64_90_Глава 4 Векторная алгебра. Векторная алгебра

• Название: Векторная алгебра
• Дата: 08.11.2020
• Размер: 0.89 Mb.
• Имя файла: 64_90_Глава 4 Векторная алгебра.docx
• Тип: Глава; #148830
• страница: 3 из 4

§ 3 Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл векторов и смешанного произведения
Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую (левую) тройку, если с конца вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, (соотв. По часовой стрелке) (рисунок 17).



правая тройка левая тройка





Рисунок 17
Векторным произведением неколлинеарных векторов и называют вектор , определяемый условиями:

1. 
   вектор перпендикулярен векторам и , т.е. , ;
   
2. 
   длина вектора произведению длин векторов и на синус угла между ними.
   

, . (19)

Векторы , и образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается или .

Если векторы и коллинеарны (в частности, один из этих векторов нулевой), то по определению .
Свойства векторного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , если (или , или ). В частности .
Формула векторного произведения двух векторов и .
, или . (20)
Геометрический смысл векторного произведения двух векторов:
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, равна длине векторного произведения:

. (21)



Площадь треугольника:

. (22)
Смешанным произведениемтрех векторов , и называется число равное скалярному произведению вектора на вектор . (23)
Обозначение: .

Таким образом:

.

Смешанное произведение векторов , и положительно, если данные векторы образуют правую тройку, и отрицательно – если левую.

Свойства смешанного произведения:

1. , т. е. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов;

2. , т. е. смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного умножения;

3. , т.е. смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых векторов-сомножителей;

4. , если , и компланарны (в частности, если любые два из перемножаемых вектора коллинеарны).

Если векторы , и заданы своими координатами , , , то

(24)

- формула смешанного произведениях трех векторов , и .

Если , то , , - правая тройка; - левая.
Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов
Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах, равен модулю смешанного произведения трех векторов , и

. (25)
Объем треугольной пирамиды:

. (26)

Три (и более) вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в ||-ных плоскостях.
Признак компланарности трех векторов
Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т.е. .

- компланарны . (27)
Практическое занятие № 9
Задание 1 Найти 1) , 2) ;

3) ; 4) ).

если и .

Решение. , .

1) .

2)

.

3) и 4) решите самостоятельно.

Ответ. 1) ; 3) ;

2) ; 4) .
Задание 2 Найти площадь параллелограмма, с вершинами в точках , , , .

Решение. Используя геометрический смысл векторного произведения двух векторов найдем площадь параллелограмма

.

, .

AB


DC

Сначала вычислим векторное произведение двух векторов и :





.



ед².

Ответ. .
Задание 3 Определить площадь треугольника, построенного на векторах и .

Решение. Вычислим площадь треугольника, используя геометрический смысл векторного произведения двух векторов и : , .

.

, .

ед².

.

Ответ.
Задание 4 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и . , , , , .

Решение. .



.



.

.

Ответ. .
Задание 5 Найти , если , , .

Решение. Используя формулу (24) вычислим смешанное произведение трех векторов , .

.

Ответ. .
Задание 6 Выяснить какова ориентация тройки векторов , , .

Ответ. левая.
Задание 7 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Решение. Используя геометрический смысл смешанного произведения трех векторов , , , вычислим объем:

.

Сначала найдем смешанное произведение трех векторов :

.

.

Ответ. .
Задание 8 Доказать, что 4 точки , , , лежат в одной плоскости.

Решение. , , .

Точки лежат в одной плоскости, если три вектора - компланарны, а по признаку компланарности трех векторов смешанное произведение трех векторов должно быть равно 0, т.е. .

.

Ответ. Точки лежат в одной плоскости.