Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 22 из 70

§ 3. Подобные треугольники и гомотетия
8.12.
Постройте треугольник по двум углами периметру Постройте треугольник ABC пои Постройте треугольник ABC пои Впишите в данный остроугольный треугольник ABC квадрат так, чтобы вершины K и N лежали на сторонах AB и а вершины L и M — на стороне Постройте треугольник ABC пои См. также задачи 4. Построение треугольников по различным элементам
В задачах этого параграфа требуется построить треугольник по указанным в условии элементами и h
a
8.19.
h
b
, и m
a

Условия задачи, и m
b
8.22.
h
a
, и h
b
8.23.
a, b и m
c
8.24*.
h
a
, и ∠A.
8.25*.
a, b и l
c
8.26*.
∠A, и См. также задачи 5. Построение треугольников по различным точкам
8.27.
Постройте треугольник ABC, если дана прямая l, на которой лежит сторона AB, и точки A
1
, B
1
— основания высот, опущенных на стороны BC и Постройте равнобедренный треугольник, если заданы основания его биссектриса) Постройте треугольник ABC, зная три точки A
0
, B
0
, в которых биссектрисы его углов пересекают описанную окружность
(оба треугольника остроугольные).
б) Постройте треугольник ABC, зная три точки A
0
, B
0
, C
0
, в которых высоты треугольника пересекают описанную окружность (оба треугольника остроугольные).
8.30.
Постройте треугольник ABC, зная три точки A
0
, B
0
, C
0
, симметричные центру O описанной окружности этого треугольника относительно сторон BC, CA, Постройте треугольник ABC, зная три точки A
0
, B
0
, C
0
, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон оба треугольника остроугольные).
8.32.
Постройте треугольник ABC, зная три точки P, Q, R, в которых высота, биссектриса и медиана, проведённые из вершины пересекают описанную окружность.
8.33.
Постройте треугольник ABC, зная положение трёх точек A
1
,
B
1
, C
1
, являющихся центрами вневписанных окружностей треугольника Постройте треугольник ABC по центру описанной окружности, точке пересечения медиан M и основанию H высоты Постройте треугольник ABC по центрам вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей 6. Треугольник
8.36.
Постройте точки X и Y на сторонах AB и BC треугольника так, что AX = BY и XY k Постройте треугольник по сторонами, если известно, что угол против одной из них в три раза больше угла против другой

Глава 8. Построения
8.38.
Впишите в данный треугольник ABC прямоугольник вершины R и Q лежат на сторонах AB и BC, P и S — на стороне так, чтобы его диагональ имела данную длину.
8.39.
Проведите через данную точку M прямую так, чтобы она отсекала отданного угла с вершиной A треугольник ABC данного периметра Постройте треугольник ABC по медиане и биссектрисе если ∠C = Дан треугольник ABC, причём AB < BC. Постройте на стороне точку D так, чтобы периметр треугольника ABD был равен длине стороны Постройте треугольник ABC по радиусу описанной окружности и биссектрисе угла A, если известно, что разность углов B и равна На стороне AB треугольника ABC дана точка P. Проведите через точку P прямую (отличную от AB), пересекающую лучи CA ив таких точках M и N, что AM = Постройте треугольник ABC по радиусу вписанной окружности и (ненулевым) длинам отрезков AO и AH, где O — центр вписанной окружности, H — ортоцентр.
См. также задачи
15.14
б),
17.12
—
17.15
,
18.11
,
18.33
§ 7. Четырёхугольники
8.45.
Постройте квадрат, три вершины которого лежат натр х данных параллельных прямых.
8.46.
Постройте ромб, две стороны которого лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные точки.
8.47.
Постройте четырёхугольник ABCD по четырём сторонами углу между AB и Через вершину A выпуклого четырёхугольника ABCD проведите прямую, делящую его на две равновеликие части.
8.49.
Даны середины трёх равных сторон выпуклого четырёхуголь- ника. Постройте этот четырёхугольник.
8.50.
Даны три вершины вписанного и описанного четырёхугольни- ка. Постройте его четвёртую вершину.
8.51*.
Даны вершины A и C равнобедренной описанной трапеции известны также направления её оснований.
Постройте вершины B и На доске была начерчена трапеция ABCD (AD k BC) и проведены перпендикуляр OK из точки O пересечения диагоналей на основание AD и средняя линия EF. Затем трапецию стёрли. Как восстановить чертёж по сохранившимся отрезками Условия задач
201
8.53*.
Постройте выпуклый четырёхугольник, если даны длины всех его сторон и одной средней линии
1
8.54*.
Постройте вписанный четырёхугольник по четырём сторонам
(Брахмагупта).
См. также задачи 8. Окружности
8.55.
Внутри угла даны две точки A и B. Постройте окружность,
проходящую через эти точки и высекающую на сторонах угла равные отрезки.
8.56.
Даны окружность S, точка A на ней и прямая l. Постройте окружность, касающуюся данной окружности в точке A и данной прямой.
8.57.
а) Даны две точки A, B и прямая l. Постройте окружность,
проходящую через точки A, B и касающуюся прямой б) Даны две точки A и B и окружность S. Постройте окружность,
проходящую через точки A и B и касающуюся окружности Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы построенные окружности были взаимно ортогональны.
8.59*.
Постройте окружность, равноудалённую от четырёх данных точек.
8.60*.
Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой Даны три точки A, B и C. Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.
8.62*.
Постройте окружность, касательные к которой, проведённые из трёх данных точек A, B и C, имели бы длины a, b и c соответ- ственно.
См. также задачи
15.10
,
15.11
,
15.13
,
15.14
а),
16.13
,
16.14
,
16.18
—
16.20
,
18.27
§ 9. Окружность Аполлония
8.63.
Постройте треугольник пои Постройте треугольник ABC, если известны длина биссектрисы и длины отрезков AD и BD, на которые она делит сторону На прямой даны четыре точки A, B, C, D в указанном порядке. Постройте точку M, из которой отрезки AB, BC, CD видны под равными углами.
1
Средней линией четырёхугольника называют отрезок, соединяющий середины противоположных сторон

Глава 8. Построения
8.66*.
На плоскости даны два отрезка AB и A
0
B
0
. Постройте точку так, чтобы треугольники AOB и были подобны (одинаковые буквы обозначают соответственные вершины подобных треуголь- ников).
8.67*.
Точки A и B лежат на диаметре данной окружности. Проведите через них две равные хорды с общим концом 10. Разные задачи
8.68.
а) На параллельных прямых a и b даны точки A и B. Проведите через данную точку C прямую l, пересекающую прямые a ив таких точках и B
1
, чтоб) Проведите через точку C прямую, равноудалённую отданных точек A и Постройте правильный десятиугольник.
8.70*.
Постройте прямоугольник сданным отношением сторон,
зная по одной точке на каждой из его сторон.
8.71*.
Даны диаметр AB окружности и точка C на нм. Постройте на этой окружности точки X и Y, симметричные относительно прямой, так, чтобы прямые AX и YC были перпендикулярными.
См. также задачи 11. Необычные построения
8.72.
С помощью циркуля и линейки разделите угол на 19 равных частей.
8.73.
Докажите, что угол величиной n
◦
, где n — целое число, не делящееся на 3, можно разделить на n равных частей с помощью циркуля и линейки.
8.74*.
На клочке бумаги нарисованы две прямые, образующие угол,
вершина которого лежит вне этого клочка. С помощью циркуля или- нейки проведите ту часть биссектрисы угла, которая лежит на клочке бумаги.
8.75*.
С помощью двусторонней линейки постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.
8.76*.
Даны точки A и B, расстояние между которыми больше 1 м.
С помощью одной лишь линейки, длина которой равна 10 см, постройте отрезок AB. (Линейкой можно только проводить прямые линии.)
8.77*.
На окружности радиуса a дана точка. С помощью монеты радиуса a постройте точку, диаметрально противоположную данной 12. Построения одной линейкой
В задачах этого параграфа требуется выполнить указанные построения с помощью одной линейки без циркуля. С помощью одной линейки почти

Условия задач
203
никаких построений выполнить нельзя. Например, нельзя даже построить середину отрезка (задача. Но если на плоскости проведены какие-либо вспомогательные линии, то можно выполнить многие построения. В случае,
когда на плоскости нарисована вспомогательная окружность и отмечен её
центр, с помощью линейки можно выполнить все построения, которые можно выполнить с помощью линейки и циркуля. При этом, правда, считается, что окружность построена, если построен её центр и одна её точка.
З а меча ни е. Если на плоскости нарисована окружность, ноне отмечен её центр, то с помощью одной линейки построить центр нельзя (задача
30.58
).
8.78*.
Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите пополам отрезок, лежащий на одной изданных прямых.
8.79*.
Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок.
8.80*.
Даны две параллельные прямые. Разделите отрезок, лежащий на одной из них, на n равных частей.
8.81*.
Даны две параллельные прямые и точка P. Проведите через точку P прямую, параллельную данным прямым.
8.82*.
Даны окружность, её диаметр AB и точка P. Проведите через точку P перпендикуляр к прямой Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь окружность и её центр O, то с помощью одной линейки можно:
а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой,
и опустить на данную прямую перпендикуляр;
б) на данной прямой отданной точки отложить отрезок, равный данному отрезку;
в) построить отрезок длиной ab/c, где a, b, c — длины данных отрезков г) построить точки пересечения данной прямой l с окружностью,
центр которой — данная точка A, а радиус равен длине данного отрезка д) построить точки пересечения двух окружностей, центры которых данные точки, а радиусы — данные отрезки.
См. также задачи 13. Построения с помощью двусторонней линейки
В задачах этого параграфа требуется выполнить построения с помощью линейки с двумя параллельными краями (без циркуля. С помощью двусторонней линейки можно выполнить все построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки.
Пусть a — ширина двусторонней линейки. С помощью этой линейки можно выполнять следующие элементарные построения) проводить прямую через две данные точки) проводить прямую, параллельную данной и удалённую от неё на расстояние Глава 8. Построения) через две данные точки A и B, где AB > a, проводить пару параллельных прямых, расстояние между которыми равно a таких пар прямых две).
8.84.
а) Постройте биссектрису данного угла б) Дан острый угол AOB. Постройте угол BOC, биссектрисой которого является луч OA.
8.85.
Восставьте перпендикуляр к данной прямой l в данной точке а) Через данную точку проведите прямую, параллельную данной прямой.
б) Постройте середину данного отрезка.
8.87.
Даны угол AOB, прямая l и точка P на ней. Проведите через точку P прямые, образующие с прямой l угол, равный углу Даны отрезок AB, непараллельная ему прямая l и точка на ней. Постройте точки пересечения прямой l с окружностью радиуса с центром Даны прямая l и отрезок OA, параллельный l. Постройте точки пересечения прямой l с окружностью радиуса OA с центром Даны отрезки и O
2
A
2
. Постройте радикальную ось окружностей радиуса и с центрами и O
2
соответственно.
См. также задачу 14. Построения с помощью прямого угла
В задачах этого параграфа требуется выполнить указанные построения с помощью прямого угла. Прямой угол позволяет выполнить следующие элементарные построения:
а) расположить прямой угол так, чтобы одна его сторона лежала на данной прямой, а другая сторона проходила через данную точку;
б) расположить прямой угол так, чтобы его вершина лежала на данной прямой, а стороны проходили через две данные точки (если, конечно, для данной прямой и точек вообще существует такое положение прямого угла).
Расположив прямой угол одним из указанных способов, можно провести лучи, соответствующие его сторонам.
8.91.
Проведите через данную точку A прямую, параллельную данной прямой Дан отрезок AB. Постройте:
а) середину отрезка б) отрезок AC, серединой которого является точка Дан угол AOB. Постройте:
а) угол, вдвое больший угла б) угол, вдвое меньший угла Даны угол AOB и прямая l. Проведите прямую так, что угол между прямыми l и равен углу Даны отрезок AB, прямая l и точка O на ней. Постройте на прямой l такую точку X, что OX = AB.

Решения задач
205
8.96*.
Дан отрезок OA, параллельный прямой l. Постройте точки,
в которых окружность радиуса OA с центром O пересекает прямую Задачи для самостоятельного решения
8.97.
Постройте прямую, касающуюся двух данных окружностей
(разберите всевозможные случаи).
8.98.
Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые высота делит основание, и медиана, проведённая к боковой стороне.
8.99.
Постройте параллелограмм ABCD по вершине A и серединам сторон BC и Постройте трапецию, боковые стороны которой лежат на данных прямых, диагонали пересекаются в данной точке, а одно из оснований имеет данную длину.
8.101.
Даны две окружности. Проведите прямую так, чтобы она касалась одной окружности, а вторая окружность высекала на ней хорду данной длины.
8.102.
Проведите через вершину C треугольника ABC прямую l так,
чтобы площади треугольников AA
1
C и BB
1
C, где и B
1
— проекции точек A и B напрямую, были равны.
8.103.
Постройте треугольник ABC по сторонами, зная,
что биссектриса AD, медиана BM и высота CH пересекаются водной точке.
8.104.
Даны точки A
1
, и C
1
, делящие стороны BC, CA и треугольника ABC в отношении 1 : 2. Восстановите по ним треугольник ABC.
Решения
8.1.
Построим отрезок BC длины a. Центр O описанной окружности треугольника является точкой пересечения двух окружностей радиуса с центрами в точках B и C. Выберем одну из этих точек пересечения и построим описанную окружность S треугольника ABC. Точка A является точкой пересечения окружности S и прямой, параллельной прямой BC и отстоящей от неё на расстояние таких прямых две).
8.2.
Построим точки и на сторонах BC и AC соответственно так,
что BA
1
: A
1
C = 1 : 3 и AB
1
: B
1
C = 1 : 2. Пусть точка X лежит внутри треугольника. Ясно, что S
ABX
: S
BCX
= 1 : 2 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке BB
1
, и S
ABX
: S
ACX
= 1 : 3 тогда и только тогда,
когда точка X лежит на отрезке AA
1
. Поэтому искомая точка M является точкой пересечения отрезков и Пусть O — центр данной окружности, AB — хорда, проходящая через точку P, M — середина AB. Тогда |AP − BP| = 2PM. Так как ∠PMO = точка M лежит на окружности S с диаметром OP. Построим хорду окружности S так, что PM = a/2 (таких хорд две. Искомая хорда задаётся прямой PM.

Глава 8. Построения
8.4.
Пусть R — радиус данной окружности, O — её центр. Центр искомой окружности лежит на окружности S радиуса |R ± r| с центром O. С другой стороны, её центр лежит на прямой l, параллельной данной прямой иуда- лённой от неё на расстояние r таких прямых две. Любая точка пересечения
Рис. окружности S и прямой l может служить центром искомой окружности.
8.5.
Пусть R — радиус окружности S, O — её центр.
Если окружность S высекает на прямой, проходящей через точку A, хорду PQ и M — середина то OQ
2
− MQ
2
= R
2
− Поэтому искомая прямая касается окружности радиуса p
R
2
− с центром O.
8.6.
Возьмём на прямых AB и CD точки E и F
так,
чтобы прямые
BF
и
CE
имели заданные направления. Рассмотрим всевозможные параллелограммы с заданными направлениями сторон,
вершины P и R которых лежат на лучах BA и а вершина Q — на стороне BC рис. 8.1). Докажем, что геометрическим местом вершин S является отрезок EF. В самом деле, те. точка S лежит на отрезке EF. Обратно, если точка лежит на отрезке EF, то прове- дм S
0
P
0
k BF, P
0
Q
0
k EC и Q
0
R
0
k BF (P
0
, Q
0
, R
0
— точки на прямых AB, BC, Тогда, те и P
0
Q
0
R
0
S
0
— параллелограмм.
Из этого вытекает следующее построение. Строим сначала точки E и Вершина S является точкой пересечения отрезков AD и EF. Дальнейшее построение очевидно.