вектора в простр 11 кл. Векторы в пространстве вход Содержание I. Понятие вектора в пространстве
 Скачать 0.84 Mb.
|
Векторы в пространствевход СодержаниеI. Понятие вектора в пространствеII. Коллинеарные векторыIII. Компланарные векторыIV. Действия с векторамиV. Разложение вектораVI. Базисные задачиПроверь себяПомощь в управлении презентациейВыход Понятие вектора в пространствеВектор(направленный отрезок) –отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом.Длина вектора – длина отрезка AB.А В M Коллинеарные векторыДва ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на однойпрямой или параллельных прямых.Среди коллинеарных различают:
Сонаправленные векторыСонаправленные векторы - векторы, лежащиепо одну сторону от прямой, проходящей через их начала.Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.
Равные векторыРавные векторы - сонаправленные векторы,длины которых равны.От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала.
Противоположные векторыПротивоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.Вектором, противоположным нулевому,считается нулевой вектор.Признак коллинеарностиДоказательствоДействия с векторами
Сложение векторов
Правило треугольникаА B C Правило треугольникаА B C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство: Правило параллелограммаА B C Свойства сложенияПравило многоугольникаСумма векторов равна вектору, проведенномуиз начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании).B A C D E Пример ПримерC A B D A1 B1 C1 D1 Правило параллелепипедаB А C D A1 B1 C1 D1 Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда. СвойстваB А C D A1 B1 C1 D1 Вычитание векторов
ВычитаниеРазностью векторов и называется такойвектор, сумма которого с вектором равнавектору .ВычитаниеB A Правило трех точек C Правило трех точекЛюбой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки.А B K Сложение с противоположнымРазность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору .А B O Умножение вектора на числоСвойства
СвойстваСкалярное произведениеСкалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.Справедливые утверждения Вычисление скалярного произведения в координатах Свойства скалярного произведения Справедливые утверждения
равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярныего длиныДоказательство O A B α O B A O B A 10.20.30.40.(переместительный закон) (распределительный закон) (сочетательный закон) Разложение вектора
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамТеорема.Любой вектор можно разложить по двумданным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.ДоказательствоДоказательство теоремыO A A1 B P
Тогда , где y – некоторое число. Следовательно, т.е. разложен по векторам и . Доказательство теоремы
Отметим О – произвольную точку.Доказательство теоремыДопустим:Тогда:- Разложение вектора по трем некомпланарным векторамЕсли вектор p представлен в видегде x, y, z – некоторые числа, то говорят, что векторразложен по векторам , и .Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.ТеоремаЛюбой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.ДоказательствоДоказательство теоремыС O A B P1 P2 P Доказательство теоремыДопустим:Тогда:- Базисные задачиВектор, проведенный в середину отрезка Вектор, проведенный в точку отрезка Вектор, соединяющий середины двух отрезков Вектор, проведенный в центроид треугольника Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда Вектор, проведенный в середину отрезка,С A B O Доказательство равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы. ДоказательствоС A B O Вектор, проведенный в точку отрезкаС A B O m n Доказательство Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п. ДоказательствоС A B O m n Вектор, соединяющий середины двух отрезков,С A B D M N С A B D M N Доказательство равен полусумме векторов, соединяющих их концы. ДоказательствоС A B D M N Вектор, проведенный в центроид треугольника,Центроид – точка пересечения медиан треугольника.С O A B M Доказательство равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника. ДоказательствоС O A B M K Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,A B C D O M Доказательство равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма. ДоказательствоA B C D O M Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,C A B D A1 B1 C1 D1 Доказательство равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины. ДоказательствоC A B D A1 B1 C1 D1
переход к следующему слайдувозврат к содержаниювозврат к подтемевозврат с гиперссылокПроверь себя
Устные вопросыСправедливо ли утверждение:а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны?б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены?в) любые два равных вектора коллинеарны?г) любые два сонаправленных вектора равны?д)е) существуют векторы , и такие, чтои не коллинеарны, и не коллинеарны, аи коллинеарны?Ответы Ответыа) ДАб) НЕТ (могут быть и противоположно направленными)в) ДАг) НЕТ (могут иметь разную длину)д) ДАе) ДАB А C D A1 B1 C1 D1 M1 M2 Решение РешениеB А C D A1 B1 C1 D1 M1 M2 Разложите вектор по , и :а)б)в)г)РешениеA B C D N Решениеа)б)в)г)Упростите выражения:а)б)в)г)д)е)РешениеРешениеа)б)в)г)д)е)Вычислить скалярное произведение векторов: C A B D A1 B1 C1 D1 Решение C A B D A1 B1 C1 D1 O1 Вычислить скалярное произведение векторов: Решение РешениеРешениеРешениеC A B D A1 B1 C1 D1 O1 |