4510321_Статистика. Вариант 2 Задача 1

• Название: Вариант 2 Задача 1
• Дата: 07.06.2020
• Размер: 80.9 Kb.
• Имя файла: 4510321_Статистика.docx
• Тип: Задача; #128691
• страница: 1 из 3

ВАРИАНТ 2

Задача 1.

Всхожесть хранящегося на складе зерна в среднем составляет 80%, а среднее квадратическое отклонение 6%. Оценить вероятность того, что в выбранной партии зерна всхожесть составит:

а) не менее 85%;

б) не более 90%;

в) будет отличаться от средней не более чем на 8%;

г) будет отличаться от средней не менее чем на 10%.
Вероятность попадания величины X в заданный интервал (α ; β).
где Ф(x) — функция Лапласа

а)

P( = Ф( – Ф = 0,5-0,3 = 0,2

б)

P(- = Ф - Ф( = 0,4525+0,5 = 0,9525

в)

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет некоторого положительного числа δ, то есть |X- a| < δ, определяется так:

г)

P(- = Ф - Ф( = -0,4525+0,5 = 0,0475

P(80+10 = Ф( - Ф = 0,5 - 0,4525 = 0,0475

вероятность того, что в выбранной партии зерна всхожесть будет отличаться от средней не менее чем на 10%.

= 2*0,0475 = 0,095

Задача 2.

Случайная величина ξ имеет нормальный закон распределения с параметрами а и . Найти параметр , если известно, что М(ξ)=5 и Р( 2< ξ< 8) = 0,9973. Вычислить вероятность того, что значение случайной величины ξ окажется меньше 0.

Построить графики функции распределения и функции плотности распределения этой случайной величины.
a = М(ξ) = 5

s =

P(A < x < B) = Ф((B-а)/s) - Ф((A-а)/s)

Ф(x) - Интегральная функция Лапласа

P(2 < x < 8) = Ф((8-5)/s) - Ф((2-5)/s) = Ф(3/s) - Ф(-3/s), т.к. Ф(x) нечетная, то получим: Ф(3/s) +Ф(3/s) = 2Ф(3/s) = 0.9973

Ф(3/s) = 0.9973/2 = 0.4987

По таблице интегральной функции Лапласа найдем соответствующее значение аргумента = 3.

Следовательно, s = 3/3 = 1

P(x < 0) = P(- < x < 0) = Ф((0-5)/1) - Ф(- ) = Ф(-5) + Ф( )

Ф( ) = 1/2

Ф(-5) = 0.4999997

P(x < 0 ) = 1/2 - 0.4999997 = 0.0000003



Рис. 1 Функция плотности распределения


Рис. 2 Функция распределения

Задача 3.

Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно случайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные данные представлены в таблице:

Количество дней пребывания на больничном листе	Менее 3	3-5	5-7	7-9	9-11	Более 11	Итого
Число сотрудников	6	13	24	39	8	10	100

Найти:

а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на 1 день (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более 7 дней;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли, (см. п. б)), можно гарантировать с вероятностью 0,98.
Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, xцентр	Кол-во, fi	xi·fi	(x-xср)2·fi
1 - 3	2	6	12	162.24
3 - 5	4	13	52	133.12
5 - 7	6	24	144	34.56
7 - 9	8	39	312	24.96
9 - 11	10	8	80	62.72
11 - 13	12	10	120	230.4
Итого		100	720	648

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Средняя взвешенная (выборочная средняя)

,2

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

=

Среднее квадратическое отклонение.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 7 в среднем на 2.546

Оценка среднеквадратического отклонения.
Вероятность того, что абсолютная величина |X-a| отклонения окажется меньше δ.

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет некоторого положительного числа δ, то есть |X- a| < δ, определяется так:

вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на 1 день (по абсолютной величине) = 0,318
Интервальное оценивание генеральной доли (вероятности события).

Доверительный интервал для генеральной доли.

(d - ε ; d + ε)



Доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более 7 дней

d = (6+13+24)/100 = 0,43

Поскольку n>30, то определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(t_kp) = γ

Ф(t_kp) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475

По таблице функции Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.475

t_kp(γ) = (0.475) = 1.96
границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более 7 дней

(0.336; 0.524)
Ф(t_kp) = γ/2 = 0.98/2 = 0.49

По таблице функции Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.49

t_kp(γ) = (0.49) = 2.34

Объем выборки:



n = 1560*2,34^2*0,43*0,57/(2,34^2*0,43*0,57+1560*0,0939^2) = 139 чел.

объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (0.336; 0.524), можно гарантировать с вероятностью 0,98 равен 139 чел.