Вопросы по курсу Дискретная математика
![]()
|
Вопросы по курсу «Дискретная математика». Множества. Отношения. Функции Множества (конечные и бесконечные). Понятие множества нельзя определить через более общие понятия, так как таких понятий в математике нет. Понятие множества является настолько общим, что для него невозможно дать формальное определение. Интуитивно, под множеством понимается совокупность различных объектов, объединенных по какому-то одному или нескольким признаков. Объекты, составляющие множество, называются элементами. Тот факт, что объект x принадлежит множеству A, передается записью x ![]() ![]() Если множество содержит конечное число элементов, то говорят, что оно конечно, в противном случае множество называется бесконечным. Число элементов конечного множества A называется мощностью множества A и обозначается |A|. В дальнейшем мы будем различать общий (текущий) элемент x множества A, т.е. произвольный элемент, характеризующийся единственным свойством “принадлежать множеству A”, и конкретные элементы a, b, c каждый из которых отличен от других. Множество A, состоящее из элементов a,b,c,... записывается A={a,b,c,...}. Подмножества. Понятие подмножества возникает тогда, когда необходимо рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества. Множество B называется подмножеством множества A, если всякий элемент множества B является элементом множества A. Запись B ![]() Определённое ранее пустое множество по определению является подмножеством любого множества. По определению пустое множество является конечным. По определению множество является подмножеством самого себя, A ![]() Таким образом, у каждого множества (кроме пустого) есть по крайней мере два подмножества - само множество и пустое. Важным понятием является понятие подмножества. Понятие подмножества всегда применяется к паре множеств. Определение Говорят, что множество А является подмножеством множества В (пишут А ![]() ![]() Теорема Для того, чтобы множество А являлось подмножеством множества В, необходимо и достаточно, чтобы A\B = Ø. Множество всех подмножеств множества А обозначают 2A. Ясно, что Ø ![]() ![]() Пример Пусть А = {1,2,3}. Ясно, что 2A = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}. Операции над множествами и их свойства. Алгебраическими операциями называют такие, при выполнении которых результирующее множество либо пусто, либо состоит из элементов, из которых состоят и множества, подвергающиеся операциям. Кардинальными операциями называют такие операции, при выполнении которых появляются новые элементы. Основными алгебраическими операциями над множествами являются следующие: - пересечение множеств, - объединение множеств. -разность множеств. Пусть А и В - произвольные множества. Их пересечением называется множество А ![]() ![]() ![]() Объединением множеств А и В называется множество А ![]() ![]() ![]() Разностью множеств А и В называется множество А\В={x|x ![]() ![]() Используя понятие универса, можно ввести еще две операции над множествами - дополнение и симметрическую разность множеств. Дополнением множества А (до универса J) называется множество ![]() ![]() ![]() ![]() Симметрической разностью множеств А и В называется множество А ![]() ![]() Если А ![]() ![]() Геометрическое изображение. Определение Дополнением ко множеству А относительно универсального множества I называется множество, обозначаемое Ā, определяемое ![]() ![]() |