Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 40 из 70

15.17.
Пусть сторона AB угла BAC касается окружности радиуса с центром сторона AC касается окружности радиуса с центром O
2
. Перенесём прямую AB параллельно внутрь угла
BAC
на расстояние прямую — на расстояние
r
2
Пусть A
1
— точка пересечения перенесённых прямых (рис. 15.8). Тогда ∠O
1
A
1
O
2
= Постоянный угол опирается на неподвижный отрезок O
1
O
2
, поэтому точка описывает дугу окружности

ГЛАВА ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Основные сведения. Симметрией относительно точки A называют преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку X
0
, что A — середина отрезка Другие названия этого преобразования — центральная симметрия с центром или просто симметрия с центром Заметим, что симметрия с центром A представляет собой частный случай двух других преобразований — она является поворотом нас центром а также гомотетией с центром A и коэффициентом −1.
2. Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки то A называют центром симметрии этой фигуры. В этой главе используются следующие обозначения для преобразований симметрия с центром A;
T
a
— перенос на вектор a.
4. Композицию симметрий относительно точек A и B мы будем обозначать S
A
; при этом сначала выполняется симметрия S
A
, затем симметрия Кажущаяся неестественность такой последовательности операций оправдывается тождеством (S
B
◦ S
A
)(X) = Композиции любых отображений обладают свойством ассоциативности ◦ (G ◦ H) = (F ◦ G) ◦ H. Поэтому такую композицию можно обозначать ◦ G ◦ H.
5. Композиции двух центральных симметрий или симметрии и переноса вычисляются последующим формулам (см. задачу
16.9
):
а) S
B
◦ S
A
= T
2
# б) T
a
◦ S
A
= и S
B
◦ T
a
= S
A
, где a = 2
# Вводные задачи
1.
Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.
2.
Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии,
является параллелограммом.
3.
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно равны и
параллельны.
Докажите,
что он имеет центр сим- метрии.
4.
Дан параллелограмм ABCD и точка M. Через точки A, B, C и проведены прямые, параллельные прямыми соответственно. Докажите, что они пересекаются водной точке

Глава 16. Центральная симметрия
5.
Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности, параллельными сторонам, равны 1. Симметрия помогает решить задачу
16.1.
Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.
16.2.
Двое игроков поочерёдно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место.
Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок всегда может выиграть.
16.3.
Окружность пересекает стороны BC, CA, AB треугольника в точках и A
2
, и B
2
, и соответственно. Докажите,
что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведённые через точки A
1
, и C
1
, пересекаются водной точке, то и перпендикуляры к сторонам, проведённые через точки A
2
, и C
2
, тоже пересекаются водной точке.
16.4.
Докажите, что прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются водной точке.
16.5.
Пусть P — середина стороны AB выпуклого четырёхугольни- ка ABCD. Докажите, что если площадь треугольника PCD равна половине площади четырёхугольника ABCD, то BC k Окружности и радиуса 1 касаются в точке A; центр окружности S радиуса 2 принадлежит S
1
. Окружность касается в точке B. Докажите, что прямая AB проходит через точку пересечения окружностей и В треугольнике ABC проведены медианы AF и CE. Докажите, что если ∠BAF = ∠BCE = 30
◦
, то треугольник ABC правильный.
16.8*.
Даны выпуклый угольник с попарно непараллельными сторонами и точка O внутри его. Докажите, что через точку O нельзя провести более n прямых, каждая из которых делит площадь угольника пополам.
См. также задачи 2. Свойства симметрии
16.9.
а) Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.
б) Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в любом порядке) является центральной симметрией.
16.10.
Докажите, что если точку отразить симметрично относительно точек O
1
, и O
3
, а затем ещё раз отразить симметрично относительно этих же точек, то она вернётся на место

Условия задача) Докажите, что ограниченная фигура не может иметь более одного центра симметрии.
б) Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно двух центров симметрии.
в) Пусть M — конечное множество точек на плоскости. Назовём точку O почти центром симметрии множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что O будет центром симметрии оставшегося множества. Сколько почти центров симметрии может иметь На отрезке AB дано n пар точек, симметричных относительно его середины n точек окрашено в синий цвет, остальные — в красный. Докажите, что сумма расстояний от A до синих точек равна сумме расстояний от B до красных точек.
См. также задачу 3. Симметрия в задачах на построение
16.13.
Через общую точку A окружностей и проведите прямую так, чтобы эти окружности высекали на ней равные хорды.
16.14.
Через данную точку A проведите прямую так, чтобы отрезок, заключённый между точками пересечения её сданной прямой и данной окружностью, делился точкой A пополам.
16.15.
Даны угол ABC и точка D внутри его. Постройте отрезок с концами на сторонах данного угла, середина которого находилась бы в точке Даны угол и внутри его точки A и B. Постройте параллелограмм, для которого точки A и B — противоположные вершины, а две другие вершины лежат на сторонах угла.
16.17.
Даны четыре попарно непараллельные прямые и точка не лежащая на этих прямых. Постройте параллелограмм сцен- тром O и вершинами, лежащими на данных прямых, — по одной на каждой.
16.18.
Даны две концентрические окружности и S
2
. Проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных от- резка.
16.19*.
Даны непересекающиеся хорды AB и CD окружности и точка на хорде CD. Постройте на окружности точку X так, чтобы хорды и BX высекали на хорде CD отрезок EF, делящийся точкой J
пополам.
16.20*.
Через общую точку A окружностей и проведите прямую так, чтобы разность длин хорд, высекаемых на l окружностями
S
1
и имела заданную величину Даны m = 2n + 1 точек — середины сторон угольника. Постройте его вершины.
См. также задачи

Глава 16. Центральная симметрия
Задачи для самостоятельного решения
16.22.
Постройте треугольник по медианами углу а) Дана точка внутри параллелограмма, не лежащая на отрезках, соединяющих середины противоположных сторон. Сколько существует отрезков с концами на сторонах параллелограмма, делящихся этой точкой пополам?
б) Дана точка, лежащая внутри треугольника, образованного средними линиями данного треугольника. Сколько существует отрезков с концами на сторонах данного треугольника, делящихся этой точкой пополам?
16.24.
а) Найдите множество вершин выпуклых четырёхугольни- ков, середины сторон которых являются вершинами данного квад- рата.
б) На плоскости даны три точки. Найдите множество вершин выпуклых четырёхугольников, середины трёх сторон каждого из которых лежат в данных точках.
16.25.
На прямой даны точки A, B, C, D, расположенные в указанном порядке, причём AB = CD. Докажите, что для любой точки P на плоскости AP + DP > BP + CP.
Решения
16.1.
Пусть в треугольнике ABC медиана BD является биссектрисой.
Рассмотрим точку B
1
, симметричную B относительно точки D. Так как — середина отрезка AC, то четырёхугольник ABCB
1
— параллелограмм.
А так как ∠ABB
1
= ∠B
1
BC =
∠AB
1
B, то треугольник B
1
AB равнобедренный и AB = AB
1
= Первый игрок кладёт пятак в центр стола, а затем кладёт пятаки симметрично пятакам второго игрока относительно центра стола. При такой стратегии первый игрок всегда имеет возможность сделать очередной ход.
Ясно также, что игра завершится за конечное число ходов.
16.3.
Пусть перпендикуляры к сторонам, проведённые через точки и пересекаются в точке M. Обозначим центр окружности через Перпендикуляр к стороне BC, проведённый через точку A
1
, симметричен относительно точки O перпендикуляру к стороне BC, проведённому через точку Поэтому перпендикуляры к сторонам, проведённые через точки A
2
, и пересекаются в точке, симметричной M относительно точки Пусть P, Q, R и S — середины сторон AB, BC, CD и DA; M — точка пересечения отрезков PR и QS те. середина обоих этих отрезков см. задачу центр описанной окружности, а точка симметрична относительно точки M. Докажем, что прямые, о которых идёт речь в условии задачи, проходят через точку O
0
. В самом деле, O
0
POR — параллелограмм, поэтому, атак как R — середина хорды CD, тот. е. O
0
P ⊥ Для прямых O
0
Q, O
0
R и O
0
S доказательство проводится аналогично.
16.5.
Пусть точка симметрична D относительно точки P. Если площадь треугольника PCD равна половине площади четырёхугольника ABCD,

Решения задач
357
то она равна сумме площадей треугольников PBC и PAD, те. сумме площадей треугольников PBC и PBD
0
. Так как P — середина отрезка DD
0
, то S
PCD
= S
PBC
+ S
PBD
0
, поэтому точка B лежит на отрезке D
0
C. Остаётся заметить, что D
0
B k Окружности и симметричны относительно точки A. Так как — диаметр окружности S
1
, то ∠BAO = 90
◦
, поэтому при симметрии относительно точка B снова попадает на окружность S. Следовательно, при симметрии относительно A точка B переходит в точку пересечения окружностей и Так как ∠EAF = ∠ECF = 30
◦
, точки A, E, F и C лежат на одной окружности S, причём если O — её центр, то ∠EOF = 60
◦
. Точка B симметрична относительно точки E, поэтому она лежит на окружности симметричной окружности S относительно точки E. Аналогично точка B лежит на окружности S
2
, симметричной окружности S относительно точки Так как треугольник EOF правильный, центры окружностей S, и образуют правильный треугольник со стороной 2R, где R — радиус этих окружностей. Поэтому окружности и имеют единственную общую точку B,
причём треугольник BEF правильный. Следовательно, треугольник ABC тоже правильный.
16.8.
Рассмотрим многоугольник, симметричный исходному относительно точки O. Так как стороны многоугольника попарно непараллельны, контуры этих многоугольников не могут иметь общих отрезков, а могут иметь только общие точки. Атак как многоугольники выпуклые, на каждой стороне лежит не более двух точек пересечения поэтому имеется не более 2n точек пересечения контуров (точнее, n пар симметричных относительно O точек).
Пусть и l
2
— прямые, проходящие через точку O и делящие площадь исходного многоугольника пополам. Докажем, что внутри каждой из четы- рёх частей, на которые эти прямые делят плоскость, есть точка пересечения
Рис. контуров. Предположим, что водной из частей между прямыми и нет таких точек.
Обозначим точки пересечения прямых и со сторонами многоугольника так, как показано на рис. 16.1. Пусть точки A
0
, B
0
, и симметричны относительно точки O точками соответственно. Для опре- делённости будем считать, что точка A лежит ближе к точке O, чем точка C
0
. Так как отрезки и не пересекаются, точка лежит ближе к точке O, чем точка D
0
. Поэтому S
C
0
D
0
O
= S
CDO
, где ABO — выпуклая фигура, ограниченная отрезками и BO и частью границы угольника, заключённой между точками A и С другой стороны, S
ABO
= S
CDO
, так как прямые и делят площадь многоугольника пополам. Получено противоречие. Поэтому между каждой парой прямых, делящих площадь пополам, лежит пара симметричных точек пересечения контуров, те. таких прямых не более а) Пусть точка A при центральной симметрии относительно точки переходит в точку A
1
, точка переходит при симметрии относительно в точку A
2
. Тогда O
1
O
2
— средняя линия треугольника AA
1
A
2
, поэтому –
AA
2
= 2
# –
O
1
O
2

Глава 16. Центральная симметрия б) Пусть O
2
— образ точки при переносе на вектор a/2. Согласно задаче а) S
O
2
◦ S
O
1
= T
a
. Умножая это равенство на справа или на слева и учитывая, что S
X
◦ S
X
— тождественное преобразование, получаем S
O
2
◦ и S
O
2
= T
a
◦ Согласно предыдущей задаче S
B
◦ S
A
= T
2
# –
AB
. Поэтому S
O
3
◦ S
O
2
◦ S
O
1
◦
◦ S
O
3
◦ S
O
2
◦ S
O
1
= T
2(
# –
O
2
O
3
+
# –
O
3
O
1
+
# –
O
1
O
2
)
— тождественное преобразование.
16.11.
а) Предположим, что ограниченная фигура имеет два центра симметрии и O
2
. Введём систему координат с осью абсцисс, направленной получу. Так как S
O
2
◦ S
O
1
= T
2
# –
O
1
O
2
, фигура переходит в себя при переносе на вектор 2 # –
O
1
O
2
. Ограниченная фигура не может обладать этим свойством,
так как образ точки с наибольшей абсциссой не принадлежит фигуре.
б) Пусть O
3
= S
O
2
(O
1
). Легко проверить, что S
O
3
= S
O
2
◦ S
O
1
◦ S
O
2
. Поэтому если и O
2
— центры симметрии фигуры, то и O
3
— центр симметрии, причём
O
3 6= и O
3 6= O
2
в)
Покажем,
что конечное множество может иметь только
0,
1,
2
или 3 почти центров симметрии. Соответствующие примеры приведены на рис. 16.2 (жирные точки являются одновременно точками M и центрами симметрии. Остаётся доказать, что конечное множество не может иметь больше трёх почти центров симметрии».
Рис. Почти центров симметрии конечное число, так как они являются серединами отрезков, соединяющих точки множества. Поэтому можно выбрать прямую, проекции почти центров симметрии на которую не сливаются. Следовательно, доказательство достаточно провести для точек, лежащих на одной прямой

Решения задач
359
Пусть на прямой задано n точек с координатами x
1
< x
2
< . . . < x
n−1
< Если мы выбрасываем точку x
1
, то центром симметрии оставшегося множества может быть только точка (x
2
+ x
n
)/2; если выбрасываем x
n
— то только точка (x
1
+ x
n−1
)/2; если же выбрасываем любую другую точку — то только точка (x
1
+ x
n
)/2. Поэтому почти центров симметрии не больше трёх.
16.12.
Если пара симметричных точек окрашена в разные цвета, то её можно просто выбросить из рассмотрения выбросим все такие пары. В оставшемся наборе точек число синих пар равно числу красных пар. Кроме того, сумма расстояний как от точки A, таки от точки B до любой пары симметричных точек равна длине отрезка Рассмотрим окружность S
0 1
, симметричную окружности относительно точки A. Искомая прямая проходит через точки пересечения S
0 и Рис. Пусть l
0
— образ прямой l при симметрии относительно точки A. Искомая прямая проходит через точку A и точку пересечения прямой с окружностью Построим точки и пересечения прямых, симметричных прямыми относительно точки D, с прямыми AB ирис. Ясно, что точка D является серединой построенного отрезка A
0
C
0
, так как точки и симметричны относительно Пусть O — середина отрезка Нужно построить точки C и D, лежащие на сторонах угла, для которых точка O является серединой отрезка CD. Это построение описано в решении предыдущей задачи.