ИДЗ Математика ИКРиМ 1 семестр v2. В. Ю. Бодряков Индивидуальные домашние задания по дисциплине Математика Екатеринбург 2012

• Название: В. Ю. Бодряков Индивидуальные домашние задания по дисциплине Математика Екатеринбург 2012
• Анкор: ИДЗ Математика ИКРиМ 1 семестр v2.doc
• Дата: 26.04.2017
• Размер: 36.25 Mb.
• Имя файла: ИДЗ Математика ИКРиМ 1 семестр v2.doc
• Тип: Документы; #5797
• страница: 3 из 4

ИДЗ-12. Решение задачи оптимизации.

Построить математическую модель и решить задачу оптимизации.

Среди всех равнобедренных треугольников с заданным периметром p найти треугольник наибольшей площади. Чему она равна?

Р
A
ешение: Выполним чертеж к этой геометрической задаче (рис. 4). Введем

необходимые обозначения в рассматриваемом треугольнике ABC: AB = AC = x; BC = y; AD = xcos; A = 2. Заданный периметр p = 2x + y.

Из геометрических соображений имеем:





y = 2x sin , так что периметр ABC может быть теперь выражен как

p = 2x + 2x sin  = 2x (1 + sin ),

о
B

C

D
ткуда

x = __.


Рис. 4
Целевая (оптимизируемая) функция задачи – площадь треугольника S = S_ABC равна:

S = _BCAD = _2x sin x cos = _x² sin 2 = __.

Ясно, что 0    _. Остается найти максимальное значение целевой функции:

f() = _.

Для этого вычислим производную функции f() и приравняем ее нулю:

f() = 0 = (_) = _ = 2_ =

= 2_ = 2_ = 2_.
При допустимых значениях угла  выражение 1 + sin  > 0, так что f() = 0 при

cos 2 – sin  = 0;

1 – 2sin²  – sin  = 0;

2sin²  + sin  – 1 = 0;

D = 1² – 42(–1) = 9;

sin  = _ = _;

Допустимым значениям угла  отвечает лишь решение sin  = ½, откуда ₀ = _ и A = _. Тогда y = 2x_ = x, т.е. ABC равносторонний.

Нетрудно (СРС) вычислить вторую производную целевой функции f():

f() = (2_) = –2_.

При найденном значении _m = _ вторая производная f(₀) < 0, т.е. в точке _m = _ площадь S() достигает именно максимума, равного

S_m = S(_) = __ = __ = _.

Ответ: _m = _; S_m = _.

Варианты индивидуальных домашних заданий (ИДЗ) по Математике

ИДЗ-1. Действия с определителями

Для данного определителя : а) найти алгебраические дополнения элементов 1-ой строки и 1-го столбца; б) вычислить определитель , приведя его к треугольному виду, или получив предварительно нули в к.-л. строке или столбце; в) проверить расчет, применяя разложение определителя по элементам 1-ой строки или 1-го столбца и используя алгебраические дополнения соответствующих элементов из задания а).

1. 
   _. 2. _. 3. _.
   

4. _. 5. _. 6. _.
7. _. 8. _. 9. _.
10. _. 11. _. 12. _.
13. _. 14. _. 15. _.
16. _. 17. _. 18. _.
19. _. 20. _. 21. _.
22. _. 23. _. 24. _.
25. _. 26. _. 27. _.
28. _. 29. _. 30. _.

ИДЗ-2. Действия с матрицами

Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) A^–1; г) AA^–1; д) A^–1A.

1. 
   A = _; B = _.
   
2. 
   A = _; B = _.
   
3. 
   A = _; B = _.
   
4. 
   A = _; B = _.
   
5. 
   A = _; B = _.
   
6. 
   A = _; B = _.
   
7. 
   A = _; B = _.
   
8. 
   A = _; B = _.
   
9. 
   A = _; B = _.
   
10. 
    A = _; B = _.
    
11. 
    A = _; B = _.
    
12. 
    A = _; B = _.
    
13. 
    A = _; B = _.
    
14. 
    A = _; B = _.
    
15. 
    A = _; B = _.
    
16. 
    A = _; B = _.
    
17. 
    A = _; B = _.
    
18. 
    A = _; B = _.
    
19. 
    A = _; B = _.
    
20. 
    A = _; B = _.
    
21. 
    A = _; B = _.
    
22. 
    A = _; B = _.
    
23. 
    A = _; B = _.
    
24. 
    A = _; B = _.
    
25. 
    A = _; B = _.
    
26. 
    A = _; B = _.
    
27. 
    A = _; B = _.
    
28. 
    A = _; B = _.
    
29. 
    A = _; B = _.
    
30. 
    A = _; B = _.
    

ИДЗ-3. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по правилам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

1. _ 2. _

3. _ 4. _

5. _ 6. _

7. _ 8. _

9. _ 10. _

11. _ 12. _

13. _ 14. _

15. _ 16. _

17. _ 18. _

19. _ 20. _

21. _ 22. _

23. _ 24. _

25. _ 26. _

27. _ 28. _

29. _ 30. _

ИДЗ-4. Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

1. _ 2. _

3. _ 4. _

5. _ 6. _

7. _ 8. _

9. _ 10. _

11. _ 12. _

13. _ 14. _

15. _ 16. _

17. _ 18. _

19. _ 20. _

21. _ 22. _

23. _ 24. _

25. _ 26. _

27. _ 28. _

29. _ 30. _

ИДЗ-5. Вычисление пределов с использованием теорем о пределах

Вычислить пределы, применяя теоремы о пределах.

1. 
   _; _; _.
   
2. 
   _; _; _.
   
3. 
   _; _; _.
   
4. 
   _; _; _.
   
5. 
   _; _; _.
   
6. 
   _; _; _.
   
7. 
   _; _; _.
   
8. 
   _; _; _.
   
9. 
   _; _; _.
   
10. 
    _; _; _.
    
11. 
    _; _; _.
    
12. 
    _; _; _.
    
13. 
    _; _; _.
    
14. 
    _; _; _.
    
15. 
    _; _; _.
    
16. 
    _; _; _.
    
17. 
    _; _; _.
    
18. 
    _; _; _.
    
19. 
    _; _; _
    
20. 
    _; _; _.
    
21. 
    _; _; _.
    
22. 
    _; _; _.
    
23. 
    _; _; _.
    
24. 
    _; _; _.
    
25. 
    _; _; _.
    
26. 
    _; _; _.
    
27. 
    _; _; _.
    
28. 
    _; _; _.
    
29. 
    _; _; _.
    
30. 
    _; _; _.
    

ИДЗ-6. Вычисление пределов с использованием замечательных пределов

Вычислить пределы, применяя I и II замечательные пределы.

1. 
   _; _.
   
2. 
   _; _.
   
3. 
   _; _.
   
4. 
   _; _.
   
5. 
   _; _.
   
6. 
   _; _.
   
7. 
   _; _.
   
8. 
   _; _.
   
9. 
   _; _.
   
10. 
    _; _.
    
11. 
    _; _.
    
12. 
    _; _.
    
13. 
    _; _.
    
14. 
    _; _.
    
15. 
    _; _.
    
16. 
    _; _.
    
17. 
    _; _.
    
18. 
    _; _.
    
19. 
    _; _.
    
20. 
    _; _.
    
21. 
    _; _.
    
22. 
    _; _.
    
23. 
    _; _.
    
24. 
    _; _.
    
25. 
    _; _.
    
26. 
    _; _.
    
27. 
    _; _.
    
28. 
    _; _.
    
29. 
    _; _.
    
30. 
    _; _.
    

ИДЗ-7. Исследование функции на непрерывность

Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики.

1. _ 2. _

3. _ 4. _

5. _ 6. _

7. _ 8. _

9. _ 10. _

11. _ 12. _

13. _ 14. _

15. _ 16. _

17. _ 18. _

19. _ 20. _

21. _ 22. _

23. _ 24. _

25. _ 26. _

27. _ 28. _

29. _ 30. _

ИДЗ-8. Дифференцирование функций.

Продифференцировать данные функции:

1. 
   y = 2x⁵ – _ + _ + 3_; y = sin³2xcos8x⁵; y = _.
   
2. 
   y = _ + _ – 4x³ + _; y = cos⁵3xtg(4x+1)³; y = _.
   
3. 
   y = 3x⁴ + _ – _ – _; y = tg⁴xarcsin4x⁵; y = _.
   
4. 
   y = 7_ – _ – 3x³ + _; y = arcsin³2xctg7x⁴; y = _.
   
5. 
   y = 7x + _ – _ + _; y = ctg3xarccos3x²; y = _.
   
6. 
   y = 5x² – _ + _ – _; y = arccos²4xln(x–3); y = _.
   
7. 
   y = 3x⁵ – _ + _ + _; y = ln⁵xarctg7x⁴; y = _.
   
8. 
   y = _ + _ – 4x⁶ + _; y = arctg³4x3^sinx; y = _.
   
9. 
   y = 8x² + _ – _ – _; y = 2^cosxarcctg5x³; y = _.
   
10. 
    y = 4x⁶ + _ – _ – _; y = 4^–xln⁵(x+2); y = _.
    
11. 
    y = 2_ – _ + 3x² – _; y = 3^tgxarcsin7x⁴; y = _.
    
12. 
    y = 4x³ – _ – _ + _; y = _arccos2x⁵; y = _.
    
13. 
    y = 5x³ – _ + 4_ + _; y = sin⁴3xarctg2x³; y =_.
    
14. 
    y = _ + _ – _ + 5x⁴; y = cos³4xarcctg_; y = _.
    
15. 
    y = _ – _ + _ – 7x³; y = tg³2xarcsinx⁵; y = _.
    
16. 
    y = _ + _ – 4_ + 2x⁷; y = ctg⁷xarccos2x³; y = _.
    
17. 
    y = 5x² + _ – _ – _; y = e^–sinxtg7x⁶; y = _.
    
18. 
    y = 10x² + 3_ – _ – _; y = e^cosxctg8x³; y = _.
    
19. 
    y = _ – _ + _ – 3x³; y = cos⁵xarccos4x; y = _.
    
20. 
    y = 9x³ + _ – _ + _; y = sin³7xarcctg5x²; y = _.
    
21. 
    y = 3_ + _ + _ – _; y = sin²3xarcctg3x⁵; y = _.
    
22. 
    y = _ + _ – _ – 5x³; y = cos_arctgx⁴; y = _.
    
23. 
    y = 7x² + _ – _ + _; y = tg⁶2xcos7x²; y = _.
    
24. 
    y = 8x³ – _ – _ + _; y = ctg³4xarcsin_; y = _.
    
25. 
    y = 8x – _ + _ – _; y = ctg(1/x)arccosx⁴; y = _.
    
26. 
    y = _ – _ + _ + 3x; y = tg_arcctg3x⁵; y = _.
    
27. 
    y = 4x³ + _ – _ – _; y = tg³2xarccos2x³; y = _.
    
28. 
    y = 4x⁵ – _ – _ + _; y = 2^tgxarctg⁵3x; y = _.
    
29. 
    y = _ + _ – _ – 2x⁶; y = sin⁵3xarctg_; y = _.
    
30. 
    y = _ – _ + 3x³ – _; y = cos⁴3xarcsin3x²; y = _.