2 Теория вероятности. Вероятности событий

• Название: Вероятности событий
• Дата: 09.05.2023
• Размер: 493.69 Kb.
• Имя файла: 2 Теория вероятности.docx
• Тип: Документы; #1117525
• страница: 3 из 4

Задание. Ответ: 0,156

В ма­га­зи­не три про­дав­ца. Каж­дый из них занят с кли­ен­том с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни все три про­дав­ца за­ня­ты од­но­вре­мен­но (счи­тай­те, что кли­ен­ты за­хо­дят не­за­ви­си­мо друг от друга).

▼ Пусть А₁, А₂, А₃ – события, что соответствующий продавец занят. По условию, Р(А₁) = Р(А₂) = Р(А₃) = 0,3. События А₁, А₂, А₃ – независимые. Тогда ве­ро­ят­ность того, что все три про­дав­ца за­ня­ты од­но­вре­мен­но

= = (0,3)³ = 0,027.

Ответ: 0,027. ▲

Задание . Ответ: 0,88

Ответ: 0,75

Ответ: 0,2

61616661.66Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд будет пер­вой вла­деть мячом. Ко­ман­да А долж­на сыг­рать два матча - с ко­ман­дой В и с ко­ман­дой С. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в обоих мат­чах пер­вой мячом будет вла­деть ко­ман­да А.

▼ Вероятность того, что команда А будет первая владеть мячом в одном матче составляет 1/2, а в двух матчах: (1/2)² = 0,25.

 Ответ: 0,25. ▲

Задание. Ответ: 0,88

Ответ: 0,75

Ответ: 0,2

61616661.66Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд будет пер­вой вла­деть мячом. Ко­ман­да А долж­на сыг­рать три матча - с ко­ман­дой В, с ко­ман­дой С и с ко­ман­дой D. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что во всех мат­чах пер­вой мячом будет вла­деть ко­ман­да А.

▼ Вероятность того, что команда А будет первая владеть мячом в одном матче составляет 1/2, а в трех матчах: (1/2)³ = 0,125.

 Ответ: 0,125. ▲

Задание. Би­ат­ло­нист пять раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

▼ Событие А - би­ат­ло­нист попал в мишень. По условию, вероятность попадания Р(А) = 0,8, тогда вероятность промахнуться Р( ) = 0,2. События попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы. Тогда

= 0,8∙0,8∙0,8∙0,2∙0,2 = 0,02048.

Ответ: 0,02. ▲

Задание. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

▼ Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5·0,3 = 0,15.

Ответ: 0,15. ▲

Теорема сложения несовместных событий

Пример 11. В ящике лежат 10 шаров: 4 красных, 1 синий и 5 черных. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что шар красный или синий.

▼ Пусть А, В – события, что вынут красный или синий шар соответственно.

Вероятности: P(A) = 4/10 = 0,4; P(В) = 1/10 = 0,1. События А, В – несовместные. Тогда вероятность того, что вынутый шар красный или синий равна

P(A + B) = P(A) + P(В) = 0,4 + 0,1= 0,5.

Ответ: 0,5. ▲

Задание. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

▼ Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

 Ответ: 0,35. ▲

Задание. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

▼ Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».  События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду - равна нулю. Тогда

P(A + B+ С) = P(A) + P(B) + P(С)= P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,93 = P(A) + 0,87.

Тем самым, для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06.

Ответ: 0,06. ▲

Задание. Из рай­он­но­го цен­тра в де­рев­ню еже­днев­но ходит ав­то­бус. Ве­ро­ят­ность того, что в по­не­дель­ник в ав­то­бу­се ока­жет­ся мень­ше 20 пас­са­жи­ров, равна 0,94. Ве­ро­я­тность того, что ока­жет­ся мень­ше 15 пас­са­жи­ров, равна 0,56. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что число пас­са­жи­ров будет от 15 до 19.

▼ Рас­смот­рим со­бы­тия A = «в ав­то­бу­се мень­ше 15 пас­са­жи­ров» и В = «в ав­то­бу­се от 15 до 19 пас­са­жи­ров». Их сумма - со­бы­тие A + B = «в ав­то­бу­се мень­ше 20 пас­са­жи­ров». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий

P(A + B) = P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,94 = 0,56 + P(В).

Тем самым, для искомой вероятности имеем:

P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Ответ: 0,38. ▲

Задание. Ответ: 0,Стре­лок стре­ля­ет по ми­ше­ни один раз. В слу­чае про­ма­ха стре­лок де­ла­ет вто­рой вы­стрел по той же ми­ше­ни. Ве­ро­ят­ность по­пасть в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ми­шень будет по­ра­же­на (либо пер­вым, либо вто­рым вы­стре­лом).

▼ Пусть A - со­бы­тие, что ми­шень по­ра­же­на стрел­ком с пер­во­го вы­стре­ла, B - со­бы­тие, что ми­шень по­ра­же­на со вто­ро­го вы­стре­ла. Ве­ро­ят­ность P(A) = 0,7. Со­бы­тие B на­сту­па­ет, если, стре­ляя пер­вый раз, стре­лок про­мах­нул­ся, а, стре­ляя вто­рой раз, попал. Это не­за­ви­си­мые со­бы­тия, их ве­ро­ят­ность равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. Со­бы­тия A и B не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:  

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ: 0,91. ▲

Теорема сложения несовместных событий (хотя бы одно)

Пример 12. В ма­га­зи­не стоят два платёжных ав­то­ма­та. Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с ве­ро­ят­но­стью 0,05 не­за­ви­си­мо от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен.

▼ Пусть А₁, А₂ – события, что соответствующая автомат исправен. По условию, Р( ) = Р( ) = 0,05. События , – независимые, тогда

События А₁+ А₂ и - противоположные. Тогда ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен

=1 - = 1 - 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975. ▲

Задание. Ответ: 0,02

3333По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с двумя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

▼ Пусть А₁, А₂ – события, что в те­че­ние года соответствующая лампа не пе­ре­го­рит. По условию, Р( ) = Р( ) = 0,3. События , – независимые, тогда

= = 0,3∙0,3 = 0,09.

События А₁+ А₂ и - противоположные. Тогда ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

=1 - = 1 - 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91. ▲

Задание. В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,3. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,12. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

▼ Пусть А, В - со­бы­тия, что кофе закончится в соответствующем автомате. По условию: Р(А) = Р(В) = 0,3, Р(АВ) = 0,12.

Вероятность, что кофе закончится хотя бы в одном из автоматов равна сумме вероятностей наступления этих событий без вероятности их совместного наступления: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,48.

Вероятность, что кофе останется в обоих автоматах: Р( ) = 1 - P(A + B) = 1 – 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52. ▲

До первого выстрела

Пример 13. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность, что мишень будет поражена одним выстрелом.

▼ Пусть события А₁, А₂ - попадание в цель при соответствующем выстреле.

По условию Р(А₁) = Р(А₂) = 0,6. Вероятность промаха при первом выстреле: Р( ) = 1 – 0,6 = 0,4. Если цель не будет поражена при первом выстреле, то делаем второй выстрел. Вероятность попадания при втором выстреле, если промахнулись в первом: Р( ) = 0,4∙0,6 = 0,24. Вероятность попадания при первом или втором выстреле: Р( ) = 0,6 + 0,24 = 0,84.

Ответ: 0,84. ▲

Задание. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный вы-стрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем - 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,90?

▼ Пусть события А₁, А₂, А₃,… - попадание в цель при соответствующем выстреле. По условию Р(А₁) = 0,4; Р(А₂) = Р(А₃) =…= 0,6. Будем стрелять до тех пор, пока вероятность попадания не станет удовлетворять условию.

Вероятность попадания при первом выстреле: Р(А₁) = 0,4 < 0,90, т.е. необходимо делать второй выстрел. А при каком условии мы стреляем повторно?

Вероятность попадания при втором выстреле, если промахнулись в первом: Р( ) = 0,6∙0,6 = 0,36. Вероятность попадания при первом или втором выстреле Р( ) = 0,4 + 0,36 = 0,76 < 0,90, т.е. необходимо делать третий выстрел.

Вероятность попадания при третьем выстреле, если промахнулись в первых двух: Р( ) = 0,6∙0,4∙0,6 = 0,144. Вероятность попадания при первом, втором или третьем выстреле Р( ) = 0,76 + 0,144 = 0,904 > 0,90, т.е. третьем выстреле достигли нужной точности.

Таким образом потребовалось 3 выстрела.

Ответ: 3. ▲

Формула полной вероятности. Решаются построением таблицы.

Пример 14. Офис закупает канцелярию для сотрудников трех различных фирм. Причем, продукция первой фирмы составляет 40% всех поставок, а остальных двух – поровну. Чаще всего приходится закупать пишущие ручки. Опытным путем выяснилось, что 2% ручек второй фирмы – бракованные. Процент брака в первой и третьей фирме составляет 1% и 3% соответственно. Сотрудник с утра взял ручку из новой поставки канцелярии. Найдите вероятность того, что она будет исправна.

▼ Пусть событие А – взятое изделие исправное. Строим таблицу:

	1 фирма	2 фирма	3 фирма	Объем поставок
Доля поставщиков	40%=0,4	30%=0,3	30%=0,3	100%=1
Брак	1%=0,01	2%=0,02	3%=0,03

Вероятность взять бракованное изделие

Р( ) = 0,4∙0,01 + 0,3∙0,02 + 0,3∙0,03 = 0,019.

Вероятность взять исправное изделие

Р(А) = 1 – Р(А) = 1 – 0,019 = 0,981.

Ответ: 0,981. ▲

Задание. Ответ: 0,52 Две фаб­ри­ки вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вые стек­ла для ав­то­мо­биль­ных фар. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 45% этих сте­кол, вто­рая - 55%. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 3% бра­ко­ван­ных сте­кол, а вто­рая - 1%. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным.

▼ Пусть событие А – купленное стекло окажется бракованным. Строим таблицу:

	1 фабрика	2 фабрика	Объем поставок
Доля поставщиков	45%=0,45	55%=0,55	100%=1
Брак	3%=0,03	1%=0,01

Вероятность взять бракованное изделие

Р(А) = 0,45∙0,03 + 0,55∙0,01 = 0,019.

Ответ: 0,019. ▲

Задание. Ответ: 0,52 Два завода вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вые предохранители. Пер­вый завод вы­пус­ка­ет 40% предохранителей, вто­рой - 60%. Пер­вый завод вы­пус­ка­ет 4% бра­ко­ван­ных предохранителей, а вто­рая - 3%. Най­ди­те ве­ро­ят­ность, что слу­чай­но выбранный в ма­га­зи­не предохранитель ока­жет­ся бра­ко­ван­ным.

▼ Пусть событие А – выбранный в магазине предохранитель окажется бракованным. Строим таблицу:

	1 завод	2 завод	Объем поставок
Доля поставщиков	40%=0,4	60%=0,6	100%=1
Брак	4%=0,04	3%=0,03

Вероятность взять бракованное изделие

Р(А) = 0,4∙0,04 + 0,6∙0,03 = 0,034.

Ответ: 0,034. ▲