ИДЗ Математика ИКРиМ 1 семестр v2. В. Ю. Бодряков Индивидуальные домашние задания по дисциплине Математика Екатеринбург 2012
 Скачать 36.25 Mb.
|
|
Министерство образования и науки ФГБОУ ВПО Уральский государственный педагогический университет Математический факультет Кафедра высшей математики В.Ю. Бодряков Индивидуальные домашние задания по дисциплине «Математика» Екатеринбург – 2012 Составители: В.Ю. Бодряков Индивидуальные домашние задания по дисциплине «Математика». Екатеринбург: УрГПУ, 2012, с. Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по дисциплине «Математика» предназначены для студентов очной и заочной форм обучения нематематических факультетов УрГПУ, изучающих курс математики в соответствии с требованиями Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС) по соответствующим направлениям подготовки. Работа содержит 12 индивидуальных домашних заданий (ИДЗ) по 30 вариантов в каждом, содержащих различные задания по дисциплине «Математика». Целью настоящего комплекта ИДЗ является ознакомление студентов с основами линейной алгебры и началами математического анализа. При решении заданий по линейной алгебре учащиеся отработают навыки действий с определителями и матрицами, а также решения систем неоднородных и однородных линейных алгебраических уравнений. При решении заданий по математическому анализу студенты освоят технику вычисления пределов функции, получат навыки исследования функций одной переменной с применением аппарата дифференциального исчисления. Структурно комплект ИДЗ может быть разбит на три блока: ИДЗ-1-4 – алгебраический блок; ИДЗ-5-8 – основы теории пределов и дифференциального анализа; ИДЗ-9-12 – прикладные аспекты применения дифференциального анализа для исследования функции одной переменной. В зависимости от степени подготовки студентов и объема учебных часов, выделенных на изучение дисциплины, преподаватель может варьировать объем выполняемых ИДЗ. В целом, самостоятельное решение индивидуальных заданий позволяет углубить теоретические знания, отработать практические навыки решения задач по дисциплине. Во введении к работе приведены примеры решения типовых заданий по теме с необходимыми методическими указаниями. Рецензент: © Уральский государственный педагогический университет, 2012 ИДЗ-1. Действия с определителями. ИДЗ-2. Действия с матрицами. ИДЗ-3. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. ИДЗ-4. Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений. ИДЗ-5. Вычисление пределов с использованием теорем о пределах. ИДЗ-6. Вычисление пределов с использованием замечательных пределов. ИДЗ-7. Исследование функции на непрерывность. ИДЗ-8. Дифференцирование функций. ИДЗ-9. Вычисление производных. ИДЗ-10. Правило Лопиталя. ИДЗ-11. Полное исследование функции и построение ее графика. ИДЗ-12. Решение задачи оптимизации. Решение «нулевого варианта ИДЗ по Математике ИДЗ-1. Действия с определителями Для данного определителя : = . а) найти алгебраические дополнения элементов 1-ой строки и 1-го столбца; б) вычислить определитель , приведя его к треугольному виду, или получив предварительно нули в к.-л. строке или столбце; в) проверить расчет, применяя разложение определителя по элементам 1-ой строки или 1-го столбца и используя алгебраические дополнения соответствующих элементов из задания а). Решение: а) Как известно, алгебраическим дополнением Aij элемента aij данного определителя называется определитель порядка на единицу меньшего, полученный из исходного путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца; при этом знак алгебраического дополнения определяется как (–1)i+j. В данной задаче, A11 = (–1)1+1 = = = – = –(–28 – (–1)6) = 10; A12 = (–1)1+2 = – = – = = 68 – 56 = 18; A13 = (–1)1+3 = = = – = –(82 – 412) = 32; A14 = (–1)1+4 = – = – = – = = 6 – 10 = –4; A21 = (–1)2+1 = – = – = = 24 – 32 = 2; A31 = (–1)3+1 = = = = 38 + 14 = 28; A41 = (–1)4+1 = – = – = –2 = –2(22 + 14) = –16. б) Вычислить определитель , приведя его к треугольному виду, или получив предварительно нули в к.-л. строке или столбце: = = = 1 = = = = (–1) = 2 = 2(71 + 34) = 38. в) проверим расчет, применяя разложение определителя по элементам 1-ой строки и (или) 1-го столбца и используя алгебраические дополнения соответствующих элементов из задания а). Разложение по первой строке: = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14 = (–3)10 + 218 + 132 + 0(–4) = –30 + 36 + 32 = 38. Разложение по первому столбцу: = a11A11 + a21A21 + a31A31 + a41A41 = (–3)10 + 22 + 428 + 3(–16) = –30 + 4 + 112 – 48 = 38. Ответ: а) Алгебраические дополнения: A11 = 10; A12 = 18; A13 = 28; A14 = –4; A21 = 2; A31 = 28; A41 = –16; б), в) величина определителя = 38. ИДЗ-2. Действия с матрицами Даны две матрицы A и B: A = ; B = . Найти: а) AB; б) BA; в) A–1; г) AA–1; д) A–1A. Решение: а) AB = = = = . б) BA = = = = . Можно заметить, что AB BA, т.е. в общем случае операция умножения матриц неперестановочна. в) Вычислим обратную матрицу A–1. Как известно, обратная матрица к данной матрице A может быть найдена по формуле: A–1 = , где = – определитель матрицы A; A* = – транспонированная матрица алгебраических дополнений к элементам aij исходной матрицы A (присоединенная матрица). Обратная матрица A–1 существует при 0. Определитель данной матрицы A равен: = = = 1 = 142 – 11(–1) = 39 0. Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы A: A11 = (–1)1+1 = (–1)2 – 23 = –8; A12 = (–1)1+2 = –(22 – 33) = 5; A13 = (–1)1+3 = 22 – 3(–1) = 7; A21 = (–1)2+1 = –(02 – 12) = 2; A22 = (–1)2+2 = (–4)2 – 31 = –11; A23 = (–1)2+3 = –((–4)2 – 30) = 8; A31 = (–1)3+1 = 03 – (–1)1 = 1; A32 = (–1)3+2 = –((–4)3 – 21) = 14; A33 = (–1)3+3 = (–4)(–1) – 20 = 4; Таким образом, матрица алгебраических дополнений матрицы A есть ; транспонированная к ней матрица (присоединенная матрица) A* = . Наконец, обратная матрица матрицы A равна: A–1 = . г) Удостоверимся в правильности расчетов, вычислив произведение AA–1: AA–1 = = = = = = . д) Удостоверимся в правильности расчетов, вычислив произведение A–1A: A–1A = = = = = . Как видно, AA–1 = A–1A = E, где E – единичная матрица. Это значит, что матрица A–1 вычислена правильно. Ответ: а) AB = ; б) BA = ; в) A–1 = ; г), д) AA–1 = A–1A = E. ИДЗ-3. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по правилам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса: Решение: Совместность данной системы линейных неоднородных алгебраических уравнений проверим по теореме Кронекера – Капелли, утверждающей, что система совместна тогда и только тогда, когда ранги основной (rA) и расширенной (rB) матриц системы равны: rA = rB = r. При этом, если r = n, где n – порядок системы, система имеет единственное решение. Рангом матрицы называется наиболее высокий порядок определителя, составленного из ее элементов, отличный от нуля. В данном случае, определитель основной матрицы A системы уравнений: = = = –(–1) = 1(–1) – 35 = –16 0, т.е. rA = 3 = n. Установим значения определителей, составленных из элементов расширенной матрицы, заменяя последовательно столбцом свободных членов 1-ый, 2-ой и 3-ий столбцы основной матрицы системы: detB1 = = = = (–1) = = –(35–99) = 64 0; detB2 = = = = (–1) = –(9 + 7) = = –16 0; detB3 = = = = (–2) = –2(–10 – 6) = = 32 0. т.е. rB = 3 = rA. Т.о., ранги основной и расширенной матриц системы совпадают и равны числу переменных n = 3, т.е. система однозначно разрешима. а) Для нахождения решения системы применим правила Крамера, используя значения вычисленных выше определителей: x1 = detB1 = – 64 = –4; x2 = detB2 = – (–16) = 1; x3 = detB3 = – 32 = –2. Окончательно, решение системы есть = . б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме: A = , где A = – матрица системы; и = – столбец переменных и свободных членов, соответственно. Тогда решение системы в матричном виде есть: = A–1. Остается найти обратную матрицу A–1 системы. Для этого вычислим матрицу дополнений и транспонируем ее, т.е. вычислим присоединенную матрицу A* к матрице A. A11 = (–1)1+1 = 4(–3) – 13 = –15; A12 = (–1)1+2 = –(2(–3) + 33) = –3; A13 = (–1)1+3 = 2(–1) – 34 = –14; A21 = (–1)2+1 = –(5(–3) – 11) = 16; A22 = (–1)2+2 = –(1(–3) – 3(–1)) = 0; A23 = (–1)2+3 = –(1(–1) – 35) = 16; A31 = (–1)3+1 = 5(–3) – 4(–1) = –11; A32 = (–1)3+2 = –(1(–3) – 2(–1)) = 1; A33 = (–1)3+3 = 14 – 25 = –6. Теперь присоединенной матрицей будет матрица A* =, а обратной матрицей – матрица A–1 = . Решением системы будет = A–1 = = – = = – = . в) Решим данную систему методом Гаусса (методом исключения): Исключим x1 из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго уравнения; первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего уравнения. Получим Последовательно находим x2 = 1; x3 = 4 – 61 = –2; x1 = 3 – 51 –2 = –4. Ответ: Решение системы: = . ИДЗ-4. Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: а) б) Решение: а) Вычислим определитель системы: = = = = –(–1) = 4 + 7 = 11 0. Т.к. определитель однородной системы линейных уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение x1 = x2 =x3 = 0. б) Вычислим определитель системы: = = = = 0. Т.к. определитель однородной системы линейных уравнений равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений. Нетрудно убедиться, что ранг матрицы данной системы уравнений размерности n = 3 равен rA = 2. Иными словами, в данной системе уравнений независимыми являются только два уравнения из трех; используем, например, первое и второе уравнения: Так как определитель 2 = = –9 – 4 = –13 из коэффициентов при неизвестных x1 и x2 не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных можно взять x1 и x2. С учетом сказанного, систему можно переписать в виде: Решение этой системы получим с помощью формул Крамера: x1 = = = – x3; x2 = = = x3. Таким образом, нетривиальным решением системы является тройка действительных чисел x1 = – x3, x2 = x3, x3 R. Ответ: а) x1 = x2 =x3 = 0; б) x1 = – x3, x2 = x3, x3 R. ИДЗ-5. Вычисление пределов с использованием теорем о пределах Вычислить пределы, применяя теоремы о пределах: а) ; б) ; в). Решение: а) При x –2 числитель и знаменатель, как нетрудно убедиться, обращаются в нуль, давая под пределом неопределенность вида {0/0}. Поэтому в данном случае непосредственное применение теоремы о пределе отношения невозможно. Предварительно преобразуем дробь для избавления от неопределенности: 5x2 + 13x + 6 = (5x + 3)(x + 2); 3x2 + 2x – 8 = (3x – 4)(x + 2). После простых преобразований возможно применение теорем о пределах: = = = = = . б) При n числитель и знаменатель обращаются в бесконечность, давая под пределом неопределенность вида {/}. Поэтому и здесь непосредственное применение теоремы о пределе отношения невозможно. Как и выше, необходимо предварительное преобразование дроби для избавления от неопределенности, для чего разделим и числитель и знаменатель на старшую степень выражения, в данном случае n4: = = = . в) При x 4 числитель и знаменатель обращаются в нуль, давая под пределом неопределенность вида {0/0}. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе отношения невозможно. Необходимо предварительное преобразование дроби для избавления от неопределенности. Для этого числитель и знаменатель домножим на сопряженную сумму и разложим разность кубов в знаменателе на множители: = = = = = = . Полученное выражение уже не имеет особенности при x 4 и после простых преобразований возможно применение теорем о пределах: = = = = . Ответ: а) = ; б) = ; в) = . |