент, отсечённый от круга одной из сторон этого квадрата, вписан другой квадрат. Найдите отношение длин сторон этих квадратов.
12.68*.
На отрезке AB взята точка C и на отрезках AC, BC и как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от прямой AB. Через точку C проведена прямая, перпендикулярная, ив образовавшиеся криволинейные треугольники ACD и вписаны окружности ирис. Докажите, что радиусы этих окружностей равны.
12.69*.
Центры окружностей с радиусами 1, 3 и 4 расположены на сторонах AD и BC прямоугольника ABCD. Эти окружности касаются друг друга и прямых AB итак, как показано на рис. 12.5. Докажите, что существует окружность, касающаяся всех этих окружностей и прямой AB.

Условия задач
295
Рис. Рис. 12.5
§ 9. Разные задачи
12.70.
Найдите все треугольники, у которых углы образуют арифметическую прогрессию, а стороны а) арифметическую прогрессию;
б) геометрическую прогрессию.
12.71.
Найдите высоту h трапеции, у которой основания AB и равны a и b (a < b), угол между диагоналями равен 90
◦
, а угол между продолжениями боковых сторон равен Вписанная окружность касается стороны BC треугольника в точке K. Докажите, что площадь треугольника равна · KC Докажите, что если ctg(
a
/2) = (b + c)/a, то треугольник пря- моугольный.
12.74.
Продолжения биссектрис треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A
1
, и C
1
. Докажите, что S
ABC
/S
A
1
B
1
C
1
=
= 2r/R, где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника Докажите, что сумма котангенсов углов треугольника равна сумме котангенсов углов треугольника, составленного из медиан треугольника Пусть A
4
— ортоцентр треугольника A
1
A
2
A
3
. Докажите, что существуют такие числа l
1
, . . . ,
l
4
, что A
i
A
2
j
=
l
i
+
l
j
, причём, если треугольник непрямоугольный, то) = 0.
§ 10. Метод координат
12.77.
Докажите, что расстояние от точки (x
0
, до прямой + by + c = 0 равно+ by
0
+ c|
p
a
2
+ b
2

Глава 12. Вычисления и метрические соотношения
12.78.
а) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках) и (x
2
, y
2
) равна 2
|x
1
y
2
− б) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках, y
1
), (x
2
, y
2
) и (x
3
, y
3
) равна 2
|x
1
y
2
+ x
2
y
3
+ x
3
y
1
− x
2
y
1
− x
1
y
3
− Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите,
что координаты центра его описанной окружности также рациональ- ны.
12.80.
Диаметры AB и CD окружности S перпендикулярны. Хорда пересекает диаметр CD в точке K, хорда EC пересекает диаметр в точке L. Докажите, что если CK : KD = 2 : 1, то AL : LB = 3 : В треугольнике ABC угол C прямой. Докажите, что при гомотетии с центром C и коэффициентом 2 вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности.
12.82*.
Квадрат ABCD вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, где P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, а Q — середина стороны Дан треугольники прямая l вне его, образующая с продолжениями сторон A
1
A
2
, A
2
A
3
, углы a
3
,
a
1
,
a
2
. Через точки A
1
, A
2
, проводятся прямые, образующие с l соответственно углы p
−
a
1
,
p
−
a
2
,
p
−
a
3
. Докажите, что эти прямые пересекаются водной точке. (Все углы отсчитываются от прямой l водном направ- лении.)
См. также задачи
3.58
,
3.75
,
7.6
,
7.14
,
7.49
,
18.26
,
22.36
,
30.29
Задачи для самостоятельного решения
12.84.
Каждая из двух окружностей касается обеих сторон данного прямого угла. Найдите отношение радиусов окружностей, если известно, что одна из них проходит через центр другой.
12.85.
Пусть продолжения сторон AB и CD, BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках K и M соответственно. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников, связаны соотношением R
ACM
· R
BDK
=
= R
ACK
· Три окружности радиусов 1, 2, 3 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.
12.87.
Пусть точка K лежит на стороне BC треугольника Докажите, что BK + AB
2
· CK = BC(AK
2
+ BK · KC).

Решения задач
297
12.88.
Докажите, что длина биссектрисы внешнего угла A треугольника равна sin(
a
/2)
|b − Две окружности радиусов R и r расположены так, что их общие внутренние касательные перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными и общей внешней касательной.
12.90.
Докажите, что сумма углов при лучах любой (неправильной)
пятиконечной звезды равна Докажите, что в любом треугольнике = (p − a)
2
tg a
2
ctg b
2
ctg Пусть a < b < c — длины сторон треугольника l
a
, l
b
, и l
0
a
,
l
0
b
, l
0
c
— длины его биссектрис и биссектрис внешних углов. Докажите,
что
1
al
a
l
0
a
+
1
cl
c
l
0
c
=
1
bl
b
l
0
b