Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 21 из 70

§ 1. ГМТ — прямая или отрезок
7.1.
Два колеса радиусов и катаются по прямой l. Найдите множество точек пересечения M их общих внутренних касательных

Глава 7. Геометрические места точек
7.2.
Стороны AB и CD четырёхугольника ABCD площади S не параллельны. Найдите ГМТ X, лежащих внутри четырёхугольника, для которых S
ABX
+ S
CDX
= Даны две прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите ГМТ для которых сумма длин проекций отрезков OX на эти прямые посто- янна.
7.4.
Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ X, для которых + BX = CX + Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба и обладающих тем свойством, что ∠AMD + ∠BMC = На плоскости даны точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.
7.7.
Даны окружность S и точка M вне е. Через точку M проводятся всевозможные окружности S
1
, пересекающие окружность S;
X — точка пересечения касательной в точке M к окружности с продолжением общей хорды окружностей S и S
1
. Найдите ГМТ Даны две непересекающиеся окружности. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, делящих пополам данные окружности (те. пересекающих их в диаметрально противоположных точках).
7.9.
Внутри окружности взята точка A. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности, проведённых через концы всевозможных хорд, содержащих точку а) Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что величина+ CX
2
− BX
2
− не зависит от выбора точки б) Четырёхугольник ABCD не является параллелограммом. Докажите, что все точки X, удовлетворяющие соотношению AX
2
+ CX
2
=
= BX
2
+ DX
2
, лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку,
соединяющему середины диагоналей.
См. также задачи 2. ГМТ — окружность или дуга окружности
7.11.
Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла ABC. По какой траектории движется середина этого отрезка?
7.12.
Найдите геометрическое место середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.
7.13.
Даны две точки A и B. Две окружности касаются прямой одна — в точке A, другая — в точке B) и касаются друг друга в точке. Найдите ГМТ M.

Условия задач
185
*
*
*
7.14.
На плоскости даны две точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых AM : BM = k окружность Аполлония).
7.15.
Пусть S — окружность Аполлония для точек A и B, причём точка A лежит вне окружности S. Из точки A проведены касательные и AQ к окружности S. Докажите, что B — середина отрезка Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и S
a
— окружность с диаметром DE, окружности
S
b
и определяются аналогично. Докажите, что:
а) окружности S
a
, и имеют две общие точки M и N, причём прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника б) проекции точки M и точки N) на стороны треугольника образуют правильный треугольник.
Точки M и N из задачи
7.16
называют изодинамическими центрами тре- угольника.
7.17*.
Докажите,
что изодинамические центры лежат на прямой, где O — центр описанной окружности, K — точка Лемуана.
7.18*.
Треугольник ABC правильный, M — некоторая точка. Докажите, что если числа AM, BM и CM образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше См. также задачи
2.14
,
2.67
б),
5.156
,
7.27
,
7.29
,
14.21
а),
18.15
,
28.23
,
28.24
§ 3. Вписанный угол
7.19.
На окружности фиксированы точки A и B, а точка C перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения:
а) высот б) биссектрис треугольников Точка P перемещается по описанной окружности квадрата. Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая,
проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает прямую в точке X. Найдите ГМТ а) На окружности фиксированы точки A и B, а точки и движутся по той же окружности так, что величина дуги A
1
B
1
остаёт- ся постоянной M — точка пересечения прямых и BB
1
. Найдите
ГМТ б) В окружность вписаны треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
, причём треугольник ABC неподвижен, а треугольник вращается. Докажите, что прямые AA
1
, и пересекаются водной точке не более чем при одном положении треугольника На плоскости даны четыре точки. Найдите множество центров прямоугольников, образуемых четырьмя прямыми, проходящими соответственно через данные точки

Глава 7. Геометрические места точек
7.23*.
Найдите ГМТ X, лежащих внутри правильного треугольника и обладающих тем свойством, что ∠XAB + ∠XBC + ∠XCA = См. также задачи 4. Вспомогательные равные
или подобные треугольники
7.24.
Дана полуокружность с центром O. Из каждой точки лежащей на продолжении диаметра полуокружности, проводится касающийся полуокружности лучина нём откладывается отрезок равный отрезку XO. Найдите ГМТ M, полученных таким образом.
7.25*.
Пусть A и B — фиксированные точки плоскости. Найдите
ГМТ C, обладающих следующим свойством высота треугольника равна Даны окружность и точка P внутри е. Через каждую точку окружности проведём касательную. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности напрямую, и касательная пересекаются в точке M. Найдите ГМТ M.
§ 5. Гомотетия
7.27.
На окружности фиксированы точки A и B. Точка C перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения медиан треугольников Дан треугольник ABC. Найдите множество центров прямоугольников, вершины Q и P которых лежат на стороне вершины R и S — на сторонах AB и BC соответственно.
7.29.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках P и Q. Какую линию описывает середина отрезка PQ, когда секущая вращается вокруг точки Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Найдите ГМТ M таких, что радиусы описанных окружностей треугольников AMB и CMB равны.
См. также задачи 6. Метод ГМТ
7.31.
Точки P и Q движутся с одинаковой постоянной скоростью по двум прямым, пересекающимся в точке O. Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка A, расстояния от которой до точек P ив любой момент времени равны.
7.32.
Через середину каждой диагонали выпуклого четырёхугольни- ка проводится прямая, параллельная другой диагонали. Эти прямые пересекаются в точке O. Докажите, что отрезки, соединяющие точку O

Условия задач
187
с серединами сторон четырёхугольника, делят его площадь на равные части.
7.33.
Пусть D и E — середины сторон AB и BC остроугольного треугольника ABC, а точка M лежит на стороне AC. Докажите, что если MD < AD, то ME > Внутри выпуклого многоугольника взяты точки P и Q. Докажите, что существует вершина многоугольника, менее удалённая отчем от Точки A, B и C таковы, что для любой четвёртой точки либо MA 6 MB, либо MA 6 MC. Докажите, что точка A лежит на отрезке Дан четырёхугольник ABCD, причём AB < BC и AD < Точка M лежит на диагонали BD. Докажите, что AM < MC.
§ 7. ГМТ с ненулевой площадью
7.37.
Пусть O — центр прямоугольника ABCD. Найдите ГМТ M, для которых AM > OM, BM > OM, CM > OM и DM > Найдите ГМТ X, из которых можно провести касательные к данной дуге AB окружности.
7.39.
Пусть O — центр правильного треугольника ABC. Найдите
ГМТ M, удовлетворяющих следующему условию любая прямая, про- ведённая через точку M, пересекает либо отрезок AB, либо отрезок На плоскости даны два непересекающихся круга. Обязательно ли найдётся точка M, лежащая вне этих кругов, удовлетворяющая такому условию каждая прямая, проходящая через точку M, пересекает хотя бы один из этих кругов?
Найдите ГМТ M, удовлетворяющих такому условию.
См. также задачи 8. Теорема Карно
7.41*.
Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A
1
,
B
1
, на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются водной точке тогда и только тогда, когда A
1
B
2
+ C
1
A
2
+ B
1
C
2
= B
1
A
2
+
+ A
1
C
2
+ C
1
B
2
(Карно).
7.42*.
Докажите, что высоты треугольника пересекаются водной точке.
7.43*.
Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров внев- писанных окружностей на соответственные стороны треугольника, пересекаются водной точке.
7.44*.
Точки A
1
, и таковы, что AB
1
= AC
1
, BC
1
= и CA
1
=
= CB
1
. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек и на прямые BC, CA и AB, пересекаются водной точке

Глава 7. Геометрические места точек
7.45*.
а) Перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на соответствующие стороны треугольника A
1
B
1
C
1
, пересекаются водной точке. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на соответствующие стороны треугольника тоже пересекаются водной точке.
б) Прямые, проведённые через вершины треугольника ABC параллельно соответствующим сторонам треугольника A
1
B
1
C
1
, пересекаются водной точке. Докажите, что прямые, проведённые через вершины треугольника параллельно соответствующим сторонам треугольника, тоже пересекаются водной точке.
7.46*.
На прямой l взяты точки A
1
, и C
1
, а из вершин треугольника на эту прямую опущены перпендикуляры AA
2
, и Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A
1
, и на прямые BC, CA и AB, пересекаются водной точке тогда и только тогда, когда A
1
B
1
: B
1
C
1
= A
2
B
2
: отношения отрезков ориентиро- ванные).
7.47*.
Треугольник ABC правильный, P — произвольная точка. До- кажите,
что перпендикуляры,
опущенные из центров вписанных окружностей треугольников PAB, PBC и PCA на прямые AB, BC и пересекаются водной точке.
7.48*.
Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис треугольника, пересекаются водной точке, то треугольник равнобедренный 9. Окружность Ферма—Аполлония
7.49*.
Докажите, что множество точек X, обладающих тем свойством, что k
1
A
1
X
2
+ . . . + k
n
A
n
X
2
= а) при k
1
+. . .+k
n
6=0 является окружностью или пустым множеством;
б) при k
1
+. . .+k
n
=0 является прямой, плоскостью или пустым мно- жеством.
7.50*.
Прямая l пересекает две окружности в четырёх точках.
Докажите, что касательные в этих точках к одной окружности пересекают касательные к другой окружности в четырёх точках, лежащих на окружности, причём центр этой окружности лежит на прямой,
соединяющей центры данных окружностей.
7.51*.
Точки M и N таковы, что AM : BM : CM = AN : BN : Докажите, что прямая MN проходит через центр O описанной окружности треугольника См. также задачи
7.6
,
7.14
,
8.63
—
8.67
Задачи для самостоятельного решения
7.52.
На сторонах AB и BC треугольника ABC берутся точки D и Найдите геометрическое место середин отрезков DE.

Решения задач
189
7.53.
Две окружности касаются данной прямой в двух данных точках и B и касаются друг друга. Пусть C и D — точки касания этих окружностей с другой внешней касательной. Найдите геометрическое место середин отрезков Докажите, что если биссектриса одного из углов треугольника имеет внутри треугольника общую точку с перпендикуляром,
восставленным из середины противоположной стороны, то треугольник равнобедренный.
7.55.
Дан треугольник ABC. Найдите множество всех точек M этого треугольника, для которых выполнено условие AM > BM > CM. Когда полученное множество есть а) пятиугольник б) треугольник?
7.56.
Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место середин сторон квадратов, вписанных в данный квадрат.
7.57.
Дан равносторонний треугольник ABC. Найдите ГМТ M таких, что треугольники AMB и BCM равнобедренные.
7.58.
Найдите геометрическое место середин отрезков длины концы которых лежат на сторонах единичного квадрата.
7.59.
На сторонах AB, BC и CA данного треугольника ABC выбираются такие точки P, Q и R, что PQ k AC и PR k BC. Найдите геометрическое место середин отрезков Дана полуокружность с диаметром AB. Для любой точки этой полуокружности на луче XA строится точка Y так, что XY = Найдите ГМТ Дан треугольник ABC. На его сторонах AB, BC и CA выбираются точки C
1
, и соответственно. Найдите ГМТ пересечения описанных окружностей треугольников AB
1
C
1
, и A
1
B
1
C.
Решения
7.1.
Пусть и O
2
— центры колёс радиусов и соответственно. Если точка пересечения внутренних касательных, то O
1
M : O
2
M = r
1
: r
2
. Из этого условия с помощью задачи
1.1
б) легко получить, что расстояние от точки M до прямой l равно 2r
1
r
2
/(r
1
+ r
2
). Поэтому все точки пересечения общих внутренних касательных лежат на прямой, параллельной прямой и отстоящей от неё на расстояние 2r
1
r
2
/(r
1
+ Пусть O — точка пересечения прямых AB и CD. Отложим на лучах и OD отрезки OK и OL, равные AB и CD соответственно. Тогда+ S
CDX
= S
KOX
+ S
LOX
= S
KOL
± S
KXL
. Следовательно, площадь треугольника постоянна, те. точка X лежит на прямой, параллельной Пусть a и b — единичные векторы, параллельные данным прямым. Сумма длин проекций вектора на данные прямые равна, причём смена знака происходит на перпендикулярах, восставленных из точки O к данным прямым. Поэтому искомое
ГМТ — прямоугольник, стороны которого параллельны биссектрисам углов между данными прямыми, а вершины лежат на указанных перпендикулярах Глава 7. Геометрические места точек
7.4.
Пусть l — прямая, проходящая через середины сторон BC и AD. Предположим, что точка X не лежит на прямой l, например что точки A и лежат по одну сторону от прямой l. Тогда AX < DX и BX < CX, а значит. Поэтому прямая l — искомое ГМТ.
7.5.
Пусть N — такая точка, что # –
MN =
# –
DA. Тогда = ∠DMA и ∠NBM =
= ∠BMC, поэтому четырёхугольник AMBN вписанный. Диагонали вписанного четырёхугольника AMBN равны, поэтому AM k BN или BM k AN. В первом случае ∠AMD = ∠MAN = ∠AMB, а во втором случае ∠BMC = ∠MBN = Если ∠AMB = ∠AMD, то ∠AMB + ∠BMC = и точка M лежит на диагонали AC, а если ∠BMA = ∠BMC, то точка M лежит на диагонали. Ясно также, что если точка M лежит на одной из диагоналей,
то ∠AMD + ∠BMC = 180
◦
7.6.
Введём систему координат, выбрав точку A в качестве начала координат и направив ось Ox получу. Пусть точка M имеет координаты. Тогда AM
2
= x
2
+ и BM
2
= (x − a)
2
+ y
2
, где a = AB. Поэтому. Эта величина равна k для точек M с координатами все такие точки лежат на прямой, перпендикулярной Пусть A и B — точки пересечения окружностей S и S
1
. Тогда XM
2
=
= XA · XB = XO
2
− R
2
, где O и R — центр и радиус окружности S. Поэтому, а значит, точки X лежат на перпендикуляре к прямой см. задачу
7.6
).
7.8.
Пусть и O
2
— центры данных окружностей, и R
2
— их радиусы.
Окружность радиуса r с центром X пересекает первую окружность в диаметрально противоположных точках тогда и только тогда, когда r
2
= XO
2 1
+ R
2 поэтому искомое ГМТ состоит из таких точек X, что XO
2 1
+ R
2 1
= XO
2 2
+ R
2 2
, все такие точки X лежат на прямой, перпендикулярной O
1
O
2
(задача
7.6
).
7.9.
Пусть O — центр окружности, R — её радиус, M — точка пересечения касательных, проведённых через концы хорды, содержащей точку A, P — середина этой хорды. Тогда OP · OM = и OP = OA cos f
, где f
= Поэтому AM
2
= OM
2
+ OA
2
− 2OM · OA cos f
= OM
2
+ OA
2
− 2R
2
, а значит, величина постоянна. Следовательно, все точки M лежат на прямой, перпендикулярной OA см. задачу
7.6
).
7.10.
Пусть P и Q — середины диагоналей AC и BD. Тогда AX
2
+ CX
2
=
= 2PX
2
+ AC
2
/2 и BX
2
+ DX
2
= 2QX
2
+ BD
2
/2 (см. задачу
12.11
а), поэтому в задаче б) искомое ГМТ состоит из таких точек X, что PX
2
− QX
2
=
= (BD
2
− AC
2
)/4, а в задаче а) P = Q, поэтому рассматриваемая величина равна (AC
2
− Пусть M и N — концы данного отрезка, O — его середина. Точка лежит на окружности с диаметром MN, поэтому OB = MN/2. Траекторией точки O является часть окружности радиуса MN/2 с центром B, заключённая внутри угла Пусть M — данная точка, O — центр данной окружности. Если X — середина хорды AB, то XO ⊥ AB. Следовательно, искомое ГМТ является окружностью с диаметром MO.
7.13.
Проведём через точку M общую касательную к окружностям. Пусть — точка пересечения этой касательной с прямой AB. Тогда AO = MO = те середина отрезка AB. Точка M лежит на окружности с центром и радиусом AB/2. Множеством точек M является окружность с диаметром точки A и B следует исключить

Решения задач
191
7.14.
При k = 1 получаем серединный перпендикуляр к отрезку AB. Вдаль- нейшем будем считать, что k 6= 1.
Введём систему координат на плоскости так, чтобы точки A и B имели координаты (−a, 0) и (a, 0) соответственно. Если точка M имеет координаты, то + a)
2
+ y
2
(x − a)
2
+ y
2
. Уравнение приводится к виду +
1 + k
2 1
− k
2
a

2
+ y
2
=

2ka
1
− Это уравнение является уравнением окружности с центром + k
2 1
− k
2
a, и радиусом Пусть прямая AB пересекает окружность S в точках E и F, причём точка E лежит на отрезке AB. Тогда PE — биссектриса треугольника поэтому ∠EPB = ∠EPA = ∠EFP. Атак как ∠EPF = 90
◦
, то PB ⊥ а) Рассматриваемые окружности являются окружностями Аполлония для пар вершин треугольника ABC, поэтому если X — общая точка окружностей и S
b
, то XB : XC = AB : AC и XC : XA = BC : BA, те а значит, точка X принадлежит окружности S
c
. Ясно также, что если то точка D лежит внутри окружности S
b
, а точка A — вне е. Следовательно,
окружности и пересекаются в двух различных точках.
Для завершения доказательства остаётся воспользоваться результатом задачи б) Согласно задаче аи. Пусть и C
1
— проекции точки M на прямые AC и AB. Точки и лежат на окружности с диаметром MA, поэтому B
1
C
1
= MA sin B
1
AC
1
= (
l
/a)(a/2R) где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Аналогично A
1
C
1
=
= В задаче
7.16
а) уже доказано, что прямая MN проходит через точку O. Остаётся доказать, что она проходит через точку K. Согласно задаче
5.156
общая хорда окружности и описанной окружности треугольника проходит через точку K. Аналогично общая хорда окружности и описанной окружности тоже проходит через точку K. Поэтому K — радикальный центр описанной окружности и окружностей и S
b
. Следовательно,
общая хорда окружностей и проходит через точку Пусть и O
2
— такие точки, что # –
BO
1
= 4
# –
BA/3 и –
CO
2
= 4
# Легко проверить, что если BM > 2AM, то точка M лежит внутри окружности радиуса 2AB/3 с центром см. задачу, а если CM > то точка M лежит внутри окружности радиуса 2AB/3 с центром O
2
. Так как O
1
O
2
> BO
1
= 4AB/3, а сумма радиусов окружностей и равна то эти окружности не пересекаются. Следовательно, если BM = qAM и CM =
= qBM, то q < а) Пусть O — точка пересечения высот и BB
1
. Точки и лежат на окружности с диаметром CO. Следовательно, ∠AOB = 180
◦
− Поэтому искомое ГМТ — окружность, симметричная данной относительно прямой точки, проецирующиеся в точки A и B, следует исключить).
б) Если O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то ∠AOB =
= 90
◦
+ ∠C/2. На каждой из двух дуг AB угол C постоянен, поэтому искомым

Глава 7. Геометрические места точек
ГМТ являются две дуги, из которых отрезок AB виден под углом 90
◦
+ точки A и B следует исключить).
7.20.
Точки P и Q лежат на окружности с диаметром DX, поэтому, те. точка X лежит на прямой а) Если точка A
1
пройдёт по окружности дугу величиной 2
f
, то точка тоже пройдёт дугу величиной 2
f
, а значит, прямые и повернутся на угол и угол между ними не изменится. Поэтому точка перемещается по окружности, содержащей точки A и б) Пусть прямые AA
1
, ив некоторый момент пересекаются в точке. Тогда, например, точка пересечения прямых и перемещается по описанной окружности треугольника ABP. Ясно также, что описанные окружности треугольников ABP, BCP и CAP имеют единственную общую точку Предположим, что точки A и C лежат на противоположных сторонах прямоугольника. Пусть M и N — середины отрезков AC и BD соответственно.
Проведём через точку M прямую l
1
, параллельную сторонам прямоугольника,
на которых лежат точки A и C, а через точку N прямую l
2
, параллельную сторонам прямоугольника, на которых лежат точки B и D. Пусть O — точка пересечения прямых и l
2
. Ясно, что точка O лежит на окружности построенной на отрезке MN как на диаметре. С другой стороны, точка является центром прямоугольника. Ясно, что прямоугольник можно построить для любой точки O, лежащей на окружности S.
Остаётся заметить, что на противоположных сторонах прямоугольника могут лежать также точки A и B, A и D. Поэтому искомым ГМТ является объединение трёх окружностей.
7.23.
Легко проверить, что точки высот треугольника ABC обладают требуемым свойством. Предположим, что требуемым свойством обладает точка не лежащая ни на одной из высот треугольника ABC. Тогда прямая BX пересекает высоты ив точках и X
2
. Так как ∠XAB + ∠XBC + ∠XCA =
= 90
◦
= ∠X
1
AB +
∠X
1
BC +
∠X
1
CA, тот. е, AX
1
)=
∠(X
1
C, CX). Следовательно, точка X лежит на описанной окружности треугольника AXC
0
, где точка симметрична C относительно прямой. Аналогично доказывается, что точка лежит на этой окружности,
а значит, прямая BX пересекает эту окружность в трёх различных точках.
Получено противоречие.
7.24.
Пусть K — точка касания прямой MX и данной полуокружности, а P — проекция точки M на диаметр. В прямоугольных треугольниках и OKX равны гипотенузы и = ∠OXK, а значит, эти треугольники равны ив частности, MP = KO = R, где R — радиус данной полуокружности.
Следовательно, точка M лежит на прямой l, параллельной диаметру полуокружности и касающейся полуокружности. Пусть AB — отрезок прямой проекцией которого является диаметр полуокружности. Из точки прямой лежащей вне отрезка AB, нельзя провести касательную к данной полуокружности, так как касательная, проведённая к окружности, будет касаться другой полуокружности. Искомым ГМТ является отрезок AB, из которого выброшены точки A и B и его середина.
7.25.
Пусть H — основание высоты треугольника ABC и h
b
= b. Обозначим через точку пересечения перпендикуляра к прямой AB, проведённого через точку A, и перпендикуляра к прямой AH, проведённого через точку C.

Решения задач
193
Рис. Прямоугольные треугольники AB
0
C и BAH равны, так как ∠AB
0
C =
∠BAH и AC = BH. Поэтому, те. точка C лежит на окружности с диаметром Пусть и S
2
— образы окружности S с диаметром при поворотах нас центром рис. 7.1). Мы доказали, что точка C 6= A принадлежит объединению окружностей и Обратно, пусть точка C 6= A принадлежит окружности или S
2
, AB
0
— диаметр соответствующей окружности. Тогда ∠AB
0
C =
∠HAB и A
0
B = поэтому AC = Пусть O — центр окружности, N — точка пересечения прямых OM и QP. Опустим из точки M перпендикулярна прямую Из подобия треугольников
ONQ
и
OQM,
OPN
и
OMS
получаем
ON : OQ = OQ : и : ON = OM : Перемножая эти ра- венства,
получаем
OP : OQ = OQ : Поэтому является постоянной величиной. Атак как точка S лежит на луче OP, её положение не зависит от выбора точки Q. Искомым ГМТ является прямая, перпендикулярная прямой и проходящая через точку Пусть O — середина отрезка AB, M — точка пересечения медиан треугольника. При гомотетии с центром O и коэффициентом 1/3 точка переходит в точку M. Поэтому точки пересечения медиан треугольников лежат на окружности S, являющейся образом исходной окружности при гомотетии с центром O и коэффициентом 1/3. Для получения искомого ГМТ из
Рис. 7.2
окружности
S
нужно выбросить образы точек и Пусть O — середина высоты BH, M — середина отрезка AC, D и E — середины сторон RQ и соответственно (рис. Точки D и E лежат на прямых AO и CO соответственно. Середина отрезка DE является центром прямоугольника PQRS. Ясно, что она лежит на отрезке. Искомым ГМТ является отрезок OM, за исключением его концов.
7.29.
Пусть и O
2
— центры данных окружностей на окружности сцен- тром O
1
), O — середина отрезка O
1
O
2
; P
0
, и проекции точек O
1
, и O напрямую. При вращении прямой PQ точка пробегает окружность S с диаметром AO. Ясно, что при гомотетии сцен- тром A и коэффициентом 2 отрезок переходит в отрезок PQ, те. точка переходит в середину отрезка PQ. Поэтому искомым ГМТ является образ окружности S при этой гомотетии.
7.30.
Пусть P и Q — центры описанных окружностей треугольников и CMB. Точка M принадлежит искомому ГМТ, если BPMQ — ромб, те. точка является образом середины отрезка PQ при гомотетии с центром B

Глава 7. Геометрические места точек и коэффициентом 2. Атак как проекции точек P и Q напрямую являются серединами отрезков AB и BC, середины всех отрезков PQ лежат на одной прямой. (Точку прямой AC из полученного ГМТ следует исключить.)
7.31.
Точка P проходит через точку O в момент t
1
, точка Q — в момент В момент (t
1
+ t
2
)/2 точки P и Q находятся от точки O на одинаковом расстоянии, равном t
2
|v/2. Проведём в этот момент перпендикуляры к прямым в точках P и Q. Легко проверить, что точка пересечения этих перпендикуляров является искомой.
7.32.
Обозначим середины диагоналей AC и BD четырёхугольника через M и N соответственно. Ясно, что S
AMB
= и S
AMD
= S
DMC
, те. Поскольку при перемещении точки M параллельно BD площади четырёхугольников DABM и BCDM не изменяются, то S
DABO
= Аналогичные рассуждения для точки N показывают, что S
ABCO
= Поэтому S
ADO
+ S
ABO
= S
BCO
+ и S
ABO
+ S
BCO
= S
CDO
+ S
ADO
, а значит S
BCO
= и S
ABO
= S
CDO
= S
2
, те. площадь каждой из четырёх частей,
на которые отрезки, соединяющие точку O с серединами сторон четырёхуголь- ника, разбивают его, равна (S
1
+ Опустим из точки B высоту BB
1
. Тогда AD = B
1
D и CE = B
1
E. Ясно,
что если MD < AD, то точка M лежит на отрезке AB
1
, те. вне отрезка Следовательно, ME > Предположим, что все вершины многоугольника удалены от точки не меньше, чем точки от P. Тогда все вершины многоугольника лежат в той же полуплоскости, заданной серединным перпендикуляром к отрезку PQ, что и точка P, а точка Q лежит в другой полуплоскости. Следовательно, точка лежит вне многоугольника, что противоречит условию.
7.35.
Найдём ГМТ M, для которых MA > MB и MA > MC. Проведём серединные перпендикуляры и к отрезками для точек, лежащих внутри полуплоскости, заданной прямой и не содержащей точку A. Поэтому искомым ГМТ является пересечение полуплоскостей
(без границ, заданных прямыми l
1
, и не содержащих точку A. Если точки не лежат на одной прямой, то это ГМТ всегда непусто. Если A, B, лежат на одной прямой, ноне лежит на отрезке BC, то это ГМТ тоже непусто. Если же A лежит на отрезке BC, то это ГМТ пустоте. для любой точки M либо MA 6 MB, либо MA 6 Пусть O — середина диагонали AC. Проекции точек B и D напрямую лежат на отрезке AO, поэтому проекция точки M тоже лежит на отрезке AO.
7.37.
Проведём серединный перпендикуляр l к отрезку AO. Ясно, что OM тогда и только тогда, когда точка M лежит потуже сторону от прямой l, что и точка O или лежит на прямой l). Поэтому искомым
ГМТ является ромб, образованный серединными перпендикулярами к отрезками Искомое ГМТ заштриховано на рис. 7.3 (граница входит в ГМТ).
7.39.
Пусть и B
1
— середины сторон CB и AC соответственно. Искомым
ГМТ является внутренность четырёхугольника OA
1
CB
1
7.40.
Проведём общие касательные к данным кругам (рис. 7.4). Легко проверить, что точки, принадлежащие заштрихованным областям (ноне их границам, удовлетворяют требуемому условию, а точки, не лежащие в этих областях, не удовлетворяют этому условию

Решения задач
195
Рис. Рис. Пусть перпендикуляры, опущенные из точек A
1
, B
1
, на прямые, пересекаются в точке M. Так как точки и M лежат на одном перпендикуляре к прямой AC, то B
1
A
2
− B
1
C
2
= MA
2
− MC
2
(задача
7.6
).
Аналогично C
1
B
2
− C
1
A
2
= MB
2
− и A
1
C
2
− A
1
B
2
= MC
2
− MB
2
. Складывая эти равенства, получаем A
1
B
2
+ C
1
A
2
+ B
1
C
2
= B
1
A
2
+ A
1
C
2
+ Обратно, пусть A
1
B
2
+ C
1
A
2
+ B
1
C
2
= B
1
A
2
+ A
1
C
2
+ C
1
B
2
. Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек и на прямые и AC, через M. Проведём через точку M прямую l, перпендикулярную прямой AB. Если C
0 1
— точка на прямой l, то, согласно предыдущему+ C
0 1
A
2
+ B
1
C
2
= B
1
A
2
+ A
1
C
2
+ C
0 1
B
2
. Поэтому C
0 1
A
2
− C
0 1
B
2
= C
1
A
2
− Согласно задаче
7.6
ГМТ X, для которых XA
2
− XB
2
= k, является прямой,
перпендикулярной отрезку AB. Поэтому перпендикуляр, опущенный из точки напрямую, проходит через точку M, что и требовалось.
7.42.
Положим A
1
= A, B
1
= B и C
1
= C. Из очевидного равенства AB
2
+ CA
2
+
+ BC
2
= BA
2
+ AC
2
+ получаем, что высоты, опущенные из точек A, B и на стороны BC, CA и AB, пересекаются водной точке.
7.43.
Пусть A
1
, и C
1
— точки касания вневписанных окружностей со сторонами BC, CA и AB. Тогда A
1
B = p − c = B
1
A, C
1
A = A
1
C и B
1
C = Поэтому A
1
B
2
+ C
1
A
2
+ B
1
C
2
= B
1
A
2
+ A
1
C
2
+ Достаточно воспользоваться результатом задачи
7.41
7.45.
а) Эта задача является очевидным следствием задачи
7.41
б) Пусть при повороте на относительно некоторой точки треугольник переходит в A
2
B
2
C
2
. Перпендикуляры к сторонам треугольника параллельны соответствующим сторонам треугольника поэтому перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника ABC на стороны треугольника A
2
B
2
C
2
, пересекаются водной точке. Следовательно,
в одной точке пересекаются перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на стороны треугольника ABC. Остаётся заметить, что при повороте на 90
◦
, переводящем треугольник в A
1
B
1
C
1
, эти перпендикуляры переходят в прямые, проходящие через вершины треугольника параллельно соответствующим сторонам треугольника Нужно выяснить, в каком случае выполняется равенство AB
2 1
+ BC
2 1
+
+ CA
2 1
= BA
2 1
+ CB
2 1
+ AC
2 1
. Вычитая из обеих частей этого равенства величину, переходим к соотношению A
2
B
2 1
+ B
2
C
2 1
+ C
2
A
2 1
= B
2
A
2 1
+
+C
2
B
2 1
+A
2
C
2 1
, те Глава 7. Геометрические места точек где a
i
, и c
i
— координаты точек A
i
, и на прямой l. После сокращения получаем a
2
b
1
+ b
2
c
1
+ c
2
a
1
= a
1
b
2
+ b
1
c
2
+ c
1
a
2
, а значит, (b
2
− a
2
)(c
1
− b
1
) =
= (b
1
− a
1
)(c
2
− b
2
), те Можно считать, что длина стороны данного правильного треугольника равна 2. Пусть PA = 2a, PB = 2b и PC = 2c; A
1
, и C
1
— проекции центров вписанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB на прямые BC,
CA и AB. Согласно задаче 1
+ BC
2 1
+ CA
2 1
= (1 + a − c)
2
+ (1 + b − a)
2
+
+ (1 + c − b)
2
= 3 + (a − c)
2
+ (b − a)
2
+ (c − b)
2
= BA
2 1
+ CB
2 1
+ AC
2 Отрезки, на которые биссектрисы делят стороны треугольника, легко вычисляются. В результате получаем, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис, пересекаются, тот. е =
a
2
(c − b)
b + c
+
b
2
(a − c)
a + c
+
c
2
(b − a)
a + b
= −
(b − a)(a − c)(c − b)(a + b + c)
2
(a + b)(a + c)(b + Пусть (a
i
, b
i
) — координаты точки A
i
, (x, y) — координаты точки. Тогда уравнение, которому удовлетворяет точка X, перепишется в виде. Если коэффициент при x
2
+ отличен от нуля, то это уравнение задаёт окружность или пустое множество, а если он равен нулю,
то уравнение задаёт прямую, плоскость или пустое множество.
З а меча ни е. Если в случае а) точки A
1
, . . . , лежат на одной прямой то эту прямую можно выбрать в качестве оси Ox. Тогда b
i
= 0, а значит,
коэффициент при y равен нулю, те. центр окружности лежит на прямой Пусть прямая l высекает на данных окружностях дуги и величиной и 2
a
2
; и O
2
— центры окружностей, и R
2
— их радиусы. Пусть K — точка пересечения касательных в точках и A
2
. По теореме синусов KA
1
: KA
2
= sin a
2
: sin a
1
, те. Атак как KO
2 1
= KA
2 1
+ R
2 и KO
2 2
= KA
2 2
+ R
2 2
, то (sin
2
a
1
)KO
2 1
− (sin
2
a
2
)KO
2 2
=
= (R
1
sin a
1
)
2
− (R
2
sin a
2
)
2
= q. Аналогично доказывается, что и остальные точки пересечения касательных принадлежат геометрическому месту таких точек X, что (sin
2
a
1
)XO
2 1
− (sin
2
a
2
)XO
2 2
= q. Это ГМТ — окружность, центр которой лежит на прямой см. замечание к задаче
7.49
).
7.51.
Пусть AM : BM : CM = p : q : r. Все точки X, удовлетворяющие соотношению, лежат на одной прямой
(см. задачу, а точки M, N и O удовлетворяют этому соотношению

ГЛАВА 8
ПОСТРОЕНИЯ
Основные сведения. Задачи на построение решаются по определённой стандартной схеме.
Сначала проводим анализ, те. предполагаем, что искомая фигура построена,
и, исследуя её свойства, находим, как её можно задать с помощью исходных данных. На основании этих рассуждений описываем последовательность построений. Затем нужно доказать, что указанная последовательность построений приводит к требуемому результату, а также выяснить, в каких случаях сколько имеется решений.
При написании решений я несколько отклонился от этой схемы. Дело в том, что в подавляющем большинстве случаев после анализа доказательство уже совершенно очевидно. В подобных случаях доказательство не приводится,
но следует помнить, что его нужно провести самостоятельно. Если же доказательство не совсем очевидно, то указывается, как преодолеть возникающие трудности. Исследование числа решений задач на построение не приводится. Некоторые задачи на построение, решения которых используют геометрические преобразования, распределены по соответствующим главам. Если A и B — фиксированные точки, то ГМТ X, для которых AX : BX =
= k 6= 1, является окружностью (см. задачу. Это ГМТ иногда используется при решении задач на построение.
Вводные задачи
1.
Постройте треугольник ABC по стороне a, высоте и углу Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
3.
Постройте окружность сданным центром, касающуюся данной окружности.
4.
Постройте прямую, проходящую через данную точку и касающуюся данной окружности.
5.
Даны отрезки, длины которых равны a, b и c. Постройте отрезок длиной a) ab/c; б 1. Метод геометрических мест точек
8.1.
Постройте треугольник ABC пои радиусу описанной окружности Постройте точку M внутри данного треугольника так, что S
BCM
: S
ACM
= 1 : 2 : 3.

Глава 8. Построения
8.3.
Проведите через данную точку P, лежащую внутри данной окружности, хорду так, чтобы разность длин отрезков, на которые делит хорду, имела данную величину Даны прямая и окружность. Постройте окружность данного радиуса r, касающуюся их.
8.5.
Даны точка A и окружность S. Проведите через точку A прямую так, чтобы хорда, высекаемая окружностью S на этой прямой,
имела данную длину Дан четырёхугольник ABCD. Впишите в него параллелограмм с заданными направлениями сторон 2. Вписанный угол
8.7.
Постройте треугольник по a, медиане и углу Даны окружность и две точки A и B внутри е. Впишите в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходили через данные точки.
8.9.
Продолжения сторон AB и CD прямоугольника ABCD пересекают некоторую прямую в точках M и N, а продолжения сторон и BC пересекают туже прямую в точках P и Q. Постройте прямоугольник, если даны точки M, N, P, Q и длина a стороны Постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте,
проведённым из одной вершины.
8.11*.
Постройте треугольник ABC по стороне a, углу A и радиусу вписанной окружности r.