Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
§ 5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей 10.27. Докажите, что rr c 6 Докажите, что r/R 6 2 sin( a /2)(1 − Докажите, что 6r 6 a + Докажите, что Докажите, что 27Rr 6 2p 2 6 Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, причём OA > OB > OC. Докажите, что OA > 2r и OB > Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше Докажите, что 3 a r a + b r b + c r c > Докажите, что а) 5R − r б) 4R − r a > (p − a)[ √ 3 + (a 2 + (b − Докажите, что 16Rr − 5r 2 6 p 2 6 4R 2 + 4Rr + Докажите, что r 2 a + r 2 b + r 2 c > См. также задачи Условия задач 6. Симметричные неравенства для углов треугольника Пусть a , b и углы треугольника ABC. В задачах этого параграфа требуется доказать указанные в условиях неравенства. З а меча ни е. Если a , b и углы некоторого треугольника, то существует треугольник с углами ( p − a )/2, ( p − b )/2 и В самом деле, эти числа положительны и их сумма равна p . Следовательно, если некоторое симметричное неравенство справедливо для синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов любого треугольника, то справедливо и аналогичное неравенство, в котором sin x заменён на cos(x/2), cos x — на sin(x/2), tg x — на ctg(x/2) и ctg x — на tg(x/2). Обратный переход от неравенств с половинными углами к неравенствам с целыми углами возможен лишь для остроугольных треугольников. В самом деле, если a 0 = ( p − a )/2, то a = p − 2 a 0 . Поэтому для остроугольного треугольника с углами существует треугольник с углами p − 2 a 0 , p − 2 b 0 , p − 2 g 0 . При такой замене sin(x/2) переходит в cos x и т. дно полученное неравенство может оказаться справедливым лишь для остроугольных треугольников. 10.38*. а) 1 < cos a + cos b + cos g 6 баба+ ctg b + ctg баб) Для остроугольного треугольника tg a + tg b + tg g > а) sin( a /2) sin( b /2) sin( g /2) 6 баба б) Для тупоугольного треугольника cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g > 1. 10.45*. cos a cos b + cos b cos g + cos g cos a 6 3/4. 10.46*. sin 2 a + sin 2 b + sin 2 g 6 sin( a + b ) + sin( b + g ) + sin( g + a ). § 7. Неравенства для углов треугольника 10.47. Докажите, что 1 − sin( a /2) > 2 sin( b /2) Докажите, что sin( g /2) 6 c/(a + Докажите, что если a + b < 3c, то tg( a /2) tg( b /2) < Пусть a , b , g — углы остроугольного треугольника. Докажите, что если a < b < g , то sin 2 a > sin 2 b > sin Докажите, что cos 2 a + cos 2 b − cos 2 g 6 На медиане BM треугольника ABC взята точка X. Докажите, что если AB < BC, то ∠XAB > ∠XCB. Глава 10. Неравенства для элементов треугольника 10.53. Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках A 1 , и C 1 . Докажите, что треугольник A 1 B 1 C 1 остроуголь- ный. 10.54*. Из медиан треугольника с углами a , b и составлен треугольник с углами и угол лежит против медианы и т. д. Докажите, что если a > b > g , то a > a m , a > b m , g m > b > a m , b m > g и g m > g См. также задачи 8. Неравенства для площади треугольника 10.55. Докажите, что: а) 3 √ 3r 2 6 S 6 б) S 6 (a 2 + b 2 + Докажите, что a 2 + b 2 + c 2 − (a − b) 2 − (b − c) 2 − (c − a) 2 > Докажите, что а) S 3 6 б 4 √ 3 √ S 6 Пусть a, b, c и a 0 , b 0 , c 0 — длины сторон треугольников и A 0 B 0 C 0 , S и S 0 — их площади. Докажите, что+ b 02 + c 02 + b 2 (a 02 − b 02 + c 02 ) + c 2 (a 02 + b 02 − c 02 ) > 16SS 0 , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны (Пидо). * * * 10.59*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки, и C 1 , причём AA 1 , и пересекаются водной точке. Докажите, что S A 1 B 1 C 1 /S ABC 6 На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты произвольные точки A 1 , и C 1 . Пусть a = S AB 1 C 1 , b = S A 1 BC 1 , c = и u = S A 1 B 1 C 1 . Докажите, что u 3 + (a + b + c)u 2 > На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки, и C 1 . Докажите, что площадь одного из треугольников не превосходит: а) б) См. также задачи 9. Против большей стороны лежит больший угол 10.62. Докажите, что ∠ABC < ∠BAC тогда и только тогда, когда, те. против большего угла треугольника лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол Условия задач 257 10.63. Докажите, что в треугольнике угол A острый тогда и только тогда, когда m a > Пусть ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 — два выпуклых четырёхугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если ∠A > то ∠B < ∠B 1 , ∠C > ∠C 1 , ∠D < В остроугольном треугольнике ABC наибольшая из высот равна медиане BM. Докажите, что ∠B 6 Докажите, что выпуклый пятиугольник ABCDE с равными сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам ∠A > ∠B > ∠C > > ∠D > ∠E, является правильным 10. Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны 10.67. а) Внутри треугольника ABC расположен отрезок MN. Докажите, что длина MN не превосходит наибольшей стороны треуголь- ника. б) Внутри выпуклого многоугольника расположен отрезок Докажите, что длина MN не превосходит наибольшей стороны или наибольшей диагонали этого многоугольника. 10.68*. Внутри сектора AOB круга радиуса R = AO = BO лежит отрезок MN. Докажите, что MN 6 R или MN 6 AB. (Предполагается, что ∠AOB < В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. В области, ограниченной отрезками AB, и меньшей дугой BC, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник. Докажите, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность. 10.71*. Даны треугольник ABC со сторонами a > b > c и произвольная точка O внутри его. Пусть прямые AO, BO, CO пересекают стороны треугольника в точках P, Q, R. Докажите, что OP + OQ + OR < a. § 11. Неравенства для прямоугольных треугольников Во всех задачах этого параграфа ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом Докажите, что c n > a n + при n > Докажите, что a + b < c + Докажите, что 0,4 < r/h < 0,5, где h — высота, опущенная из вершины прямого угла. 10.75*. Докажите, что c/r > 2(1 +Докажите, что m 2 a + m 2 b > 29r 2 Глава 10. Неравенства для элементов треугольника 12. Неравенства для остроугольных треугольников 10.77. Докажите, что для остроугольного треугольника 1 +Докажите, что для остроугольного треугольника 1 l a + 1 l b + 1 l c 6 √ 2 1 a + 1 b + 1 c 10.79. Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то m a + + m b + m c > Докажите, что если в остроугольном треугольнике h a = l b = = m c , то этот треугольник равносторонний. 10.81*. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты и CC 1 . Докажите, что периметр треугольника не превосходит половины периметра треугольника Пусть ∠A < ∠B < ∠C < 90 ◦ . Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот. 10.83*. Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R 6 На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника взяты точки A 1 , и C 1 . Докажите, что a + C 1 A 1 cos b + A 1 B 1 cos g ) > a cos a + b cos b + c cos Докажите, что треугольник со сторонами a, b и c остроугольный тогда и только тогда, когда a 2 + b 2 + c 2 > Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда p > 2R + r. 10.87*. Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда на его сторонах BC, CA и AB можно выбрать такие внутренние точки A 1 , и C 1 , что AA 1 = BB 1 = CC 1 10.88*. Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций натри различных направления равны. См. также задачи 13. Неравенства в треугольниках 10.89. Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что NO 6 2MO. Условия задач 259 10.90. Докажите, что если треугольник ABC лежит внутри треугольника, то r ABC < В треугольнике ABC сторона c наибольшая, а a наименьшая. Докажите, что l c 6 Медианы и треугольника ABC перпендикулярны. Докажите, что ctg A + ctg B > Через вершину A равнобедренного треугольника ABC с основанием проведена окружность, касающаяся стороны BC в точке и пересекающая сторону AB в точке N. Докажите, что AN > В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD, медиана и высота CH пересекаются водной точке. В каких пределах может изменяться величина угла В треугольнике ABC стороны равны a, b, c; соответственные углы (в радианах) равны a , b , g . Докажите, что p 3 6 a a + b b + c g a + b + Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что sin BOC + BO sin AOC + CO sin AOB 6 На продолжении наибольшей стороны AC треугольника заточку взята точка D так, что CD = CB. Докажите, что угол не острый. 10.98*. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и Докажите, что если AB > BC, то AM > MK > На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки так, что прямые AX, BY, CZ пересекаются водной точке Докажите, что из отношений OA : OX, OB : OY, OC : OZ по крайней мере одно не больше 2 и одно не меньше Окружность касается сторон AC и AB треугольника, окружность касается сторон BC и AB, кроме того, и касаются друг друга внешним образом. Докажите, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса вписанной окружности См. также задачи 14.26 , 17.16 , 17.18 Задачи для самостоятельного решения 10.101. Пусть a, b и c — длины сторон треугольника, P = a + b + c, Q = ab + bc + ca. Докажите, что 3Q 6 P 2 < Докажите, что произведение любых двух сторон треугольника больше В треугольнике ABC проведена биссектриса AA 1 . Докажите, что A 1 C < Докажите, что если a > b и a + h a 6 b + h b , то ∠C = Пусть O — центр вписанной окружности треугольника Докажите, что ab + bc + ca > (AO + BO + CO) 2 Глава 10. Неравенства для элементов треугольника 10.106. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены равносторонние треугольники с центрами D, E и F. Докажите, что S DEF > На плоскости даны треугольники ABC и MNK, причём прямая MN проходит через середины сторон AB и AC, а в пересечении этих треугольников образуется шестиугольник площади с попарно параллельными противоположными сторонами. Докажите, что 3S < S ABC + S MNK Решения 10.1. Пусть медианы и пересекаются в точке M. Так как BC > то точки A и C лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра кот- резку AB, а значит, потуже сторону лежат медиана и её точка Следовательно, AM < BM, те Предположим, например, что a > b. Тогда m a < m b (задача 10.1 ). А так как четырёхугольник A 1 MB 1 C описанный, тот. е − b)/2 = (m a − m b )/3. Получено противоречие. 10.3. Пусть, например, BC > AC. Тогда MA < MB см. задачу, поэтому+ а) Так как c 6 a + b, то c 2 6 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab 6 2(a 2 + б) Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Согласно задаче ат. е а) Пусть M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда AO 2 + BO 2 + CO 2 = ( # – AM + # – MO) 2 + ( # – BM + # – MO) 2 + + ( # – CM + # – MO) 2 = AM 2 + BM 2 + CM 2 + 2( # – AM + # – BM + # – CM, # – MO) + 3MO 2 . Так как – AM + # – BM + # – CM = #– 0 (задача 13.1 а), тот. е. 3R 2 > 4(m 2 a + m 2 b + б) Достаточно заметить, что (m a + m b + m c ) 2 6 3(m 2 a + m 2 b + m 2 c ) см. приложение к гл. Формулу Герона можно переписать в виде 16S 2 = 2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 − − a 4 − b 4 − c 4 . Атак как m 2 c = (2a 2 + 2b 2 − c 2 )/4 (задача 12.11 а), тонера- венства m 2 c 6 ((a 2 + и m 2 c > ((a 2 − эквивалентны неравенствами соответственно. 10.7. Пусть y = a 2 + b 2 + и y 1 = m 2 a + m 2 b + m 2 c . Тогда 3y = задача б, y < 2x задача) итак как (m a + m b + m c ) 2 < < (a + b + см. задачу. Сложив неравенство 8x 1 + 4y 1 < 8x + 4y с равенством, получим 8x 1 < y + 8x < 10x, те Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Достроим треугольник до параллелограмма AMBN. Применив к треугольнику доказанное утверждение, получим (x/4)/(4x 1 /9) < 5/4, те Ясно, что h a 6 b, h b 6 c, h c 6 a, причём по крайней мере одно их этих неравенств строгое. Поэтому h a + h b + h c < a + b + Пусть h a > 1 и h b > 1. Тогда a > h b > 1. Поэтому S = ah a /2 > По условию BH > AC, атак как перпендикуляр короче наклонной, то BH > AC > AM. Аналогично AM > BC > BH. Поэтому BH = AM = AC = BC. Решения задач 261 Поскольку AC = AM, то отрезки AC и AM совпадают, те, атак как AC = BC, то углы треугольника ABC равны 45, 45, Ясно, что 1 h a + 1 h b = a+b 2S = a+b (a+b+c)r и a + b + c < 2(a + b) < 2(a + b + Так как ah a = 2S = r(a + b + c), то h a = r 1 + b a + c a . Сложив такие равенства для h a , и и воспользовавшись неравенством 2, получим требуемое. |