ИДЗ Математика часть 2 ИКРиМ 2 семестр v2. В. Ю. Бодряков Индивидуальные домашние задания (идз) по дисциплине Математика Часть 2 Екатеринбург 2014 Введение Настоящая методическая разработка

Название	В. Ю. Бодряков Индивидуальные домашние задания (идз) по дисциплине Математика Часть 2 Екатеринбург 2014 Введение Настоящая методическая разработка
Анкор	ИДЗ Математика часть 2 ИКРиМ 2 семестр v2.doc
Дата	10.03.2018
Размер	0.67 Mb.
Формат файла
Имя файла	ИДЗ Математика часть 2 ИКРиМ 2 семестр v2.doc
Тип	Методическая разработка #16480
страница	3 из 5

1 2 3 4 5

Варианты индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)

ИДЗ-5. Геометрическая вероятность

Решите задачу на вычисление геометрической вероятности:

1. В круге радиуса R наудачу проведена хорда. Найти вероятность того, что длина хорды не более R.

2. На отрезке АВ длиной l наудачу выбраны две точки L и M. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к M, чем к точке А.

3. На окружности радиуса R наудачу поставлены точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС остроугольный?

4. Два парохода должны подойти к одному причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки одного – 1 час, а другого – 2 часа.

5. На плоскость, уложенную равносторонними треугольными плитками со стороной 12 см уронили монету радиусом 1 см. Какова вероятность того, что монета не пересечет ни одну из стыковых линий?

6. Два лица могут прийти к месту встречи равновозможно в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t.

7. Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно kr (k = 1, 2, 3, 4, 5). Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами 3r и 5r заштрихованы. В круге радиуса 5r наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки в заштрихованную область.

8. Найти вероятность, что сумма наудачу взятых положительных правильных дробей не больше 0,95, а произведение не меньше 3/20.

9. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вписан в круг. Какова вероятность того, что случайная точка, брошенная в круг, попадет и на треугольник?

10. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение xy будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.

11. Шкала секундомера имеет цену деления 2 сек. Какова вероятность сделать отсчет с ошибкой не более 0,5 сек., если отсчет округляется до целого деления в ближайшую сторону?

12. На отрезке ОА длины l числовой оси наудачу поставлены две точки: В и С. Найти вероятность того, что длина ВС окажется меньше, чем l/2.

13. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиусом 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых.

14. Пассажир может воспользоваться трамваями двух маршрутов, следующих с интервалами 5 и 7 мин. Найти вероятность того, что придя на остановку в случайный момент времени, пассажир будет ждать не дольше 2-х минут.

15. В интервале времени [0; T] в случайный момент t₁ появляется сигнал длительности Δt₁. Приемник включается в случайный момент t₂ [0; Т] на время Δt₂. Найти вероятность обнаружения сигнала.

16. В круге радиуса R наудачу проводится хорда длины l. Найти вероятность того, что длина хорды R  l  2R.

17. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника.

18. Задуманы два действительных неотрицательных числа, меньшие 10. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 10, а сумма их квадратов не больше 100.

19. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 60^o северной и 60^o южной широты. Считая падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30^o северной широты.

20. Палочка длиной 20 см случайным образом ломается в двух местах. Какова вероятность того, что из трех полученных кусочков можно будет составить треугольник?

21. На плоскость, разграфленную на квадратные клетки параллельными и перпендикулярными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 10 см, наудачу брошена монета диаметром 2 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

22. На окружности радиуса R наудачу поставлены точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС тупоугольный?

23. В детектор поступают короткие сигналы от двух независимых устройств, равновозможные в любой момент промежутка времени T. Сигналы воспринимаются детектором как различные, если промежуток времени между их поступлением превышает время . Найти вероятность того, что детектор различит поступившие сигналы.

24. Равносторонний треугольник со стороной a = 16 см случайным образом рассечен прямой, проходящей через одну из его вершин. Найти вероятность того, что площадь одной полученной части не более, чем в два раза превосходит площадь другой.

25. Равнобедренный прямоугольный треугольник со стороной a = 20 см случайным образом рассечен на две части прямой, параллельной гипотенузе. Какова вероятность того, что периметр малого треугольника меньше периметра оставшейся части?

26. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма x + y не превышает единицы, а произведение xy не меньше 0,09.

27. Найти вероятность того, что будет выполнено неравенство x  y², если x и y – случайные числа из промежутка [1; 3].

28. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОB и ВА имеет длину, большую L/3.

29. Телефонная линия, соединяющая два пункта А и В, расстояние между которыми равно 7 км, оборвалась в неизвестном месте. Какова вероятность того, что место обрыва удалено от обоих пунктов далее чем на 2,5 км?

30. В течение 10 единиц времени (тактов) в устройство должны поступить два сообщения: одно длительностью a = 4 такта, другое b = 3 такта. Устройство не может принимать другое сообщение, если не закончилось первое. Какова вероятность того, что будет принято только одно сообщение?
ИДЗ-6. Основные теоремы теории вероятностей

Решите задачу на вычисление вероятности с помощью теорем сложения и умножения вероятностей:

1. В шкатулке лежат 5 монет по 20 коп., 4 монеты по 15 коп., и 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся 6 монет. Какова вероятность, что в сумме они составят не более одного рубля?

2. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 19, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?

3. В ящике 12 деталей, из которых пять окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

4. Определить вероятность того, что наудачу выбранное целое положительное число не делится: а) ни на два, ни на три; б) на два или на три. 5. Из урны, содержащей n шаров с номерами от 1 до n, последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если его номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером 2 будет вынут при втором извлечении.

6. Два игрока поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появиться герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков. 7. Среди 110 лотерейных билетов есть 17 выигрышных. Найти вероятность того, что среди 15 наудачу выбранных билетов 8 окажутся выигрышными.

8. В урне имеются n белых и m черных шаров. Два игрока последовательно достают наудачу по одному шару, возвращая каждый раз вынутый шар обратно. Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не достанет белый шар. Определить вероятность выигрыша для каждого из игроков.

9. В ящике 9 белых и 11 черных шаров. Один шар вынут и отложен в сторону. Какова вероятность того, что следующий вынутый шар будет белым, если цвет первого неизвестен?

10. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

11. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет хотя бы один из стрелков.

12. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпавших гранях появится разное число очков.

13. Вероятность попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,98. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

14. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

15. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

16. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеются по крайней мере два белых шара.

17. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени T безотказно с вероятностями 0,85, 0,75, 0,70, соответственно. Найти вероятность того, что за время T выйдет из строя только один элемент.

18. Отрезок разделен на три равные части. На этот отрезок наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадет по одной точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 19. В электропоезд, состоящий из трех вагонов входят четыре пассажира, которые выбирают вагоны наудачу. Определить вероятность того, что в каждый вагон войдет хотя бы один пассажир.

20. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

21. В ящике 12 деталей, из которых пять окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что ни одна из взятых деталей не окрашена.

22. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,65, а для второго – 0,75. Найти вероятность того, что при одном залпе мишень будет поражена.

23. В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятность того, что извлеченные шары будут иметь номера 1, 4, 5 независимо от того, в какой последовательности они появились.

24. Среди 1000 лотерейных билетов есть 50 выигрышных. Найти вероятность того, что из четырех взятых наудачу билетов два окажутся выигрышными.

25. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеются по крайней мере два белых шара.

26. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени T безотказно с вероятностями 0,85, 0,90, 0,95, соответственно. Найти вероятность того, что за время T выйдет из строя хотя бы один элемент.

27. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли случайно три шара, а из второй урны – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета.

28. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли случайно три шара, а из второй урны – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров есть хотя бы один белый шар.

29. Два игрока играют в кости, бросая поочередно два кубика. Выигрывает тот, у кого первым выпадет в сумме 12 очков. Какова вероятность выигрыша для каждого из игроков?

30. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Какова вероятность того, что студент получит зачет по дисциплине, если для этого он должен правильно ответить на два вопроса из предложенных трех?
ИДЗ-7. Формула полной вероятности.

Решите задачу на вычисление полной вероятности события:

Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Найти вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
В отделе найма персонала проводится тестирование на вакантную руководящую должность. Тест составлен из двух производственных ситуаций, не связанных между собой логически. По каждой ситуации предлагается три примера дальнейших действий, из которых надо выбрать один наилучший. Вероятность того, что претендент знает ответ на первую часть теста равна p₁ = 0,8, вероятность того, что он знает ответ на вторую часть равна p₂ = 0,7. Если претендент не знает ответа, он выбирает один из трех предлагаемых вариантов наугад. Какова вероятность того, что испытуемый ответит правильно на обе части теста?
В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.
Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Найти вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии пятая часть деталей – бракованные, а в двух других – все доброкачественные.
Радиодеталь может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями p₁, p₂ и p₃, где p₁ = p₃ = 0,25, p₂ = 0,5. Вероятности того, что деталь проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,9; 0,8 и 0,6. Определить вероятность того, что радиодеталь проработает заданное число часов.
В ящике находятся 12 теннисных мячей, из которых 8 новых. Для первой игры наугад берутся два мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.
В урну, содержащую 10 шаров, опущен белый шар и шары перемешены, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны любые предположения о первоначальном цветовом составе шаров.
В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Затем после перемешивания один шар извлечен из второй урны и переложен в третью. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, белый.
В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?
В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны наугад удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу вытянутый из третьей урны, окажется белым.
Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 – во втором, а остальные – в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули один шар. Какова вероятность того, что он черный?
Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наудачу извлекают 2 шара и добавляют в урну один белый шар. Найти вероятность того, что после этого наудачу выбранный из урны шар окажется белым.
В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность исправной работы в течение месяца равна 0,90, и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0,95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, проработают исправно в течение месяца.
В одной урне содержится 1 белый и 2 черных шара, в другой урне – 2 белых и 3 черных шара. В третью урну кладут два шара, случайно выбранных из первой урны, и два шара, случайно выбранных из второй. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, будет белым?
Во время испытаний было установлено, что вероятность безотказного срабатывания реле при отсутствии помех равна 0,99, при перегреве – 0,95, при вибрации – 0,9, при вибрации и перегреве – 0,8. Найти вероятность отказа этого реле при работе в жарких странах, где вероятность перегрева равна 0,2, а вероятность вибрации 0,1. Найти также вероятность отказа реле при работе в передвижной лаборатории, где вероятность перегрева 0,1, а вероятность вибрации 0,3. (Предполагается, что перегрев и вибрация – независимые события).
В урну, содержащую 8 шаров, опущен один белый шар, после чего наудачу извлечены два шара. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара окажутся белыми, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном цветовом составе шаров в урне.
В большом стройотряде 70 процентов первокурсников и 30 процентов студентов второго курса. Среди первокурсников 10 процентов девушек, а среди студентов второго курса – 5 процентов девушек. Среди первокурсниц одна половина изучает английский, другая половина – немецкий языки. Среди второкурсниц одна треть изучает английский, другая треть – немецкий; последняя треть – французский языки. Все девушки по очереди дежурят на кухне. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на кухне дежурит студентка, говорящая по-английски.
В урне 8 шаров. К ним прибавляют 2 белых шара и шары тщательно перемешивают. Затем из урны наудачу вынимают три шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, считая, что все предположения о первоначальном составе урны равновероятны.
В одной урне 5 белых и 7 черных шаров, а в другой – 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают два шара и опускают во вторую урну. После перемешивания шаров из второй урны наудачу вынимают три шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, черные.
В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,95, а стреляя из винтовки без оптического прицела, – с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
В урну, содержащую n шаров, опущен один белый шар, после чего шары тщательно перемешивают. Затем наудачу извлекается один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном цветовом составе шаров в урне.
В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой – 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают два шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также наудачу вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара, вынутые из пополненной второй урны, одного цвета.
Вероятности того, что при работе персонального компьютера (ПК) произойдет сбой в центральном процессоре (ЦП), в оперативном запоминающем устройстве (ОЗУ), в периферийных устройствах (ПУ), относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в ЦП, ОЗУ, ПУ равны, соответственно, 0,80; 0,90; 0,95. Найти вероятность того, что возникший в ПК сбой будет обнаружен.
Из двенадцати лотерейных билетов пять выигрышных. Билеты вытягиваются по одному без возвращения. Какова вероятность того, что во второй раз будет вытянут выигрышный билет?
В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из пополненной третьей урны, окажется черным.
В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе A; 20 деталей, изготовленных на заводе B и 18 деталей, изготовленных на заводе C. Вероятности изготовления деталей отличного качества для названных заводов составляют, соответственно, 0,8; 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из ящика, будет отличного качества.
В двух урнах находятся, соответственно, 3 белых и 7 черных шаров, и 6 белых и 3 черных шара. Из каждой урны наудачу извлекается по два шара, а затем из каждой пары наудачу берется по одному шару. Какова вероятность, что оба шара окажутся одного цвета?
В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.
В урну, содержащую 7 шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечены два шара. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара окажутся белыми, если любые предположения о первоначальном цветовом составе шаров в урне равновозможны.

1 2 3 4 5