Законы Кеплера. В.В. Волоцуев, И.С. Ткаченко Введение в проектирование космическ. В. В. Волоцуев, И. С. Ткаченко
 Скачать 6.51 Mb.
|
|
1.2.2 Второй закон Кеплера Радиус-вектор спутника в равные промежутки времени i t описывает равновеликие площади. Этот закон указывает на неравно- мерность движения спутника по эллиптической орбите. Схема, ил- люстрирующая второй закона Кеплера, приведена на рисунке 1.3 [1]. Рис. 1.3. Схема для иллюстрации второго закона Кеплера На этом рисунке площади 1 S , 2 S и 3 S , описываемые ради- усом-вектором спутника за равные промежутки времени i t , равны. Следовательно, неравны длины путей на этих участках. Закон Кеплера был получен из так называемого интеграла площадей или закона сохранения момента импульса: const V r m , (1.10) 12 где m – масса спутника, r – вектор текущей скорости спутника. В скалярной форме выражение можно записать (для постоян- ной массы): const V r cos (1.11) В точках «апо» и «пери» следствие из второго закона Кеплера можно привести к виду: V r V r , или r r V V (1.12) Из выражения 1.12 видно, что в «апо»-точке минимальная ско- рость движения по орбите ( min V ), а в «пери»-точке максимальная скорость движения по орбите ( max V ). Рассмотрим пример вычисления скорости в апогее спутника Земли. --------------------- Пример 1 Пусть 6571 r км (высота перигея орбиты равна 200 км, ра- диус Земли 6371 км), 42371 r км (высота апогея орбиты – 36000 км), скорость спутника в перигее орбиты с км V / 25 , 10 Определить скорость движения спутника в апогее орбиты. Решение Из соотношений (1.12) можно получить 54 , 1 42371 6571 / 25 , 10 км км с км r r V V км/с. --------------------- 1.2.3 Третий закон Кеплера Квадраты периодов обращения (длительности полного оборо- та) спутников вокруг притягивающего центра прямо пропорцио- нальны кубам больших полуосей их орбит (см. рис. 1.4) [1]. 3 2 3 1 2 2 2 1 a a T T (1.13) где 1 T , 2 T – периоды обращения спутников вокруг одного притяги- вающего центра. 13 Рис. 1.4. К иллюстрации третьего закона Кеплера Абсолютное время периода обращения спутника, движущегося вокруг притягивающего центра можно рассчитать по следующей за- висимости (приводится без вывода): 2 3 2 a T , (1.14) где – гравитационная постоянная притягивающего центра. 1.3 Модель движения искусственного спутника Земли в плоскости орбиты Для дальнейшего изложения введем понятие: искусственный спутник Земли (ИСЗ) – это спутник Земли, созданный в результате человеческой деятельности. 1.3.1 Интеграл энергии и первая космическая скорость Расчет линейной скорости движения ИСЗ на круговых и эллипти- ческих орбитах, основывается на законе сохранения энергии, который для центрального поля тяготения выглядит следующим образом: a r V З 1 2 2 , (1.15) 14 где З – гравитационная постоянная притягивающего центра; r – радиус-вектор ИСЗ на орбите; a – большая полуось орбиты. Для расчета скорости на околоземных орбитах часто исполь- зуют расчетную формулу, в которой присутствует первая космиче- ская скорость. Преобразуем формулу (1.15) к следующему виду a r R V a r R R a r R R V З I З З З З З З 1 2 1 2 1 2 , (1.16) где З З I R V – первая космическая скорость (скорость движения по круговой орбите спутника Земли при З R r ). Нетрудно рассчитать, что первая космическая скорость для Земли составляет приблизительно 7910 м/с. Если орбита имеет форму окружности ( 0 e , r r r a ), то выражение (1.16) можно представить в форме кр З I кр кр З I З I r R V r r R V a r R V V 1 2 1 2 , (1.17) где кр r – радиус круговой орбиты. --------------------- Пример 2 Определить скорость ИСЗ на круговой опорной орбите высо- той 200 км. Решение По формуле (1.17) имеем 790 , 7 200 6371 6371 91 , 7 км км км r R V V кр З I км/с. --------------------- 1.3.2 Преобразование орбиты искусственного спутника Земли из круговой в эллиптическую Рассмотрим переход ИСЗ с круговой на эллиптическую орбиту посредством увеличения большой полуоси. Введем понятие: маневр 15 ИСЗ – это набор действий над спутником, после которых меняется траектория (орбита) его движения. На рисунке 1.5 приведена схема, иллюстрирующая маневр пе- рехода ИСЗ с круговой орбиты на эллиптическую путем сообщения ему дополнительного приращения скорости 1 V Рис. 1.5. Схема маневра перехода ИСЗ с круговой на эллиптическую На рисунке 1.5 показан случай когда ИСЗ, движущийся по кру- говой орбите со скоростью кр V , в точке «1» получает «мгновенное» приращение скорости 1 V . В результате скорость движения ИСЗ в точке «1» становится равной V , а траектория движения превращает- ся в эллиптическую орбиту. На практике важно уметь рассчитывать приращение скорости, требуемое для перехода ИСЗ с одной орбиты на другую, так как оно определяет запасы топлива для реактивного двигателя на проведение маневра. Рассмотрим способ расчета приращения скорости 1 V на примере 3. --------------------- Пример 3 Определить приращение скорости 1 V , необходимой для пере- вода ИСЗ с опорной орбиты высотой 200 кр H км на эллиптическую орбиту высотой апогея 36000 H км (см. рис. 1.6). Решение 1) Радиус-вектор круговой орбиты ИСЗ в точке «1» равен: кр З кр H R r , 6571 200 6371 км км r кр км. 16 2) Радиус-вектор перигея будущей эллиптической орбиты ИСЗ в точке «1» равен: 6571 кр r r км. 3) Радиус-вектор апогея будущей эллиптической орбиты ИСЗ и большая полуось орбиты равны: 42731 36000 6371 км км H R r З км. 24471 2 42731 6571 2 r r a км. 4) Для определения скоростей движения ИСЗ по круговой и эллиптической орбитам в точке «1» воспользуемся выражением 1.15. 79 , 7 6571 1 / 10 986 , 3 1 2 2 3 5 км с км r r V кр кр З кр км/с. с км км км с км а r V З / 25 , 10 24471 1 6571 2 / 10 986 , 3 1 2 2 3 5 5) Требуемое приращение скорости рассчитывается как раз- ность скорости ИСЗ в перигее эллиптической орбиты и скорости ИСЗ на круговой опорной орбите, то есть 46 , 2 79 , 7 25 , 10 1 кр V V V км/с. --------------------- 1.3.3 Преобразование орбиты искусственного спутника Земли из эллиптической в высокую круговую Рассмотрим переход ИСЗ с эллиптической орбиты на круговую орбиту с радиусом кр r , равным радиусу в апогее r На рисунке 1.6 приведена схема, иллюстрирующая маневр пе- рехода ИСЗ с эллиптической орбиты на высокую круговую путем сообщения ему дополнительного приращения скорости 2 V 17 Рис. 1.6. Схема маневра перехода ИСЗ с эллиптической на круговую На рисунке 1.6 показан случай когда ИСЗ, движущийся по эл- липтической орбите со скоростью t V элл , в точке апогея «2» получает «мгновенное» приращение скорости 2 V . В результате скорость движения ИСЗ в точке «2» становится равной кр V , а траектория дви- жения превращается в высокую круговую орбиту. Рассмотрим способ расчета приращения скорости 2 V на при- мере 4. --------------------- Пример 4 Определить приращение скорости 2 V , которая необходима для перевода ИСЗ с эллиптической орбиты на высокую круговую орбиту. Параметры орбит принять такими же, как и в примере 3. Решение 1) Рассчитаем сначала скорость движения ИСЗ по эллиптиче- ской орбите в точке апогея «2». При этом воспользуемся данными, полученными в примере 3. 18 / 589 , 1 24471 1 42731 2 / 10 986 , 3 1 2 2 3 5 с км км км с км а r V З 2) Рассчитаем скорость движения ИСЗ на высокой круговой орбите с высотой, соответствующей радиусу апогея эллиптической орбиты. 067 , 3 42731 1 / 10 986 , 3 1 2 2 3 5 км с км r r V З кр км/с. 3) Требуемое приращение скорости рассчитывается как раз- ность скорости ИСЗ на круговой орбите и скорости ИСЗ в апогее эл- липтической орбиты, то есть 48 , 1 / 59 , 1 / 07 , 3 2 с км с км V V V кр км/с. --------------------- 1.3.4 Пример преобразования орбиты искусственного спутника Земли в одной плоскости Рассмотрим один из способов перелета ИСЗ с низкой эллипти- ческой орбиты на высокую эллиптическую орбиту. Схема, иллю- стрирующая данный маневр приведена на рисунке 1.7. Рис. 1.7. Схема маневра перехода ИСЗ с эллиптической на круговую 19 Для перевода ИСЗ со стартовой эллиптической орбиты (см. рис. 1.7) на конечную эллиптическую орбиту понадобятся два при- ращения скорости: - первое приращение скорости 1 V в точке «1» преобразует стартовую орбиту (Эллипс 1) в переходную эллиптическую орбиту (Эллипс 2); - второе приращение скорости 2 V в точке «2» преобразует пе- реходную орбиту (Эллипс 2) в конечную эллиптическую орбиту (Эл- липс 3). Соответственно, приращения скоростей можно вычислить по выражениям: 1 2 1 V V V , (1.18) 2 3 2 V V V , (1.19) 2 1 V V V (1.20) Рассмотрим способ расчета приращения скорости V на примере 5. --------------------- Пример 5 Определить приращение скорости V , которая необходима для перевода ИСЗ с эллиптической орбиты с параметрами 200 1 H км, 250 1 H км на эллиптическую орбиту с параметрами 1000 3 H км, 1500 3 H км. Решение 1) Рассчитаем радиусы перигеев и апогеев трех эллиптических орбит: км км км R H r З 6571 6371 200 1 1 , км км км R H r З 6621 6371 250 1 1 , км r r 6571 1 2 , км км км R H r З 7871 6371 1500 2 2 , км км км R H r З 7371 6371 1000 3 3 , км r r 7871 2 3 20 2) Рассчитаем большие полуоси трёх эллиптических орбит: км км км r r a 6596 2 6621 6571 2 1 1 1 , км км км r r a 7221 2 7871 6571 2 2 2 2 , км км км r r a 7621 2 7871 7371 2 3 3 3 3) Рассчитаем приращение скорости 1 V для перехода со стар- товой эллиптической орбиты на переходную эллиптическую орбиту: с км км км с км а r V З / 804 , 7 6596 1 6571 2 / 10 986 , 3 1 2 2 3 5 1 1 1 , с км км км с км а r V З / 132 , 8 7221 1 6571 2 / 10 986 , 3 1 2 2 3 5 2 2 2 , с км км км V V V / 328 , 0 804 , 7 132 , 8 1 2 1 4) Рассчитаем приращение скорости 2 V для перехода с пере- ходной эллиптической орбиты на конечную орбиту: с км км км с км а r V З / 788 , 6 7221 1 7871 2 / 10 986 , 3 1 2 2 3 5 2 2 2 , с км км км с км а r V З / 999 , 6 7621 1 7871 2 / 10 986 , 3 1 2 2 3 5 3 3 3 , с км км км V V V / 211 , 0 788 , 6 999 , 6 2 3 2 5) Рассчитаем суммарное приращение скорости: с км с км с км V V V / 539 , 0 / 211 , 0 / 328 , 0 2 1 --------------------- 1.4 Модель движения искусственного спутника Земли в трёхмерном космическом пространстве 1.4.1 Параметры орбиты искусственного спутника Земли в трёхмерном космическом пространстве В предыдущем пункте были рассмотрены математические мо- дели, описывающие движение спутника в одной плоскости – плоско- 21 сти орбиты. В трёхмерном пространстве для вычисления координат спутника также потребуются дополнительные координаты, описы- вающие положение самой плоскости орбиты. На рисунке 1.8 приведена схема, отображающая координаты, необходимые для определения положения ИСЗ относительно геоцен- трической системы координат (начало координат системы в центре Земли). Рис. 1.8. Параметры орбиты ИСЗ в трёхмерном пространстве На рисунке 1.8 приведены следующие обозначения: O – точка центра Земли; Г Г Г Z Y X O – инерциальная декартова геоцентрическая система- координат (начало системы координат в центре Земли); , -точки перигея и апогея орбиты; r , r – радиус-векторы перигея и апогея орбиты; – угол истинной аномалии ИСЗ (угловое положение в плоско- сти орбиты, отсчитывается от точки перигея). i – угол наклонения плоскости орбиты к плоскости экватора Земли; – угол аргумента перигея орбиты (показывает угол, который соединяет центр Земли и точку восходящего узла орбиты); |