64_90_Глава 4 Векторная алгебра. Векторная алгебра

• Название: Векторная алгебра
• Дата: 08.11.2020
• Размер: 0.89 Mb.
• Имя файла: 64_90_Глава 4 Векторная алгебра.docx
• Тип: Глава; #148830
• страница: 2 из 4

§ 2 Векторы. Операции над векторами в V² и V³. Скалярное произведение векторов
Вектором в и называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке и концом в точке обозначается символом (или одной буквой, , , …). Длина отрезка называется длиной, или модулем вектора и обозначается , . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается или просто 0.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через .

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортомвектора а и обозначается . Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположные направления. Вектор, противоположный вектору а, обозначается ; вектор противоположен вектору ( ).


Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают .
Два коллинеарных вектора и называются равными( = ), если они сонаправлены и имеют равные длины.

Совместим параллельным переносом начала неколлинеарных векторов и . Начало и концы векторов образуют вершины треугольника. Углом между векторами и называется угол при вершине этого треугольника, соответствующий началу векторов. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен нулю; если противоположно направлены – угол между ними равен 180°.

Суммойдвух векторов и называется вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , отложенного от конца вектора .

Обозначение: .

Для геометрического представления суммы векторов используют правила «треугольника» и «параллелограмма», проиллюстрированные на рисунках 14 и 15 соответственно.

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что . Обозначение: . Справедливо равенство .




А


О В

Рисунок 14








О



Рисунок 15
Произведением вектора на число называется вектор, который имеет длину , его направление совпадает с вектором , если и противоположное направление, если .

Обозначение: .

Отметим, что , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них есть произведение другого на некоторое число, т.е. , - число (признак коллинеарности векторов).

Три ненулевых вектора , , компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, например, ( - числа не равные нулю одновременно) (признак компланарности векторов).

Если , , - орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz,то любой вектор единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами а_х, а_уи a_z: .Коэффициенты а_х, а_уи a_zлинейной комбинации называют координатами вектора в базисе , , . Координаты а_х, а_у, a_zвектора - это его проекции на соответствующие координатные оси. Вектор с координатами а_х, а_у, a_zзаписывают в виде . Длина вектора определяется по формуле

,

где (проекция вектора на ось ОХ),

(проекция вектора на ось ОY),

(проекция вектора на ось ОZ).

Вектор образует с координатными осями Ох, Оу и Ozуглы , и соответственно. Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов: , , для которых справедливы равенства

, , . (13)

Направляющие косинусы связаны соотношением

. (14)

Пусть даны два вектора и . Тогда:

1) векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т.е.

(15)

2) векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

. (16)

При сложении векторов их одноименные координаты складывающем, вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число – умножаются на это число:

,



Вектор , соединяющий начало координат с произвольной точкой пространства называется радиус-векторомточки М. Координаты точки – это координаты ее радиус-вектора или . Если вектор задан точками и то его координаты а_х, а_у, a_zвычисляются по формулам , , :

.
1 Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рисунок 16).
Обозначение: .

Таким образом,

. (17)






) φ




Рисунок 16
Свойства скалярного произведения:

1. .

2.

3. .

4. .

5. (или , или ). В частности: .

Векторы и заданы своими координатами и .


2 Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное сумме произведений их координат

. (18)
Практическое занятие № 8
Задача 1 Даны два вектора и . Построить векторы: , ; .
Задача 2 Вычислите направляющие косинусы .

Решение. , , .



, , .

Ответ: .
Задача 3 Может ли с координатными осями составлять следующие углы:

1) ; 2) ;

3) .

Решение. .

1)

.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.
Задача 4 Проверить коллинеарность векторов и .

Решение. .

.

Ответ. нет.
Задача 5 При каких значениях и : и ?

Решение.



Ответ: .

Задача 6 Известно: , . Вычислить:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Решение. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д)

.

Ответ: а) 9; б) 16; в) – 6; г) 13; д) – 61; е) 73.
Задача 7. Проверить при каком значении векторы и взаимноперпендикулярны?

Решение. .

, .

.

Ответ: .
Задача8 Вычислить косинус угла, образованного векторами и .

Решение. По формуле (17), выразим косинус угла между двумя векторами и :

.

,

,

,

т.о. .

Ответ: .
Задача 9 Даны вершины треугольника , , . Определите внутренний угол при вершине В.

Решение. , .

В



А С

.
Ответ: .
Задача 10 Вектор , коллинеарный вектору образует острый угол с осью OZ. Зная, что , найти его координаты.

Решение. , .





,

,

,

.

,

.

,

.

Ответ: .
Задание 11 Найти , зная, что он перпендикулярен к векторам и и удовлетворяет условию .

Решение. , , .

, , .



.

, ,

.

, , .

Ответ: .
Задание 12 Даны три вектора , и . Найти , удовлетворяющий условиям ; ; .

Решение. .



.

,

, .

.

Ответ. .
Домашнее задание № 8
Задание 1 Найдите орт-вектор для векторов:

1) ; 2) .

Ответ. 1) ; 2) .
Задание 2 Вычислите направляющие косинусы .

Ответ. .
Задание 3 1) Может ли составлять с двумя координатными осями следующие углы: а)  ; б) ; в) .

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

2) Вектор составляет с осями Ох и Оу следующие углы и . Какой угол он составляет с осью Оу?

Ответ: либо , либо .
Задание 4 1) Даны точки . Будут ли точки А, B, C, D образовывать трапецию?

Ответ: нет.
2) Проверить , если

.
Задание 5 Известно, что ; ; , .

Вычислить: а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответ: а) – 62; б) – 114; в) 162; г) 373.
Задание 6 Даны вершины треугольника , и . Определите внутренние угла треугольника АВС.

Ответ. ; ; .

Задание 7 Найти координаты , если , и удовлетворяет условию .

Ответ: .

Задание 8 Вектор , перпендикулярный к векторам и , и образует с осью OY тупой угол. Найти координаты , зная, что .

Ответ. .