2 Теория вероятности. Вероятности событий
 Скачать 493.69 Kb.
|
|
ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЙ Испытанием называется опыт, эксперимент, наблюдение явления в определенных условиях. Испытание может привести к одному из нескольких результатов. Событие – результат (исход) испытания. Например, бросание игральной кости – испытание, а выпадение определенного числа очков – событие. События можно подразделить на три вида: случайные, достоверные и невозможные. Случайным называется событие, которое может произойти, а может и не произойти при испытании. Случайные события обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, X, Y. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в каждом испытании. Достоверные события обозначаются символом U. Невозможным называется событие, которое не происходит ни при одном испытании. Невозможные события обозначаются символом . Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих его наступлению, к числу n всех возможных случаев. Обозначение:  . Вероятность - это числовая характеристика возможности наступления какого-либо события. Свойства вероятности 1) Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.  . 2) Вероятность достоверного события равна единице, т.е.  3) Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.  Операции над событиями Суммой двух событий A, B называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из данных событий. Обозначается: А + В. Читается А или В Сумма А + В означает, что наступят событие А, или В, или оба вместе.
Произведением двух событий А, В называется событие, состоящее в одновременном появлении данных событий. Обозначается: АВ. Читается А и В. Произведение АВ означает, что наступают одновременно два события. Два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются несовместными, т.е. появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. Несколько попарно несовместных событий образуют полную группу, если в результате испытания одно из них обязательно. Например, множество выпадений числа очков при однократном бросании игральной кости  образует полную группу событий.Два несовместных события называются противоположными, если в результате испытания одно из них обязательно произойдет. Событие, противоположное событию А, принято обозначать  .Теорема. Сумма вероятностей событий А1 , А2 , ..., Аn , образующих полную группу, равна единице: Р (A1) + Р (А2) + ... + Р (Аn) = 1. Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:  , или  , т.е. вероятность противоположного события равна единице минус вероятность самого события.Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению этих вероятностей: P (AB) = P (A) P (B). Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: P(А + B) = P(А) + P(B) – Р(АВ). Замечание. Сумма двух совместных событий есть появление хотя бы одного из этих событий. События А + B и  - противоположные, поэтомуP(А + B) = 1 - P( ).Условная вероятность. Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью PA (B) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило. Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:  Задачи на классическое определение вероятности Пример 1. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. ▼ Событие А – выбор билета без вопроса по неравенствам. Всего n = 25 билетов. Благоприятствующих событию А исходов m = 25 – 10 = 15. Тогда  = 0,6.Ответ: 0,6.▲ Задание. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом. ▼ Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 2/8 = 0,25. Ответ: 0,25.▲ Замечание. Вторая девочка может сесть лишь на 8 свободных стульев. и только 2 варианта сесть рядом с первой. 8-2=6 вариантов не сесть рядом. Задание. За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом. ▼ Посадим первую девочку за стол. Таким образом у нас останется 1 девочка и 16 стульев. Сесть она может только на два стула - по обе стороны от уже сидящей девочки. Отсюда вероятность того, что девочки сядут рядом: 2/16=1/8=0,125 Ответ: 0,125▲ Задание. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом. ▼ Допустим, что первая девочка уже села на какой-то определенный стул. Тогда, чтобы вторая девочка оказалась рядом с ней она должна сесть либо слева, либо справа от первой девочки. Имеем m=2 благоприятных исхода. Всего возможных исходов n=9-1=8 (так как первая девочка уже сидит на одном стуле). Таким образом, искомая вероятность, равна:  .Ответ: 0,25. Замечание. Пусть первой за стол сядет девочка на любое из девяти мест, тогда рядом с ней есть два места, (m=2 — количество благоприятных вариантов), на каждое из которых претендует 8 человек (n=8 - общее количество вариантов).Таким образом, по формуле классической вероятности, вероятность того, что девочки будут сидеть рядом равна P=m/n=2/8=0,25.  Задание. В группе туристов 50 человек. Их микроавтобусом в несколько приёмов завозят к отправной точке маршрута по 10 человек за рейс. Порядок перевозки туристов случаен. Найдите вероятность того, что турист П отправится в первом рейсе микроавтобуса. ▼ Событие А – турист П отправится в первом рейсе микроавтобуса. Общее число исходов турист П. отправится в первом рейсе микроавтобуса n = 50 (общее число мест), благоприятных исходов m = 10 (число мест на первом рейсе). Тогда  = 0,2.Ответ: 0,2.▲ Задание. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. ▼ Событие А – турист П полетим первым рейсом вертолета. Общее число рейсов n = 30 : 6 = 5. Благоприятствующим будет только m = 1. Тогда  = 0,2.Ответ: 0,2.▲ Задание. В классе 25 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек, которые должны пойти на митинг. Найдите вероятность того, что обучающийся в этом классе ученик К., пойдёт на митинг. ▼ Событие А – ученик К пойдет на митинг. Общее число исходов n = 25, благоприятных исходов m = 3. Тогда  = 0,12.Ответ: 0,12.▲ Пример 2. Фабрика выпускает сумки. В среднем из 100 сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. ▼ Событие А – купленная сумка качественная. Всего n = 100 сумок. Качественных m = 100 – 8 = 92 сумок. Тогда  = 0,92.Ответ: 0,92. ▲ Задание. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. ▼ Событие А – купленная сумка качественная. Всего n = 100 + 8 = 108 сумок (100 качественных и 8 с дефектами). Качественных m = 100 сумок. Тогда  = 0,93.Ответ: 0,93. ▲ Пример 3. В ящике 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из ящика наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым? ▼ Событие А – шар окажется желтым. Общее число исходов n = 20. Благоприятствующих событию А исходов m = 6. Тогда  = 0,3.Ответ: 0,3.▲ Задание. В ящике 2 зеленых, 3 красных и 5 синих шаров. Из ящика наугад достают один шар. Какова вероятность, что шар: а) зелёный; б) не зеленый ? ▼ Общее число исходов n = 10. а) Событие А – шар окажется зеленым. Благоприятствующих событию А исходов m = 2. Тогда  = 0,2.б) Событие А – шар окажется не зеленым. Благоприятствующих событию А исходов m = 3 + 5 = 8. Тогда  = 0,8.Ответ: 0,2; 0,8.▲ Задание. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше. ▼ Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19. Ответ: 0,19.▲ Задание. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых. ▼ Пусть завод произвел х тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% не выявленных дефектных тарелок: 0,9х + 0,2∙0,1х = 0,92х тарелок. Поскольку качественных из них 0,9х, вероятность купить качественную тарелку равна  ≈ 0,98.Ответ: 0,98. ▲ Пример 4. Монета подбрасывается один раз. Найти вероятность выпадения герба. ▼ Пусть А – искомое событие. Исходы: {Г, Р}, n = 2. Благоприятные: А = {Г}, m = 1. Тогда  = 0,5.Ответ: 0,5.▲ Пример 5. Монета подбрасывается два раза. Найти вероятность, что герб выпадет: а) ни разу; б) хотя бы один раз; в) только один раз. ▼ Исходы: {ГГ, ГР, РГ, РР}, n = 22 = 4. а) Благоприятные: А1 = {РР}, m = 1. Тогда  = 0,25.б) Благоприятные: А2 = {ГГ, ГР, РГ}, m = 3. Тогда  = 0,75, или так:  = 1 – 0,25 = 0,75.в) Благоприятные: А3 = {ГР, РГ}, m = 2. Тогда  = 0,5.Ответ: 0,25; 0,75; 0,5.▲ Задание. Монета подбрасывается три раза. Найти вероятность, что герб выпадет: а) ни разу; б) хотя бы один раз; в) только один раз. ▼ Составим таблицу всех возможных исходов
Общее число исходов: n = 23 = 8. а) Благоприятные: А1 = {РРР}, m = 1. Тогда  = 0,125.б) Благоприятные: = 1 – 0,125 = 0,875.в) Благоприятные: А3 = {ГРР, РГР, РРГ}, m = 3. Тогда  = 0,375.Ответ: 0,125; 0,875; 0,375.▲ Задание. Монета подбрасывается четыре раза. Найти вероятность, что герб выпадет: а) ни разу; б) хотя бы один раз; в) только один раз. ▼ Составим таблицу всех возможных исходов
Общее число исходов: n = 24 = 16. а) Благоприятные: А1 = {РРРР}, m = 1. Тогда  = 0,0625.б) Благоприятные: = 1 – 0,0625 = 0,9375.в) Благоприятные: А3 = {ГРРР, РГРР, РРГР, РРРГ}, m = 4. Тогда  = 0,25.Ответ: 0,0625; 0,9375; 0,25.▲ |
