ИДЗ-8. Формула Бейеса
Решите задачу на вычисление бейесовской вероятности:
Из партии в пять изделий наудачу взято одно, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий в партии наиболее вероятно? Обоснуйте ответ.
Определить вероятность того, что среди 1000 лампочек нет ни одной неисправной, если из взятых наудачу 100 лампочек все оказались исправными. Предполагается, что число неисправных лампочек из 1000 равновозможно от 0 до 5.
Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.
Трое охотников одновременно выстрелили по кабану, который был в результате убит одной пулей. Определить вероятности того, что кабан убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6.
В урне имеется 10 шаров, причем цвет каждого из них может быть белым или черным, так что все возможные предположения о цветовом составе шаров равновероятны. Извлекаются последовательно 4 шара, причем каждый раз после извлечения шар возвращается в урну. Какова вероятность того, что в урне содержатся только белые шары, если черные шары не извлекались?
В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями: I, II, III. На складе имеются электродвигатели названных заводов, соответственно, в количестве 19, 6 и 11 шт., которые могут безотказно работать в течение гарантийного срока с вероятностями, соответственно, 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет наудачу один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и проработавший безотказно до конца гарантийного срока двигатель был поставлен заводом-изготовителем I, II или III.
Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равны 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
В специализированную больницу поступают в среднем 50 процентов больных с заболеванием К, 30 процентов – с заболеванием L, 20 процентов – с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней LиMэти вероятности, соответственно, равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что он страдал заболеванием К.
Два из четырех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятность отказа первого, второго, третьего и четвертого элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3 и 0,1.
Изделие проверяется на стандартность одним из трех товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому, равна 0,45, ко второму – 0,15, к третьему – 0,4. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, вторым – 0,99, третьим – 0,95. Отобранное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.
Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4; 0,3 и 0,5.
Третья часть одной из трех партий деталей является второсортной, остальные детали первого сорта. Деталь, взятая из одной партии оказалась первосортной. Определить вероятность того, что деталь была взята из партии, имеющей второсортные детали.
Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, а вероятности попадания при следующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05. Какова вероятность того, что первым произвел выстрел первый стрелок, если первое попадание произошло при пятом выстреле?
Имеется десять одинаковых урн, из которых в девяти находятся по два черных и по два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров?
Два станка-автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 70% деталей отличного качества, а второй – 85%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит автозаправочная станция (АЗС), относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что на заправку остановится грузовая машина, равна 0,1; для легкового автомобиля эта вероятность равна 0,2. К АЗС на заправку подъехал автомобиль. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
Звено из четырех самолетов производит учебное бомбометание по цели, сбрасывая по одной бомбе. Вероятность поражения цели первым самолетом p1 = 0,40; вторым и третьим p2 = p3 = 0,35; четвертым p4 = 0,30. Цель была поражена двумя бомбами. Найти вероятность того, что четвертый самолет попал в цель.
Имеются три партии деталей по 25 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях равно, соответственно, 25, 20 и 15. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Не возвращая деталь в партию, вторично из той же партии извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что обе детали были извлечены из третьей партии.
Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями равны, соответственно, 0,5; 0,4; 0,6.
Две радиомонтажницы собрали равное количество одинаковых электронных плат. Вероятность того, что первая монтажница допустит ошибку, равна 0,05. Для второй монтажницы эта вероятность равна 0,1. При проверке плат была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая радиомонтажница.
Три станка-автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго и втрое больше производительности третьего. Первый автомат производит в среднем 70% деталей отличного качества, второй – 85%, а третий – 95%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Каким из автоматов вероятнее всего произведена эта деталь?
Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов равны, соответственно, 0,1; 0,15 и 0,25.
Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками равны, соответственно, 0,8; 0,6 и 0,5.
Два из четырех независимо работающих элементов прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятность отказа первого, второго, третьего и четвертого элементов равны, соответственно, 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4.
Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
В трех ящиках – a, b и c – содержатся, соответственно, две золотые, одна золотая и одна серебряная и две серебряные монеты. Случайным образом выбирается ящик и из него произвольно вынимается монета. Монета оказалась золотой. Какова вероятность, что вторая монета в этом ящике также золотая?
В магазин трикотажных изделий поступили носки, 60% которых получено от одной фабрики, 25% - от другой и 15% - от третьей. Доли продукции отличного качества для фабрик составляют, соответственно, 40%, 75% и 85%. Случайно выбранное изделие оказалось отличного качества. Найти вероятность того, что оно изготовлено на второй или третьей фабрике.
В урне n белых и m черных шаров. Из урны вынули один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, – тоже белый.
В кондитерском цехе выпускаются торты и пирожные, причем пирожных в 4 раза больше. 10% тортов и 35% пирожных изготавливаются с орехами. Наугад выбранное изделие оказалось с орехами. Какова вероятность того, что это торт?
ИДЗ-9. Формулы Муавра – Лапласа. Вероятности редких событий
Решите задачу на вычисление вероятностей случайных событий с применением локальной или интегральной теорем Муавра – Лапласа или распределения Пуассона.
В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместительностью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней. Поезд ходит один раз в сутки.
Датчик вырабатывает случайные числа. Если очередное число делится на 3, его записывают. Сколько нужно получить чисел с помощью датчика, чтобы с вероятностью примерно 0,95 оказались записанными не менее 1000 чисел?
К станции подходит электропоезд из восьми вагонов. В каждом вагоне 72 места для сидения. На станции поезд ожидает 600 пассажиров, из которых каждый с равной вероятностью может сесть в любой вагон. Найти вероятность того, что в произвольно взятом вагоне после посадки останется не менее двух свободных мест.
Партия из 10000 лотерейных билетов содержит 100 выигрышных. Сколько нужно купить билетов, чтобы с вероятностью P, не меньшей 0,95, выиграть хотя бы по одному из них?
Партия изделий не принимается при обнаружении не менее 10 бракованных изделий. Сколько надо проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,6 можно было утверждать, что партия, имеющая 10 процентов брака, не будет принята?
Монета брошена 500 раз. Найти границы, в которых число выпадений орла будет заключено с вероятностью 0,97.
Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?
В цехе 250 рабочих. Каждый из них потребляет электроэнергию в среднем 12 минут в течение часа. Какой должна быть минимальная мощность силовой установки цеха, чтобы вероятность перегрузки в любой момент времени была меньше 0,0001? (Под мощностью силовой установки понимается максимальное число рабочих, которое она может снабжать энергией одновременно).
В каждом из 500 независимых испытаний событие A происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие A произойдет либо менее 150, либо более 250 раз.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,3. Для того, чтобы уничтожить цель достаточно 80 попаданий. Сколько нужно выпустить снарядов, чтобы с вероятностью 0,95 можно было считать цель уничтоженной?
Книга в 500 страниц содержит 800 опечаток. Найти вероятность того, что на странице не менее 3-х опечаток.
Найти приближенно границы, в которых с вероятностью 99% лежит число выпадений пятерки или шестерки при 20000 бросаний игральной кости.
В хлебопекарне выпекают булочки с изюмом. Какое наименьшее количество изюма нужно положить в тесто, из которого будет 800 булочек, чтобы вероятность найти в произвольно взятой булочке по крайней мере две изюминки была равна примерно 0,995?
В каждом из 700 независимых испытаний событие A происходит с постоянной вероятностью 0,35. Какова вероятность того, что событие A произойдет ровно 245 раз? От 240 до 250 раз?
На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. С какой вероятностью можно утверждать, что из 400 соединений, выполненных за час, неправильных соединений будет не более трех?
Вероятность рождения девочки равна 0,49. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется более 50 девочек.
Станок-автомат штампует детали партиями по 100 шт. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,01. Партия бракуется при обнаружении в ней более двух бракованных деталей. Найти вероятность забракования очередной партии деталей.
Вероятность появления некоторого события в каждом из независимых испытаний равна 0,9. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что событие появится не менее 100 раз?
Событие B наступает, если событие A осуществится не менее трех раз. Найти вероятность появления события B в серии из n = 50 испытаний, если вероятность осуществления события A в каждом испытании равна p = 0,03.
Монета брошена N раз (N велико!). Найти вероятность того, что число выпадений «орла» будет заключено в промежутке [½(1 – )N; ½(1 + )N], где 0 < < 1. Провести расчет для = 0,01; N = 10000.
Вероятность появления события в каждом из 1000 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более, чем на 0,02.
Какова вероятность того, что из 600 наугад выбранных человек от 45 до 55 родились в марте?
Французский испытатель XVIII в. Бюффон, исследуя законы вероятности, бросил монету 4040 раз, причем «герб» появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления «герба» отклонится от его вероятности p = 0,5 не более, чем в опыте Бюффона.
Рабочий берет заготовки из двух ящиков, каждый раз выбирая ящик наугад. Найти вероятность того, что когда один из ящиков опустеет, во втором окажется не более 3-х деталей, если вначале в обоих ящиках по 200 деталей.
В магазин завезли партию из 1000 банок сока. Вероятность того, что того, что при перевозке банка будет разбита, равна 0,002. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых банок.
Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе не менее 280 деталей отличного качества.
В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий: В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий; С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20.
Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?
Партия из 10000 лотерейных билетов содержит 100 выигрышных. Сколько нужно купить билетов, что бы с вероятностью, не меньшей 0,95, выиграть хотя бы по одному из них.
Из 100 человек, зашедших в магазин, делают покупки в среднем 40 человек. Определить вероятность того, что из 5 человек, находящихся в магазине в некоторый момент времени: а) сделает покупку хотя бы один человек, б) сделают покупки ровно два человека?
ИДЗ-10. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (д.с.в.). Числовые характеристики распределения д.с.в.
Составить закон распределения вероятностей д.с.в. X. Построить многоугольник распределения. Найти числовые характеристики распределения (моду распределения, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение (X)).
1. Монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет второй раз, при этом делается не более 4 проб. Д.с.в. X – число подбрасываний.
2. Две монеты подброшены n = 4 раза. Д.с.в. X – число выпадений двух «гербов» в n бросаниях.
3. Среди 5 ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числа опробованных ключей. Д.с.в. X – число опробованных ключей.
4. Игральный кубик брошен n = 6 раз. Д.с.в. X – количество выпадений очков, кратных двум или трем.
5. Два игральных кубика брошены n = 6 раз. Д.с.в. X – число выпадений пар, содержащих ровно одну «четверку».
|
Скачать 0.67 Mb.