ИДЗ Математика ИКРиМ 1 семестр v2. В. Ю. Бодряков Индивидуальные домашние задания по дисциплине Математика Екатеринбург 2012
 Скачать 36.25 Mb.
|
|
ИДЗ-6. Вычисление пределов с использованием замечательных пределов Вычислить пределы, применяя I и II замечательные пределы: а) ; б) . Решение: Выражения для I и II замечательного пределов есть, соответственно: = 1; = e. а) Путем несложных преобразований приведем данный предел к стандартному виду II замечательного предела: = = =. Для удобства выполним замену переменной под знаком предела. Обозначим x – 1 = t. Тогда при x и новая переменная t . Кроме того, x = (t + 1) и 2 – 5x = 2 – 5(t + 1) = 2 – – t = – – t. Продолжим выкладки: = = = = 1 = . б) Приведем данный предел к стандартному виду I замечательного предела. Выполним замену переменной под знаком предела. Обозначим – x = t. Тогда при x новая переменная t 0. Кроме того, 2 – x2 = 2 – ( – t)2 = t(2 – t) и 1 – sin = 1 – sin = 1 – sin = 1 – cos = 1 – (1 – 2sin2) = 2sin2. Теперь = = = 10 = 0. Ответ: а) = ; б) = 0. ИДЗ-7. Исследование функции на непрерывность Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график: Решение: Функция f(x) определена и непрерывна на трех интервалах (–; 0), (0; 2) и (2; +), где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв функции возможен лишь в точках x1 = 0 и x2 = 2. Исследуем f(x) на непрерывность в них. Точка x1 = 0. Для этой точки f(x1 = 0) = 02 = 0. Предел слева: A1 = = . Предел справа: A2 = = A1. Таким образом, функция f(x) в точке x1 = 0 имеет (неустранимый) разрыв I рода. Точка x2 = 2. Для этой точки f(x2 = 2) = (x – 1)2 = 1. Предел слева: A1 = = . Предел справа: A2 = = A1. Таким образом, функция f(x) в точке x2 = 2 также имеет (неустранимый) разрыв I рода. График f(x) дан на рис. 1. Рис. 1. Ответ: Функция f(x) (рис. 1) претерпевает разрывы I рода в точках x1 = 0 и x2 = 2. ИДЗ-8. Дифференцирование функций. Продифференцировать данные функции: а) y = 9x5 – + – 3x + 4; б) y = tg5(x+2)arccos3x2; в) y = . Решение: Выполним задание, используя теоремы о производных и таблицу производных. а) y = (9x5 – + – 3x + 4) = (9x5) – (4x–3) + (x7/3) – (3x) + (4) = = 95x4 – 4(–3)x–4 + x4/3 – 3 + 0 = 45x4 + + – 3. б) Заметим, что y = (uv) = uv + uv, где u = tg5(x+2) и v = arccos3x2. Вычислим производные для функций u(x) и v(x): u = (tg5(x+2)) = 5tg4(x+2)(tg(x+2)) = 5tg4(x+2) = 5tg4(x+2); v = (arccos3x2) = – = – ; Остается «собрать» окончательное выражение: y = uv + uv = 5tg4(x+2)arccos3x2 – tg5(x+2). в) Как и в предыдущем примере, запишем y = (uv) = uv + uv, где u = и v = . Вычислим производные для функций u(x) и v(x): u = () = = ; v = () = (x4) = 4x3; Остается «собрать» окончательное выражение: y = uv + uv = – 4x3. Ответ: а) y = 45x4 + + – 3; б) y = 5tg4(x+2)arccos3x2 – tg5(x+2); в) y = – 4x3. ИДЗ-9. Вычисление производных. а) Найти y и y; б) для данной функции y(x) и точки x0 вычислить y(x0): а) x3y – y2 = 6x; б) y = ⅛ – ¼ cos2x, x0 = /4. Решение: а) Продифференцируем по x обе части равенства: (x3y) – (y2) = (6x); 3x2y + x3y – 2yy = 6, откуда y = . Продифференцируем по x обе части равенства 3x2y + x3y – 2yy = 6 еще раз: (3x2y) + (x3y) – (2yy) = (6); 6xy + 3x2y + 3x2y + x3y – 2y2– 2yy = 0, откуда y(x3 – 2y) = 2y2 – 6x2y – 6xy. Подставляя теперь вместо y полученное выше выражение, имеем окончательно: y = 2 – 6x2 – . б) Продифференцируем последовательно данную функцию y(x): y = (⅛ – ¼ cos2x) = –¼2cos x(–sin x) = ¼sin 2x; y = (¼sin 2x) = ¼2cos 2x = ½cos 2x; y = (½cos 2x) = –½2sin 2x = –sin 2x. Теперь легко получаем: y(x0 = /4) = –sin(2/4) = –sin(/2) = –1. Ответ: y = –sin 2x; y(x0 = /4) = –1. ИДЗ-10. Правило Лопиталя. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя: а) ; б) ; в) . Решение: а) При x числитель и знаменатель дроби под знаком предела стремятся к бесконечности, так что имеем неопределенность вида {/}, которую раскроем с помощью правила Лопиталя: = = = = = = = 0 = 0. б) При x числитель и знаменатель дроби под пределом стремятся к нулю, так что имеем неопределенность вида {0/0}, которую раскроем с помощью правила Лопиталя: = = = – = – = = – = . в) При x 0 выражение под знаком предела стремится к неопределености вида 1, для раскрытия которой не может быть непосредственно применено правило Лопиталя, и выражение следует предварительно преобразовать. Предположим, что предел существует и равен A = . Тогда lnA = = = = = = – = – 11 = – . Следовательно, A = e–1/2 = . Ответ: а) = 0; б) = ; в) = . ИДЗ-11. Полное исследование функции и построение ее графика. Провести полное исследование указанных функций и построить их графики: а)y = ; б) y = – . Решение: Полное исследование функций и построение их графиков проведем, придерживаясь следующей примерной схемы:
а) Проведем полное исследование функции y = f(x) = , придерживаясь рекомендуемой схемы. 1. Функция f(x) определена для всех действительных x R, т.е. D = R. 2. Функция не имеет точек разрыва, т.е. является непрерывной всюду на области D своего определения. Функция пересекает ось Ox в точках x01 = –3 и x02 = 0, т.е. нулями функции y = f(x) = 0 являются точки x01 = –3 и x02 = 0. Функция пересекает ось Oy (здесь x = 0) в точке y = 0. Отсутствие точек разрыва функции указывает также на отсутствие вертикальных асимптот у графика y(x). 3. Функция f(x) не является четной или нечетной, не является периодической, т.е. является функцией общего вида. 4. Для исследования функции на монотонность и экстремум вычислим ее первую производную: y = () = = = . Точками, подозрительными на экстремум (там, где производная y(x) равна нулю или не существует) являются точки x1 = –3; x2 = –2; x3 = 0. Эти три особые точки разбивают область определения функции D на четыре (непересекающихся) интервала: D1 = (–; –3), D2 = (–3; –2), D3 = (–2; 0), D4 = (0; +). Изучим каждый из них. Интервал D1 = (–; –3). Здесь y > 0 и функция y = f(x) возрастает. Интервал D2 = (–3; –2). Здесь y > 0; функция y = f(x) возрастает. Интервал D3 = (–2; 0). Здесь y < 0 и функция y = f(x) убывает. Интервал D4 = (0; +). Здесь y > 0; функция y = f(x) возрастает. Знак первой производной y(x) изменяется c «+» на «–» в точке x2 = –2; в этой точке функция y = f(x) достигает (локального) максимума, равного ymax = f(–2) = = 1,587. В самой точке x2 производная y(x2 = –2) = 0. Знак первой производной y(x) изменяется c «–» на «+» в точке x3 = 0; в этой точке функция y = f(x) достигает (локального) минимума, равного ymin = 0. В самой точке x2 производная y(x2 = 0) , т.е. касательная к графику функции y(x) в точке x3 = 0 вертикальна. В точке x1 = –3 изменения знака первой производной не происходит, т.е. функция f(x) не имеет максимума или минимума. В самой точке x1 производная y(x1 = –3) , т.е. касательная к графику функции y(x) в точке x3 = 0 вертикальна. 5. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба вычислим вторую производную функции, как производную отношения: y = () = = = = = = – . Точками, подозрительными на перегиб (там, где вторая производная y(x) равна нулю или не существует) являются точки x1 = –3; x3 = 0. В данном случае точки, в которых y(x) = 0, отсутствуют. В области – < x < –3 вторая производная y > 0 и функция y = f(x) выпукла вниз (вогнута). В области –3 < x < 0 вторая производная y < 0 и функция y = f(x) выпукла вверх (выпукла). В области 0 < x < + вторая производная y < 0 и функция y = f(x) также выпукла вверх. Так как в точке x1 = –3 вторая производная y меняет знак с «+» на «–», то точка x1 является точкой перегиба. 6. Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты графика функции; как указано выше, вертикальных асимптот график функции y(x) не имеет. Как известно, наклонная асимптота имеет вид y = kx+ b, коэффициенты k и b которой могут быть найдены как пределы: k = ; b = . В данном случае, k = = = = 1; b = = { – } = = = . Для вычисления последнего предела удобно сделать замену переменной t = . При x новая переменная t 0. Теперь, используя правило Лопиталя, имеем окончательно b = = = = = 1. Таким образом, график y(x) исследуемой функции имеет единственную наклонную асимптоту y = x+ 1. 7. Необходимости в дополнительных вычислениях для уточнения поведения графика функции y(x) нет. Можно, однако, заметить дополнительно, что y(x) < 0 при x < –3; при x > –3, напротив, y(x) > 0. 8. Объединяя результаты проведенных выше исследований, строим график функции y = f(x) (рис. 2). Рис. 2 б) Проведем полное исследование функции y = f(x) = – x, как и прежде придерживаясь рекомендуемой схемы. 1. Функция f(x) определена для всех действительных x > 0, т.е. D = (0; +). 2. Функция не имеет точек разрыва, т.е. является непрерывной всюду на области D своего определения, однако, при x 0 + 0 f(x) – . Линия x = 0, т.е. ось Oy, является вертикальной асимптотой графика y(x). Для нахождения нулей функции y = f(x) следует решить уравнение – x = 0, или ln x = x2. Это уравнение не имеет действительных корней. Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно сопоставить два графика элементарных функций y = ln x и y = x2. 3. Функция f(x) не является четной или нечетной, не является периодической, т.е. является функцией общего вида. 4. Для исследования функции на монотонность и экстремум вычислим ее первую производную: y = ( – x) = – 1 = – 1 = . Особыми точками являются: точка x0 = 0 (при x 0 производная функции y(x) +) и точка x1 = 1 (здесь y(x) = 0). В первом случае, очевидно, имеем вертикальную асимптоту x = 0 для графика функции y(x). Во втором случае, как нетрудно видеть, сравнив графики элементарных функций y = ln x и y = 1 – x2, уравнение ln x = 1 – x2 имеет единственным корнем именно x1 = 1. Заметим, что при x < 1 ln x < 1 – x2, а при x > 1 ln x > 1 – x2. Особые точки делят область определения функции D на два (непересекающихся) интервала: D1 = (0; 1) и D2 = (1; +). Изучим каждый из них. Интервал D1 = (0; 1). Здесь y > 0 и функция y = f(x) возрастает. Интервал D2 = (1; +). Здесь y < 0 и функция y = f(x) убывает. Знак первой производной y(x) изменяется c «+» на «–» в точке x1 = 1; в этой точке функция y = f(x) достигает (локального) максимума, равного ymax = f(1) = –1. 5. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба вычислим вторую производную функции, как производную отношения: y = ( – 1) = = . Точками, подозрительными на перегиб (там, где вторая производная y(x) равна нулю или не существует) являются точки x0 = 0 и x2 = e3/2 4,482. В области 0 < x < x2 вторая производная y < 0 и функция y = f(x) выпукла вверх (выпукла). В области x2 < x < + вторая производная y > 0 и функция y = f(x) выпукла вниз (вогнута). Так как в точке x2 = e3/2 4,482 вторая производная y меняет знак с «–» на «+», то точка x2 является точкой перегиба. 6. Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты y = kx + b графика функции. В данном случае, применяя правило Лопиталя, находим k = = = – 1 + = –1, действительно, = = = 0. b = = = = = 0. Таким образом, график y(x) исследуемой функции имеет единственную наклонную асимптоту y = –x. 7. Необходимости в дополнительных вычислениях для уточнения поведения графика функции y(x) нет. Можно, однако, заметить дополнительно, что разность между значениями исследуемой функции y(x) = – x и соответствующими асимптотическими значениями y = –x всегда положительна: y(x) = – x – (–x) = > 0 при x > 0. Поэтому функция y = f(x) приближается к своей асимптоте сверху. 8. Объединяя результаты проведенных выше исследований, строим график функции y = f(x) (рис. 3). Рис. 3 |