понятие величины. Величины и их измерение

• Название: Величины и их измерение
• Дата: 18.04.2022
• Размер: 52.35 Kb.
• Имя файла: понятие величины.docx
• Тип: Документы; #481737

ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ

1. Понятие величины. Основные свойства однородных величин.

2. Измерение величины. Численное значение величины.

3. Длина, площадь, масса, время.

4. Зависимости между величинами.
4.1. Понятие величины

Величина – одно из основных математических понятий, воз­никшее в древности и в процессе длительного развития подверг­шееся ряду обобщений. Длина, площадь, объем, масса, скорость и многие другие – все это величины.

Величина — это особое свойство реальных объектов или явле­ний. Например, свойство предметов «иметь протяженность» назы­вается «длиной». Величину рассматривают как обобщение свойств некоторых объектов и как индивидуальную характеристику свой­ства конкретного объекта. Величины можно оценивать количест­венно на основе сравнения.

Например, понятие длины возникает:

1. 
   при обозначении свойств класса объектов («многие окружающие нас предметы имеют длину»);
   
2. 
   при обозначении свойства конкретного объекта из этого
   класса («этот стол имеет длину»);
   
3. 
   при сравнении объектов по этому свойству («длина стола
   больше длины парты»).
   

Однородные величины – величины, которые выражают одно и то же свойство объектов некоторого класса.

Разнородные величины выражают различные свойства объ­ектов (один предмет может иметь массу, объем и др.).

Свойства однородных величин:

1. Однородные величины можно сравнивать.

Для любых величин а и b справедливо только одно из отно­шений: а <b, а>b, а = b.

Например, масса книги больше массы карандаша, а длина ка­рандаша меньше длины комнаты.

2. Однородные величины можно складывать и вычитать. В
результате сложения и вычитания получается величина того же рода.

Величины, которые можно складывать, называются аддитив­ными. Например, можно складывать длины предметов. В резуль­тате получается длина. Существуют величины, которые не явля­ются аддитивными, например, температура. При соединении воды разной температуры из двух сосудов, получается смесь, темпера­туру которой нельзя определить сложением величин.

Мы будем рассматривать только аддитивные величины.

Пусть: а – длина ткани, b – длина куска, который отрезали, тогда: (а - b) – длина оставшегося куска.

3. Величину можно умножать на действительное число. В
результате получается величина того же рода.

Пример: «Налей в банку 6 стаканов воды».

Если объем воды в стакане – V,то объем воды в банке – 6V.

4.Однородные величины делят. В результате получается не­отрицательное действительное число, его называют отношением величин.

Пример: «Сколько ленточек длиной b, можно получить из ленты длиной а ?» (х = а : b )

5. Величину можно измерить.

4.2. Измерение величины

Сравнивая величины непосредственно, мы можем установить их равенство или неравенство. Например, сравнивая полоски по длине наложением или приложением, можно установить, равны они или нет:

- если концы совпадают, то полоски имеют равную длину;

- если левые концы совпадают, а правый конец нижней полоски выступает, то ее длина больше.

Для получения более точного результата сравнения величины измеряют.

Измерение заключается в сравнении данной величины с неко­торой величиной, принятой за единицу.

Измеряя массу арбуза на весах, сравнивают ее с массой гири.

Измеряя длину комнаты шагами, сравнивают ее с длиной шага.

Процесс сравнения зависит от рода величины: длину измеря­ют с помощью линейки, массу — используя весы. По каким бы ни был этот процесс, в результате измерения получается определен­ное число, зависящее от выбранной единицы величины.

Цель измерения – получить численную характеристику дан­ной величины при выбранной единице.

Если дана величина а и выбрана единица величины е, то в ре­зультате измерения величины а находят такое действительное число х, что а = х • е. Это число х называют численным значе­нием величины а при единице величины е.

Примеры:

1) Масса дыни 3кг.

3кг = 3∙1 кг, где 3 – численное значение массы дыни при единице массы 1кг.

2) Длина отрезка 10см.

10см = 10 • 1см, где 10 – численное значение длины отрезка при единице длины 1см.

Величины, определяемые одним численным значением, назы­ваются скалярными (длина, объем, масса и др.). Существуют еще векторные величины, которые определяются численным значе­нием и направлением (скорость, сила и др.).

Измерение позволяет свести сравнение величин к сравнению чисел, а действия с величинами – к действиям над числами.

1. Если величины аиb измерены при помощи единицы ве­личины е, то отношения между величинами аиbбудут такими же, как и отношения между их численными значениями (и наобо­рот):

Пусть а = т • е, b = п • е , тогда a=b<= > m = n,

а > b< = > т > п ,

а < b< = > т < п .

Пример: «Масса арбуза 5кг. Масса дыни 3кг. Масса арбуза больше массы дыни, т.к. 5>3».

2. Если величины аиbизмерены при помощи единицы вели­чины е, то чтобы найти численное значение суммы (а + b), достаточно сложить численные значения величин а и b.

Пусть а=т • е, b=п • е, с=k • е, тогда а + b=с < = > т + п = k.

Например, для определения массы купленного картофеля, наcыпанного в два мешка, необязательно ссыпать их вместе и взве­шивать, достаточно сложить численные значения массы каждого мешка.

3. Если величины а и bтаковы, что b= х • а , где х – положительное действительное число, и величина а измерена при помощи единицы величины е, то, чтобы найти численное значение величины bпри единице е, достаточно число х умножить на численное значение величины а.

Пусть а = т • е, b = х • а , тогда b =(х • т ) • е.

Пример: «Длина голубой полоски 2 дм. Длина желтой в 3 раза больше. Какова длина желтой полоски?»

2дм • 3 = (2 • 1дм) • 3 = (2 • 3) • 1дм = 6 • 1дм = 6дм .

Дошкольники знакомятся с измерением величин сначала с по­мощью условных мерок. В процессе практической деятельности они осознают взаимосвязь величины и ее численного значения, а также численного значения величины от выбранной единицы из­мерения.

Пример:

«Измерь шагами длину дорожки от дома до дерева, а теперь от дерева до забора. Какова длина всей дорожки?».

(Дети складывают величины, пользуясь их численными зна­чениями.)

- Какова длина дорожки, измеренная шагами Маши? (5 ша­гов Маши.)

0. 
   Какова длина этой же дорожки, измеренная шагами Коли?
   (4 шага Коли.)
   
1. 
   Почему мы измеряли длину одной и той же дорожки, а получили разные результаты?
   

(Длина дорожки измерена разными шагами. Шаги Коли длин­нее, поэтому их получилось меньше).

Численные значения длины дороги отличаются из-за приме­нения разных единиц измерения.

Потребность в измерении величин возникла в практической деятельности человека в процессе его развития. Результат измере­ния выражается числом и дает возможность глубже осознать суть понятия числа. Сам процесс измерения учит детей логически мыс­лить, формирует практические навыки, обогащает познавательную деятельность. В процессе измерения дети могут получить не толь­ко натуральные числа, но и дроби.

4.3. Длина, площадь, масса, время

Длиной отрезка называется положительная величина, опреде­ленная для каждого отрезка так, что:

1. 
   Равные отрезки имеют равные длины.
   
2. 
   Если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.
   

Процесс измерения отрезка а:

0. 
   выбирают отрезок е и принимают его за единицу длины;
   
1. 
   на отрезке а откладывают от одного из его концов отрезки равные е, пока это возможно;
   
2. 
   если отрезки отложились nраз, и конец последнего совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число п.
   

а = п ∙ е

- если отрезок е отложили n раз, и остался остаток, мень­ший е, то на нем откладываются отрезки равные е₁ = 1/10 ∙ е и т.д.

Таким образом, значение длины любого отрезка можно пред­ставить в виде бесконечной десятичной дроби, т.е. действительного числа.

Некоторые свойства длин отрезков:

1. 
   При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается действительным числом, и для каждого положительного действительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом.
   
2. 
   Если два отрезка равны, то равны численные значения их длин, и обратно: если равны численные значения длин отрезков, то равны и сами отрезки.
   
3. 
   При замене единицы длины численное значение длины уве­личивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая еди­ница меньше (больше) старой.
   

Например, 1 м = 100 см, т.к. 1 см в 100 раз меньше метра. Пример заданий для дошкольников:

1) Найди две полоски равные по длине (способом наложения).
Длина красной полоски 2 дм. Какова длина синей полоски?

Почему? Проверь, измерь. (Длина синей полоски 2 дм, пото­му, что ее длина равна длине красной полоски, а длина красной полоски 2 дм.)

2) Маша и Коля измеряют длину одной дорожки шагами. Шаг
Коли длиннее шага Маши. У кого число шагов получится больше?

(У Маши число шагов будет больше.)

Понятие о площади фигуры имеет любой человек, при этом мы знаем и свойства этой величины: площадь квартиры слагается из площадей всех ее помещений, одинаковые земельные участки имеют одинаковую площадь.

Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что:

1. 
   Равные фигуры имеют равные площади.
   
2. 
   Если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей.
   

Процесс измерения площади (рис. 62):

- выбирают единицу площади Е (обычно квадрат со стороной, равной единичному отрезку е);

- сравнивают площадь фигуры с площадью единичного квадрата Е;

- результат сравнения обозначают числом и называют чис­ленным значением площади.
F




E
Рис.62 Рис. 63
S (F) = х • Е, где х – численное значение площади. Дошкольники могут встретиться с понятием площади и ее из­мерения, например в такой игре как «Пентамино» (рис.63).

«Представь, что это плоты. На одной клеточке помещается одинчеловек. Какой плот может перевезти больше людей? Почему?»

Некоторые свойства площадей:

1. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей (при одной и той же единице площади).

Обратное неверно (в отличии от свойств длины). Например, если фигуры F₁ и F₂, таковы, как на ри­сунке 64, то их площади равны, a сами фигуры нет.

Фигуры, у которых площади равны, называют равновеликими.



Рис. 64
2.Численное значение площа­ди фигуры равно сумме численных значений площадей ее составных частей (при одной и той же единице площади).

Например, рассмотрим рисунок: F

Если S (F₁) = 5 м² , F₁

S (F₂) =3 м², S (F) = (5+3) м² = 8 м². F₂

3. При замене единицы площади численное значение площади увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

Пример:

5 дм² = 500 см², т.к. 1 см² = 1/100 дм².

Масса – одна из основных физических величин, которая свя­зана с весом (силой, с которой тело давит на опору или оттягивает подвес в результате притяжения Земли). Массу измеряют при по­мощи весов.

Масса – это такая положительная величина, которая облада­ет свойствами:

1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах.

2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе. (Ха­рактеристика сходна с длиной и площадью, но задана на множест­ве физических тел).

Процесс измерения массы:

0. 
   Выбираем тело е, масса которого принимается за единицу
   (предполагается, что можно взять и ее доли 1/10, 1/100 и т.д.).
   
1. 
   На одну чашу весов кладут измеряемое тело, а на другую тела, выбранные в качестве единицы массы (гири) так, чтобы весы были уравновешены.
   
2. 
   Считают численное значение массы гирь, это и будет чис­ленным значением искомой массы.
   

При развитии барического чувства («чувства тяжести») дошко­льников знакомят со способами определения массы на весах, где дети сталкиваются со свойствами массы, сравнением предметов по массе, действиями с численными значениями масс. Происходит это, например, при рассматривании рисунков или реальных предметов: рисунок 1:

На левой чаше весов – 1 яблоко, на правой чаше весов – 10 желудей. Весы уравновешены.

Рисунок 2:

На левой чаше весов – 1 группа, на правой чаше весов – 6 желудей. Весы уравновешены.

Вопрос: «Что тяжелее: яблоко или груша?»

Понятие времени более сложное, чем понятие длины, площа­ди, массы. В математике и физике время рассматривают как ска­лярную величину, ее свойства похожи на рассмотренные ранее:

1) Промежутки времени можно сравнивать. («Красная Шапочка затратила больше времени па дорогу до бабушки, чем Серый Волк».)

2. 
   Промежутки времени можно складывать и вычитать. («Маша один час вырезала фигуры и один час их наклеивала. Сколько всего времени она истратила на работу?»)
   
3. 
   Промежутки времени можно умножать на число. («7 суток – это неделя»).
   

Промежутки времени измеряют. Процесс измерения времени особенный, его нельзя измерить откладыванием одной и той же мерки, как, например, длину. Поэтому единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такие единицы време­ни, как год, сутки, были взяты из природы, а час, минута, секунда придуманы человеком.

Дошкольники знакомятся с понятиями: части суток, дни не­дели, месяцы и др. Для развития «чувства времени» можно нау­чить их работать с песочными часами, секундомером, определять время по механическим часам.

Примечание: Лекция может быть закончена сообщением на тему «ИЗОБРЕТЕНИЕ КАЛЕНДАРЕЙ», предварительно подготовленным студентами.

4.4. Зависимость между величинами

Понятие величины, принимающей различные численные зна­чения, является отражением изменяемости, окружающей нас дей­ствительности.

Математика изучает взаимосвязи между различными величинами. Из школьного курса нам известны формулы, связывающие различные величины:

0. 
   площадь квадрата и длину его стороны: S = а²,
   
1. 
   объем куба и длину его ребра: V = а³,
   
2. 
   расстояние, скорость, время: S = V • t,
   
3. 
   стоимость, цену и количество: М = с • k и др.
   

Дошкольники не изучают точные связи, но встречаются со свойствами этих зависимостей. Например:

- чем длиннее путь, тем больше времени необходимо затра­тить,

- чем больше цена, тем больше стоимость товара,

- у большего квадрата сторона длиннее.

Эти свойства используются детьми в рассуждениях и помога­ют им правильно делать выводы.

4.5. История развития системы единиц величин

В истории развития единиц величин можно выделить несколь­ко периодов:

I. Единицы длины отождествляются с частями тела:

ладонь – ширина четырех пальцев,

локоть – длина руки от кисти до локтя,

фут - длина ступни,

дюйм - длина сустава большого пальца и др.

В качестве единиц площади использовались такие единицы: колодец – площадь, которую можно полить из одного колод­ца,

соха или плуг – средняя площадь, обработанная за день со­хой или плугом.

Недостаток таких единиц – нестабильные, необъективные.

II. В XIV-XVI веках появляются объективные единицы в связи сразвитием торговли:

дюйм –длина трех приставленных друг к другу ячменных зерен;

фут – ширина 64 ячменных зерен, положенных бок о бок,

карат – масса семени одного из видов бобов.

Недостаток: нет взаимосвязи между единицами величин.

III. Введение единиц, взаимосвязанных друг с другом:

Россия:

3 аршина – сажень,

500 саженей – верста,

7 верст - миля.

Недостаток: в разных странах различные единицы величин, что тормозит международные отношения, например, торговлю.

IV. Создание новой системы единиц во Франции в конце XVIII в.

Основная единица длины – метр – одна сорокамиллионная часть длины земного меридиана, проходящего через Париж, «метр» - греч. metron – «мера».

Все остальные величины были связаны с метром, поэтому но­вая система величин получила название метрической системы мер:

ар –площадь квадрата со стороной 10 м;

литр – объем куба с длиной ребра 0,1 м;

грамм – масса чистой воды, занимающей объем куба с дли­ной ребра 0,01 м.

Были введены десятичные кратные и дольные единицы с по­мощью приставок:

кило – 10³ деци – 10^-1

гекто – 10² санти – 10^-2

дека – 10¹ милли – 10^-3.

Недостаток: с развитием пауки потребовались новые единицы и более точное измерение.

V. В 196Ог. XI Генеральная конференция мер и весов приняла решение о введении Международной системы единиц СИ.

SI - система интернациональная.

В этой системе 7 основных единиц (метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела) и 2 дополнительные (радиан, стерадиан).

Эти единицы, определенные в курсе физики, не изменяются в любых условиях.

Величины, которые определяются через них, называются про­изводными величинами:

площадь – квадратный метр - м²,

объем – кубический метр – м³,

скорость – метр в секунду - м/с и др.

В нашей стране используются и внесистемные единицы:

масса – тонна,

площадь – гектар,

температура – градус Цельсия,

время – минута, час, год, век и др.

Задание: Выпишите старинные единицы величин, встречающиеся в детской литературе. Найдите в справочниках их значения в системе СИ. В каких странах они зародились?

Например, почему Дюймовочку так назвали? Чему равен 1дюйм в мм?