64_90_Глава 4 Векторная алгебра. Векторная алгебра

• Название: Векторная алгебра
• Дата: 08.11.2020
• Размер: 0.89 Mb.
• Имя файла: 64_90_Глава 4 Векторная алгебра.docx
• Тип: Глава; #148830
• страница: 1 из 4

Глава 4 Векторная алгебра
§1 -мерные векторы в линейном пространстве . Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Скалярное произведение векторов
Вектором называется упорядоченный набор из действительных чисел, записываемый в виде , где -й элемент (или i-я координата) вектора х.

Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, - двумерный вектор, - трехмерный, - пятимерный, - -мерный вектор.

Векторы равны только в том случае, если они имеют одну и ту же размерность и равные соответствующие координаты. Отсюда следует, что координаты вектора нельзя менять местами: так, .

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю: .

Произведением вектора на действительное число называется вектор

,

т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Зная вектор , можно получить противоположный вектор .

Суммой векторов и называется вектор

,

т.е. при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются.

Очевидно, что



т.е. сумма противоположных векторов дает нулевой вектор.

Используя понятие противоположного вектора, можно определить операцию вычитания векторов:



,

т.е. при вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются.

Нетрудно заметить, что линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1⁰ .

2⁰ .

3⁰ .

4⁰ .

5⁰ .

6⁰ .

7⁰ .

8⁰ .

Скалярным произведением двух векторов в и называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов

. (11)

Нетрудно проверить, что скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1⁰ , причем лишь при .

2⁰ .

3⁰ .

4⁰ .

Среди скалярных произведений особое место занимает скалярный квадрат:

.

Нормой (длиной) вектора в называется число, равное квадратному корню из скалярного произведения вектора самого на себя

, (12)

Некоторое множество образует линейное пространство, если для любых двух его элементов и определена операция сложения и для каждого элемента и любого действительного числа определено произведение , причем эти операции удовлетворяют свойствам 1⁰ – 8⁰.

Подмножество линейного пространства называют линейным подпространством, если выполнены следующие два условия:

1. 
   сумма любых двух векторов из принадлежит : ;
   
2. 
   произведение любого вектора из на любое действительное число снова принадлежит : .
   

Таким образом, множество -мерных векторов с действительными координатами образует линейное векторное пространство.

Линейное пространство называется евклидовым , если в нем определено скалярное произведение, удовлетворяющее свойствам 1⁰ – 4⁰. Так как для -мерных векторов скалярное произведение определено, то все множество -мерных векторов образует евклидово пространство.

Линейной комбинацией векторов из называется сумма вида

,

где - действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Линейная комбинация векторов является вектором.

Система векторов называется линейно зависимой, если их линейная комбинация равна нулевому вектору при хотя бы одном из коэффициентов линейной комбинации отличном от нуля. Т.е. векторы - называются линейно зависимыми, если равенство

, при ,

выполняется при хотя бы одном из коэффициентов линейной комбинации, отличном от нуля.

Смысл зависимости между векторами ясен из следующей теоремы.

Теорема 1 Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Теорема 2 (обратная) Если один из векторов данной системы можно представить в виде линейной комбинации остальных, то такая система векторов линейно зависима.

Система векторов называется линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулевому вектору при всех нулевых коэффициентах линейной комбинации. Иными словами, векторы называются линейно независимыми, если равенство



возможно лишь тогда, когда .

Базисом называется упорядоченная система линейно независимых векторов, через которые выражается любой вектор пространства.

Теорема 3 Если в векторном пространстве выбран какой-либо базис, то любой вектор этого пространства можно однозначно представить в виде линейной комбинации векторов базиса (такое представление называется разложение вектора по данному базису).

Матрицей перехода от старого базиса к новому называется матрица , по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе. Таким образом, старый и новый базисы связаны матричным равенством

.

При таких обозначениях координаты вектора в старом базисе связаны с координатами того же вектора в новом базисе равенствами , или в матричной записи

.

Теорема Для любых векторов евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского

.

Углом между ненулевыми векторами и в евклидовом пространстве называют значение на отрезке от 0 до , определяемое равенством

.

Два вектора в евклидовом пространстве называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Теорема (Теорема Пифагора) Если векторы и из евклидова пространства ортогональны, то

.

Систему векторов евклидова пространства называют ортогональной, если любые два вектора из этой системы ортогональны.

Ортогональный базис называют ортонормированным, если каждый вектор этого базиса имеет норму (длину), равную единице.
Практическое занятие № 7
Задание 1 Является ли линейно зависимой система векторов:

1) 2) и , ; ;

3) , , .

Решение. 1) , , .

Составим линейную комбинацию векторов на числа , т.е. .



Так как все числа равны 0, то система векторов линейно независимая.

2) .

Составим линейную комбинацию векторов и на числа , т.е. .



Следовательно, система векторов и - линейно независимая.

3) , .

.





Пусть , тогда .

Таким образом, мы нашли совокупность чисел, отличных от нуля , при которых линейная комбинация будет равна 0 (нулевому вектору), т.е.

Мы доказали, что векторы , и - линейно зависимые.

Так как векторы линейно зависимы, то любой вектор можно выразить через остальные векторы.

Например, или или .

Ответ. 1) нет; 2) нет; 3) да.
Задача 2 Выяснить, образуют ли базис векторы , : , , .

Решение. Базисом называется система линейно независимых векторов, через которые можно выразить любой вектор пространства.

Докажем, что вектора , линейно независимые.

Составим линейную комбинацию векторов и найдем числа .

.

,



.

, , .

Таким образом - бесчисленное множество решений, а следовательно, , - линейно зависимы, т.е. векторы , не могут образовывать базис.

Ответ. нет.
Задача 3 Найти координаты вектора в базисе , : , , , .

Решение.

Разложим вектор по векторам , :

.

,



.

.

.

.

.

Таким образом, .

Ответ. Да. .

Задача 4 Задано линейное пространство при . Определить угол между векторами и .

Решение. ; ; ; ; .
Задача 5 Рассматривается евклидово пространство непрерывных функций , , , … на отрезке . Скалярное произведение определено равенством . Найти угол между векторами , .

Решение. Имеем . Нетрудно заметить, что , так как подынтегральная функция является нечетной. Следовательно, векторы и ортогональны.
Задача 6 Задано евклидово пространство при . Проверить справедливость теоремы Пифагора для ортогональных векторов и .

Решение. Имеем

, ;

; .

Итак, .

Задача 7 В евклидовом пространстве непрерывных функций рассматриваются два вектора: . Найти значение , при котором векторы и ортогональны на отрезке [0, 1], и проверить справедливость теоремы Пифагора для этих векторов.

Решение. Составим скалярное произведение

.

Из условия определяем ; имеем , откуда .

Найдем теперь длины векторов и :

,

,

.

Таким образом, , , , т.е. .
Задача 8 Приведем примеры линейных пространств:

- множество всех свободных векторов в пространстве (на плоскости) с линейными операциями над векторами – линейное пространство, так как верны все аксиомы линейного пространства;

- множество всех геометрических векторов в пространстве с началом в данной точке и параллельных данной плоскости с линейными операциями над векторами является линейным пространством;

- множество матриц типа , элементами которых являются действительные числа, с линейными операциями над матрицами также удовлетворяет всем аксиомам линейного пространства;

- множество матриц-строк (матриц-столбцов) длины является линейным пространством относительно матричных операций сложения и умножения на число (это частный случай предыдущего примера);

- множество многочленов переменного степени, не превышающей , которые как функции можно складывать и умножать на действительные числа;

- множество всех решений данной однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Решения можно рассматривать как матрицы-столбцы, складывать и умножать на числа по законам матричных операций. Столбец, получаемый в результате сложения решений или умножения решения на число, снова будет решением системы. Поэтому определены операции, подчиняющиеся аксиомам линейного пространства;

- множество функций, непрерывных на отрезке, с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число. При сложении непрерывных функций получаем непрерывную функцию, при умножении непрерывной функции на число также получаем непрерывную функцию. Поэтому сложение функций и умножение функций на число, не выводящие за пределы множества непрерывных на отрезке функций, можно рассматривать как операции линейного пространства. Легко убедиться, что для этих операций верны все аксиомы линейного пространства.
Домашнее задание № 7
Задание 1 Будет ли система векторов линейно зависимой.

а) , , ;

б) , , .

Ответ. а) да; б) да.
Задание 2 Выяснить, образуют ли векторы , , базис пространства .
Задание 3 Убедиться, что векторы , , базис пространства и найти координаты вектора относительно нового базиса .
Задание 4 Найдите угол между векторами и в евклидовом пространстве .

Ответ. .
Задание 5 Является ли линейным подпространством соответствующего векторного пространства каждая из следующих совокупностей векторов:

а) все векторы -мерного векторного пространства, координаты которых – целые числа?

б) все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат и ?

в) все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой?

г) все векторы плоскости трехмерного пространства, концы которых не лежат на данной прямой.

Ответ. а) не является; б) не является;

в) является; г) не является.

Задание 6 Является ли линейным пространством множество систем четырех действительных чисел , , , где - всевозможные действительные числа? Сложение элементов и умножение на действительное число определены обычно.

Ответ. Да.

Задача 7 Образует ли линейное пространство множество элементов , , ?

Ответ. Нет, т.к. сумма двух элементов множества не является элементом данного множества.

Задача 8 Образует ли линейное пространство множество всевозможных многочленов второй степени , , , …?

Ответ. Нет, так как сумма двух многочленов второй степени может быть многочленом первой степени или постоянной величиной.
Задача 8 Образует ли линейное пространство множество всех многочленов не выше третьей степени?

Ответ. Да.