Эконометрика в Excel (часть 2). Ю. Е. Воскобойников

• Название: Ю. Е. Воскобойников
• Дата: 29.11.2022
• Размер: 1.67 Mb.
• Имя файла: Эконометрика в Excel (часть 2).pdf
• Тип: Учебное пособие; #818575
• страница: 1 из 9

3
Э К О Н О М Е Т Р И К А В E X C E L
Часть 2
Анализ временных рядов
Ю.Е.
В
ОСКОБОЙНИКОВ
4
НОВОСИБИРСК 2008

5
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)
Ю.Е. Воскобойников
Э К О Н О М Е Т Р И К А В E X C E L
Часть 2
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
У
ЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
НОВОСИБИРСК 2008 6
УДК 330.43(075.8)
ББК 65.в6.я73
В762
Воскобойников Ю. Е.
Эконометрика в Excel : учеб. пособие. Ч. 2. Анализ временных ря- дов / Ю. Е. Воскобойников ; Новосиб. гос. архитектур.-строит. ун-т.
– Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2008. – 152 с.
ISBN 978-5-7795-0366-2
Учебное пособие содержит основные теоретические положения, необхо- димые для решения задач анализа временных рядов. Приводятся необходимые расчетные соотношения. Большое внимание уделяется реализации этих соотно- шений в табличном процессоре Excel. Пособие содержит большое количество примеров и копий фрагментов документов Excel, которые позволят студентам не только лучше понять и усвоить учебный материал, но и эффективно использо- вать Excel при выполнении дипломной и курсовых работ.
Учебное пособие рекомендуется студентам экономических специальностей вузов, а также будет полезно аспирантам и преподавателям по прикладной эко- номике и финансам.
Печатается по решению издательско-библиотечного совета НГАСУ (Сибстрин)
Рецензенты:
⎯
В.З. Баликоев, д-р экон. наук, профессор, директор Института экономики и менеджмента
НГАСУ (Сибстрин);
⎯
А.С. Овсянников, д-р экон. наук, профессор, завкафедрой экономики труда и хозяйственной деятельности НГАВТ
ISBN 978-5-7795-0366-2
©
Воскобойников Ю.Е., 2008
©
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет
(Сибстрин), 2008

7
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ........................................................................................ 9
ГЛАВА 1. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ................................................... 12
1.1. Временной ряд и его модели.......................................... 12 1.2. Числовые характеристики временного ряда................. 16 1.3. Проверка статистических гипотез о свойствах временного ряда......................................... 23
ГЛАВА 2. ВЫДЕЛЕНИЕ НЕСЛУЧАЙНОЙ
СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА........... 39
2.1. Выделение трендовой составляющей временного ряда .................................................................................. 39 2.2. Выделение трендовой составляющей с помощью табличного процессора Excel .................... 56 2.3. Выделение тригонометрической составляющей временного ряда.............................................................. 71 2.4. Проверка адекватности и качества построенной модели временного ряда.............................................................. 85 2.5. Прогнозирование трендовой составляющей временного ряда.............................................................. 90
ГЛАВА 3. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ С КОРРЕЛИРОВАННЫМИ
ВОЗМУЩЕНИЯМИ. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ............................... 104
3.1. Временные ряды с коррелированными возмущениями............................................................... 104 3.2. Обобщенный метод наименьших квадратов .............. 113 3.3. Выделения тренда временного ряда на основе обобщенного метода наименьших квадратов ....................................................................... 116 8
ГЛАВА 4. АВТОРЕГРЕССИОНЫЕ МОДЕЛИ
ВРЕМЕННОГО РЯДА ............................................... 127
4.1. Определение авторегрессионной модели ................... 127 4.2. Оценивание коэффициентов авторегрессионной модели............................................................................ 129 4.3. Оценивание коэффициентов авторегрессионной модели стационарного временного ряда .................... 135 4.4. Тест на наличие автокорреляции ................................. 143 4.5. Определение порядка авторегрессионной модели временного ряда............................................................ 146
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................ 154
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................... 155

9
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время специалисты, обладающие знаниями и на- выками проведения прикладного экономического анализа с ис- пользованием современных математических и программных средств, пользуются спросом на рынке труда. Одной из централь- ных дисциплин в подготовке таких специалистов является «Эко- нометрика». Дословный перевод этого слова означает экономиче-
ские измерения, но определение дисциплины «Эконометрика» го- раздо шире этого перевода. Ниже приводятся два определения из- вестных ученых, позволяющие получить представления о различ- ном толковании эконометрики.
Эконометрика – это раздел экономики, занимающийся раз-
работкой и применением статистических методов для измере-
ний
взаимосвязей
между
экономическими
переменными
(С. Фишер).
Эконометрика – это самостоятельная научная дисциплина,
объединяющая совокупность теоретических результатов, прие-
мов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе
– экономической теории;
– экономической статистики;
– математико-статистического инструментария
придать конкретное количественное выражение общим качест-
венным закономерностям, обусловленным экономической теори-
ей (С.А. Айвазян).
Из этих определений можно сформулировать основную
цель эконометрики – модельное описание конкретных количест-
венных взаимосвязей, обусловленных общими качественными за-
кономерностями, изучаемыми в экономической теории.
Составленное модельное описание называется эконометри-
ческой моделью. В учебном пособии [5] было подробно рассмот- рено построение регрессионных эконометрических моделей в Ex- cel. В данном учебном пособии рассматривается построение эко- нометрических моделей для временных рядов (анализ временных рядов). Областями применения таких моделей являются:
10
• прогноз экономических и социально-экономических пока- зателей, характеризующих состояние и развитие анализируемой системы;
• имитация различных возможных сценариев социально- экономического развития анализируемой системы.
В качестве анализируемой системы могут выступать страна в целом, регионы, отрасли и корпорации, а также предприятия и фирмы.
Построение эконометрических моделей временных рядов обусловливает (особенно при большом объеме исходных данных) существенный объем вычислений. На этом этапе многие исследо- ватели сталкиваются с проблемами численной реализации необ- ходимого вычислительного алгоритма и графической интерпре- тации результатов решения. Этим вопросам в учебной литературе уделяется крайне мало внимания, что затрудняет использование современных алгоритмов решения задач анализа временных ря- дов на практике.
Поэтому основной целью данного пособия является изложе-
ние численных методик решения основных задач анализа времен-
ных рядов в вычислительной среде табличного процессора
Excel 2003.
Для каждой из рассматриваемых задач анализа временных рядов эконометрики приводятся необходимый теоретический ма- териал, математическая запись алгоритма решения (т.е. формулы или расчетные соотношения), а затем даются фрагменты доку- ментов Excel 2003, реализующих алгоритмы решения задачи.
При этом алгоритм решения может быть реализован путем программирования арифметических или логических выражений в ячейках электронной таблицы или путем обращения к стандарт-
ным функциям или модулям Excel 2003. Поэтому предполагается, что читатель знаком с адресацией ячеек (относительной, абсо- лютной и смешанной), арифметическими операциями и програм- мированием простейших выражений в ячейках Excel.
Данное учебное пособие, хотя и содержит необходимый тео- ретический материал, но не заменяет учебник по эконометрике, а
является своеобразным справочником по численному решению за-

11
дач эконометрики в Excel 2003. Учебное пособие можно также рассматривать как дополнение к основному учебнику по эконо- метрике, которое будет полезным при выполнении курсовых и дипломных работ, а также при самостоятельном решении практи- ческих задач эконометрики.
Кроме решения задач учебное пособие содержит набор лабо- раторных и контрольных работ по каждой теме, ориентированных на заочную и дистанционную формы обучения.
Предполагается, что читатель знаком с основными понятия- ми теории вероятностей и математической статистики. При необ- ходимости он может обратиться к литературе [1–4]. Кроме этого, он знаком с основными методами, используемыми при построе- нии и проверке регрессионных моделей [5–12].
Структура и содержание учебного пособия и рассматривае- мых задач соответствуют требованиям государственного образо- вательного стандарта высшего профессионального образования для специальностей направления «Экономика и менеджмент».
12
ГЛАВА 1. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.1. Временной ряд и его модели
Широкий круг социально-экономических, технических и ес- тественно-научных процессов часто представляются набором упорядоченных во времени случайных величин
( ) ( )
( )
1 2
,
,...,
n
Y
Y
Y
τ
τ
τ
, где
1
i
i
τ τ
+
<
. Такая последовательность ве- личин называется временным рядом или дискретным временным процессом. Набор наблюдений
{ }
i
y ,
1,2,...,
i
n
=
над случайной величинами
( )
{
}
i
Y
τ
в моменты времени
1 2
, ,...,
n
τ τ
τ
называется
временной выборкой
. Заметим, что иногда в литературе понятие
временного ряда
подменяется понятием временной выборки.
Принципиальная разница между этими двумя понятиями заклю- чается в том, что временной ряд это набор случайных величин, а временная выборка – набор измеренных значений, которые явля- ются конкретной реализацией случайных величин
( )
{
}
i
Y
τ
в
n экспериментах и по этой причине значения
( )
i
i
y
Y
τ
=
, 1,2,...,
i
n
=
временной выборки уже не являются случайными величинами.
Замечание 1.1.1.
Временной ряд
( )
{
}
i
Y
τ
можно интерпрети- ровать как наблюдения над непрерывным случайным процессом
(случайной функцией)
( )
Y
τ
в моменты времени
i
τ τ
= . Поэтому в дальнейшем наряду с временным рядом
( )
{
}
i
Y
τ
будет рас- сматриваться и непрерывный случайный процесс
( )
Y
τ
♦
Изменения величины
( )
i
Y
τ
во времени в реальной жизни обычно происходят под воздействием многочисленных причин, факторов. Поэтому в отношении временного ряда выдвигается предположение, что совокупное влияние этих факторов формиру- ет некоторую закономерность в развитии временного ряда, что дает основание применить для описания динамики
( )
i
Y
τ
эконо- метрическую модель из класса моделей временных рядов.

13
Модели временных рядов активно применяются в исследова- ниях значительного числа реальных процессов различной приро- ды. Например, в исследованиях динамики пассажиропотоков, складских запасов, спроса на различные виды продукции, финан- совых рынков, в анализе динамики финансовых показателей, про- гнозировании цен на различные товары и т.д.
Одним из основных классов эконометрических моделей вре- менных рядов является класс аддитивных моделей вида
( )
( ) ( )
i
i
i
Y
q
τ
τ
ε τ
=
+
, 1,2,...,
i
n
=
,
(1.1.1) где неслучайная (детерминированная) составляющая
( )
i
q
τ
может включать одну или несколько из следующих компонент: трендо- вую
( )
i
t
τ
, сезонную
( )
i
s
τ
и периодическую
( )
i
p
τ
. Часто компо- ненты
( )
i
s
τ
,
( )
i
p
τ
называют тригонометрическими состав-
ляющими
временного ряда.
Тренд
, или тенденция
( )
i
t
τ
, представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течение длительного периода времени. Обычно тренд (тенденция) описывается с помощью той или иной неслучайной функции
( )
t
τ
(аргументом которой явля- ется время), как правило, достаточно «гладкой» (часто монотон- ной).
Сезонная компонента
( )
i
s
τ
связана с наличием факторов, действующих с заранее известной периодичностью. Это регуляр- ные колебания, которые носят периодический или близкий к нему характер и заканчиваются в течение года. Типичные примеры се- зонного эффекта: изменение загруженности автотрассы по време- нам года, пик продаж товаров для школьников в конце августа – начале сентября. Спрос на пластические операции сезонный: в осенне-зимний период обращений больше. Типичным примером являются сильные колебания объема товарно-материальных запа- сов в сезонных отраслях. Сезонная компонента со временем мо- жет меняться, либо иметь плавающий характер.
Периодическая (циклическая) компонента
( )
i
p
τ
– неслучай- ная функция, описывающая длительные периоды (более одного
14
года) относительного подъема и спада и состоящая из циклов пе- ременной длительности и амплитуды. Примерами периодической компоненты являются волны Кондратьева, демографические
«ямы» и т.п. Подобная компонента весьма характерна для рядов макроэкономических показателей. Здесь циклические изменения обусловлены взаимодействием спроса и предложения, а также наложением таких факторов, как истощение ресурсов, погодные условия, изменения в налоговой политике и т.п. Отметим, что циклическую компоненту крайне трудно идентифицировать фор- мальными методами, исходя только из данных изучаемого ряда.
Случайная компонента
( )
i
ε τ
– это составная часть времен- ного ряда, оставшаяся после выделения систематических компо- нент. Она отражает воздействие многочисленных факторов слу- чайного характера и представляет собой случайную, нерегуляр- ную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные откло- нения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению.
Замечание 1.1.2.
Если систематические компоненты времен- ного ряда определены правильно, то остающаяся после выделе- ния из временного ряда этих компонент так называемая остаточ- ная последовательность (ряд остатков) будет случайной компо- нентой ряда. ♦
Модели, в которых временной ряд представлен как произве- дение некоторых из перечисленных компонент
( )
i
t
τ
,
( )
i
s
τ
,
( )
i
p
τ
,
( )
i
ε τ
относятся к классу мультипликативных моделей.
Модели этого класса имеют вид
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i
i
i
i
i
Y
t
s
p
τ
τ
τ
τ ε τ
=
⋅
⋅
⋅
. (1.1.2)
В процессе формирования значений временных рядов не все- гда участвуют все четыре компоненты. Однако во всех случаях предполагается наличие случайной составляющей
( )
i
i
ε
ε τ
=
Другой класс моделей используется для описания временных рядов, у которых значение
( )
i
Y
τ
в какой-то степени предопреде-

15
ляется значениями
( )
Y
τ
в предыдущие моменты времени
1 2
,
,...
i
i
τ τ
−
−
. Модели такого класса можно записать в виде
( )
( ) ( )
(
)
( )
1 2
,
,...
i
i
i
i
Y
f Y
Y
τ
τ
τ
ε τ
−
−
=
+
(1.1.3)
Функция f отражает характер взаимосвязи между последующим и предыдущими значениями величин
( )
i
Y
τ
. Такие модели полу- чили название авторегрессионных моделей.
Для широкого круга процессов функция f имеет линейный вид
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1
2 2
i
i
i
k
i k
i
Y
Y
Y
Y
τ
β τ
β
τ
β
τ
ε τ
−
−
−
=
+
+
+
+
. (1.1.4)
Такая модель получила название линейной авторегрессионной
модели k-го порядка.
В дальнейшем будет считать, что моменты измерений
i
τ
равноудалены друг от друга на величину
τ
Δ , т.е. для любого i имеет место
1
i
i
τ
τ
τ
+
= + Δ .
(1.1.5)
Основная цель статистического анализа временных рядов –
изучение соотношения между закономерностью и случайностью
в формировании значений ряда, оценка количественной меры их
влияния. Закономерности, объясняющие динамику показателя в прошлом, используются для прогнозирования его значений в бу-
дущем, а учет случайности позволяет определить вероятность
отклонения временного ряда от закономерного развития и воз-
можную величину отклонения.
Прогнозирование экономических процессов, представленных одномерными временными рядами, сводится к выполнению сле- дующих основных этапов:
16
Э
ТАП
1. Предварительный анализ данных.
Э
ТАП
2. Построение моделей: формирование набора аппрок- симирующих функций (кривых роста) и численное оценивание параметров моделей.
Э
ТАП
3. Проверка адекватности моделей и оценка их точно- сти.
Э
ТАП
4. Выбор лучшей модели.
Э
ТАП
5. Расчет точечного и интервального прогнозов.
1.2. Числовые характеристики временного ряда
Из определения временного ряда и моделей (1.1.1), (1.1.2) следует, что в каждый момент
i
τ
величина
( )
i
Y
τ
является слу- чайной, подчиняющейся некоторому распределению, которое за- висит от распределения случайной составляющей
( )
i
ε τ
. Мате- матическое ожидание и дисперсия для модели (1.1.1) в момент
i
τ
определяются выражениями
( )
(
)
( )
i
i
M Y
q
τ
τ
=
;
( )
(
)
( )
(
)
i
i
D Y
D
τ
ε τ
=
. (1.2.1)
Для модели (1.1.2) эти характеристики определяются более слож- ными выражениями.
Временной ряд называется стационарным в широком смыс-
ле, если числовые характеристики случайных величин
( )
i
Y
τ
не зависят от времени
i
τ
. Так, для модели (1.1.1) справедливы соот- ношения:
( )
(
)
i
M Y
q
τ
= ;
( )
(
)
2
i
D Y
τ
σ
=
(1.2.2)
Для такого временного ряда в качестве оценок величин q ,
2
σ
используются выборочное среднее y и выборочная дисперсия
2
s :
1 1
n
i
i
y
y
n
=
= ⋅
∑
;
(
)
2 2
1 1
1
n
i
i
s
y
y
n
=
=
⋅
−
−
∑
(1.2.3)
Временной ряд называется стационарным в узком смысле, если для каждого момента времени случайные величины
( )
i
Y
τ

17
имеют одинаковые распределения. Очевидно, что из стационар- ности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.
Обратное, в общем случае, неверно. В дальнейшем рассматри- ваемые стационарные ряды являются стационарными в широком смысле. Введем еще некоторые характеристики временных рядов.
Степень статистической связи между последовательностями
( ) ( )
( )
1 2
,
,...,
n
Y
Y
Y
τ
τ
τ
и
( ) ( )
( )
1 2
,
,...,
l
l
n l
Y
Y
Y
τ
τ
τ
+
+
+
(сдвинутых от- носительно друг друга на
l моментов времени, или, как говорят, с
лагом l ) может быть определена с помощью коэффициента ав-
токорреляции:
( )
( )
(
)
( )
(
)
2
i
i l
M Y
q Y
q
l
τ
τ
ρ
σ
+
⎡
⎤
−
−
⎣
⎦
=
(1.2.4)
Для стационарного временного ряда
( )
l
ρ
зависит только от лага
l и для него справедливо следующее равенство:
( )
( )
l
l
ρ
ρ
− =
,
(1.2.5) т.е. достаточно изучать
( )
l
ρ
только для положительных лагов
l .
Если
0
l
= , то
( )
0 1
ρ
= .
Оценкой для
( )
l
ρ
является выборочный коэффициент авто- корреляции, определяемый по формуле:
( )
(
)
(
)
(
)
1 1
1 2
2 2
2 1
1 1
1
n l
n l
n l
i i l
i
i l
i
i
i
n l
n l
n l
n l
i
i
i l
i l
i
i
i
i
n l
y y
y
y
r l
n l
y
y
n l
y
y
−
−
−
+
+
=
=
=
−
−
−
−
+
+
=
=
=
=
⎛
⎞ ⎛
⎞
−
−
⋅
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
=
⎛
⎞
⎛
⎞
−
−
⋅
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
. (1.2.6)
Заметим, что с увеличением
l число пар наблюдений
i
y ,
i l
y
+
уменьшается и поэтому число
l не должно быть сравнительно большим (рекомендуют
/ 4
l n
≤
).
18
Стационарный временной ряд, у которого математическое ожидание равно 0, а величины
( )
i
ε τ
некоррелированны, часто называют
белым шумом. Очевидно, что для белого шума
( )
1,
0;
0,
0.
если l
l
если l
ρ
=
⎧
= ⎨
≠
⎩
(1.2.7)
Замечание 1.2.1.
Для стационарного временного ряда с уве- личением лага l взаимосвязь членов
( )
i
Y
τ
,
( )
i l
Y
τ
+
ослабевает и абсолютные величины коэффициента автокорреляции
( )
l
ρ
должны убывать. В то же время для выборочного коэффициента автокорреляции
( )
r l (особенно при небольших значениях n l
− ) свойство монотонного убывания (по абсолютной величине) при возрастании l может нарушаться.
♦
Проиллюстрируем сделанное замечание.
Пример 1.2.1.
В столбце А документа Excel, приведенного на рис. 1.1, представлены 20 значений стационарного временного ряда, являющегося белым шумом. Необходимо вычислить выбо- рочное математическое ожидание, дисперсию и коэффициент ав- токорреляции
( )
l
ρ
,
0,1,2,3
l
=
Решение. Первые две оценки вычисляются по формуле (1.2.3) с использованием стандартных функций Excel (обращение к ним показано на рис. 1.1), а выборочный коэффициент автокорреля- ции – по формуле (1.2.6), при этом используются предварительно вычисленные суммы:
1
n l
i i l
i
y y
−
+
=
∑
;
1
n l
i
i
y
−
=
∑
;
1
n l
i l
i
y
−
+
=
∑
;
2 1
n l
i
i
y
−
=
∑
;
2 1
n l
i l
i
y
−
+
=
∑
(см. рис. 1.1).
Полученные значения оценок приведены в табл. 1.1 (вторая строка). Третья строка таблицы содержит точные значения иско- мых характеристик. Различие между оценками и точными значе- ниями обусловлено малым объемом выборки. ☻

19
Рис. 1.1. Вычисление числовых характеристик стационарного ряда
Таблица 1.1
Характе-
ристики
( )
M Y
( )
D Y
(0)
ρ
(1)
ρ
(2)
ρ
(3)
ρ
Оценка
28.5 12.0 1.0 –0.19 0.14 0.10
Точное
значение
30 10 1 0 0 0 20
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреля- ции.
Во-первых
, коэффициент автокорреляции вычисляется по аналогии с линейным коэффициентом корреляции [5, гл. 2] и та- ким образом характеризует тесноту линейной зависимости между случайными величинами
( )
i
Y
τ
,
( )
i l
Y
τ
+
. Поэтому по величине коэффициента автокорреляции можно судить о наличии линейной
(или близкой к линейной) тенденции развития временного ряда.
Во-вторых
, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции значе- ний временного ряда. Многие временные ряды экономических данных имеют положительные величины коэффициентов авто- корреляции, однако при этом наблюдается убывающая тенденция.
Последовательность коэффициентов автокорреляции
( )
0
ρ
,
( ) ( )
1 ,
2 ,...
ρ
ρ
называют автокорреляционной функцией временно-
го ряда, а график зависимости значений
( )
l
ρ
от величины лага l
(или порядка коэффициента автокорреляции l ) – коррелограм-
мой.
Анализ автокорреляционной функции позволяет выявить структуру временного ряда, т.е. наличие в нем составляющих
( )
i
t
τ
,
( )
i
p
τ
,
( )
i
s
τ
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреля- ции
( )
1
ρ
, то исследуемый ряд содержит только трендовую со- ставляющую. Если наиболее высоким оказался коэффициент ав- токорреляции
( )
l
ρ
, то ряд содержит колебания с периодично- стью l моментов времени, т.е. период колебания равен l
τ
⋅ Δ . Ес- ли ни один из коэффициентов
( )
r l не является значимым (про- верка значимости осуществляется точно так же, как и для коэф- фициента
xy
r [5, с. 43]), то относительно структуры ряда можно сделать одно из двух предположений:
• временной ряд не содержит тренда и циклических колебаний, т.е. является белым шумом с
( )
l
ρ
(см. формулу (1.2.7));

21
• временной ряд содержит сильный нелинейный тренд, для выявления которого необходимо провести дополнительный анализ.
Поэтому коэффициент автокорреляции и автокорреляцион- ную функцию целесообразно использовать для выявления во вре- менном ряде трендовой составляющей и периодической, сезон- ных составляющих.
Пример 1.2.2.
В табл. 1.2 приведены условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями некоторого рай- она за 16 кварталов.
Необходимо:
• вычислить выборочные коэффициенты корреляции r(l) для
1, 2,...,8
l
=
и построить коррелограмму;
• провести анализ значений коэффициентов r(l) и сделать вы- вод о структуре данного временного ряда.
Таблица 1.2
i
i
y
i
i
y
i
i
y
1 6,0 7 6,0 13 9,0 2 4,4 8 10,0 14 6,6 3 5,0 9 8,0 15 7,0 4 9,0 10 5,6 16 10,8 5 7,2 11 6,4 6 4,8 12 11,0
Решение. На рис. 1.2а приведен фрагмент документа Excel, в столбец А которого введен номер квартала (
i
i
τ
= ,
1,...,16
i
=
), в столбец В – объем потребления электроэнергии в соответствую- щем квартале, в C, D, E, F, G, H, I, J – значения
1 2
3 4
5 6
7 8
,
,
,
,
,
,
,
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
y
y
y
y
y
y
−
−
−
−
−
−
−
−
. По заполненной таким обра- зом таблице вычислялись коэффициенты автокорреляции r(l),
1, 2,...,8
l
=
, приведенные на рис. 1.2б. Здесь же показаны приме- ры программирования вычисления
ρ
(1),
ρ
(8) с использованием функции Excel КОРРЕЛ. На рис. 1.3 приведены значения
i
y вре- менного ряда, а на рис. 1.4 – график коррелограммы.
22
а) б)
Рис. 1.2. Вычисление коэффициентов автокорреляции
Анализ значений
( )
r l и коррелограммы позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колеба- ний периодичностью в четыре квартала (
( )
4 0,983
r
=
), а также небольшого линейного тренда. Эти выводы хорошо подтвержда- ются графиком значений временного ряда (см. рис. 1.3). Большое значение
( )
8 0,974
r
=
объясняется тем, что в 8 есть удвоенный период 4. Такое же большое значение будет у коэффициента ав- токорреляции
( )
12
r
. ☻

23
Рис. 1.3. Значения временного ряда
Рис. 1.4. Вычисленная коррелограмма временного ряда
1.3. Проверка статистических гипотез
о свойствах временного ряда
1.3.1. Проверка гипотезы о наличии аномальных наблюдений
Эта процедура выполняется на стадии предварительного ана- лиза временного ряда и во многих случаях является обязательной процедурой. Для диагностики аномальных наблюдений исполь- зуются различные статистические методы, одни из которых при- водится ниже.
24
Метод Ирвина.
Для всех наблюдений или только «подозре- ваемых» (в аномальности) наблюдений формулируются следую- щие статистические гипотезы:
0
H : i -е наблюдение не является аномальным; (1.3.1)
1
H : i -е наблюдение является аномальным. (1.3.2)
Для проверки этих гипотез вычисляется значение критерия
1
i
i
i
y
y
y
I
s
−
−
=
, (1.3.3) где
(
)
2 1
1
n
i
i
y
y
y
s
n
=
−
=
−
∑
,
1 1
n
i
i
y
y
n
=
=
∑
(1.3.4)
Нетрудно видеть, что
y
s есть выборочное среднеквадратическое отклонение, вычисленное по выборке объемом n .
Если вычисленная величина
i
I превышает предельное значе- ние
пр
I (т.е. попадает в критическую область), то с вероятностью
α
ошибки первого рода отвергается гипотеза
0
H и принимается альтернативная гипотеза
1
H , т.е. наблюдение
i
y является ано- мальным. Предельное значение
пр
I зависит от количества наблю- дений
n и для некоторых n значения
пр
I приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
n
0,05
α
=
0,01
α
=
2 2,8 3,7 3 2,2 2,9 10 1,5 2,0 20 1,3 1,8 30 1,2 1,7 50 1,1 1,6 100 1,0 1,5 400 0,9 1,3

25
Обнаруженное аномальное наблюдение необходимо исключить из временного ряда и заменить
расчетным значением, получен- ным с использованием соседних наблюдений. Самый простой способ замены – расчетное значение есть среднее двух соседних значений.
Пример 1.3.1.
В табл. 1.4 приведен индекс потребительских цен.
Таблица 1.4
Дата
i
i
y
Дата
i
i
y
4 кв. 1994 1 100 2 кв. 1996 7 105 1 кв. 1995 2 143 3 кв. 1997 8 100 2 кв. 1995 3 124 4 кв. 1997 9 104 3 кв. 1995 4 115 1 кв. 1998 10 105 4 кв. 1995 5 113 2 кв. 1998 11 103 1 кв. 1996 6 110 3 кв. 1998 12 100
Необходимо проверить данный временной ряд на наличие аномальных измерений.
Решение. Введем в столбец А, начиная с ячейки А2, значения
1, 2,...,12
i
=
, а в столбец В – значения
i
y , приведенные в табл. 1.4.
(рис. 1.5). График значений
i
y приведен на рис. 1.6.
В ячейке В14 вычислим
y
s (см. (1.3.4)), используя функцию
Excel ДИСП. После этого в столбце С запрограммируем вычис- ление значений
I
i
,
i = 1, 2, …, 12 критерия (1.3.3). Для определе- ния
I
пр
выполним линейную интерполяцию третьей (
10
n
=
) и четвертой (
20
n
=
) строк табл. 1.4 для
α
= 0.05. Получаем
(
)
1.3 1.5 12 10 1.5 1.46 10
пр
I
−
=
−
+
=
Видим, что неравенство
1.46
i
пр
I
I
>
=
выполняется для
2,3
i
=
. Следовательно, с вероятностью ошибки первого рода, равной
α
, можно принять гипотезу о том, что
2
y ,
3
y являются аномальными наблюдениями. ☻
26
Рис. 1.5. Определение аномальных наблюдений
Рис. 1.6. Значения временного ряда

27
1.3.2. Проверка гипотез о наличии неслучайной составляющей
временного ряда
Проверка наличия или отсутствия неслучайной составляю- щей
( )
q
τ
(модель (1.1.1)) по существу состоит в проверке гипо- тезы о постоянстве среднего значения временного ряда. Поэтому сформулируем две статистические гипотезы:
0
H :
( )
(
)
i
M Y
const
τ
=
; (1.3.5)
1
H :
( )
(
)
i
M Y
const
τ
≠
. (1.3.6)
Для проверки этих гипотез используются различные критерии.
Здесь мы ограничимся двумя (достаточно простыми критериями).
Критерий 1.
В этом критерии временной ряд разбивают на две примерно равные по числу значений части, каждая из кото- рых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. Если вре- менной ряд имеет тенденцию к тренду, то средние, вычисленные для каждой совокупности, должны существенно (значимо) раз- личаться между собой. Если же расхождение незначительно, не- существенно (случайно), то временной ряд не имеет тенденции.
Таким образом, проверка наличия тренда (т.е. неслучайной со- ставляющей) в исследуемом временном ряду сводится к провер- ке гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей. Пусть первая часть (обозначим ее
( )
I
Y ) содержит
I
n наблюдений
( )
i
Y
τ
, 1,2,...,
I
i
n
=
, а вторая часть –
( )
II
Y
содер- жит
II
n наблюдений
( )
i
Y
τ
, 1,...,
I
I
II
i n
n
n
=
+
+
Для каждой части временного ряда вычислим (используя формулы (1.2.3)) выборочное среднее
I
y ,
II
y и выборочные дис- персии
2
I
s
,
2
II
s
:
28
(
)
2 2
1 1
1
I
n
I
i
I
i
I
s
y
y
n
=
=
⋅
−
−
∑
;
(
)
2 2
1 1
1
II
I
n
II
i
II
i n
II
s
y
y
n
= +
=
⋅
−
−
∑
(1.3.7)
Далее рассчитаем значение критерия
(
)
(
)
(
)
2 2
2 1
1
I
II
I
II
I
II
S
I
II
I
I
II
II
n n n
n
y
y
K
n
n
n
s
n
s
⋅
+
−
−
=
⋅
+
−
+
−
(1.3.8)
(часто называемого критерием Стьюдента). Если выполняется не- равенство
(
)
1
,
2
S
I
II
K
t
n
n
α
>
−
+
−
,
(1.3.9) то гипотеза о постоянстве математического ожидания отклоняет- ся с уровнем значимости
α
. Напомним, что значение
(
)
1
,
2
I
II
t
n
n
α
−
+
−
вычисляется с использованием следующей функции Excel:
(
)
(
)
1
,
2
СТЬЮДРАСПОБР
,
2
I
II
I
II
t
n
n
n
n
α
α
−
+
−
=
+
−
Для использования критерия (1.3.8) необходимо убедиться, что дисперсии обеих частей ряда одинаковы. Для этого использу- ем критерий Фишера:
(
)
(
)
2 2
2 2
max
,
min
,
I
II
S
I
II
s s
F
s s
=
,
(1.3.10) где
2
I
s ,
2
II
s – оценки дисперсии, вычисленные по первой (число измерений
I
n ) и второй (число измерений
II
n ) частям временного ряда. Если не выполняется неравенство
;
1;
1 1
;
1;
1 2
2
I
II
I
II
S
n
n
n
n
F
F
F
α
α
−
−
−
−
−
≤
≤
, (1.3.11)

29
то гипотеза о постоянстве дисперсии отвергается с уровнем зна- чимости
α
. В этом случае критерий (1.3.8) не применим, и необ- ходимо использовать другой критерий или принять гипотезу о наличии неслучайной составляющей временного ряда, так как это составляющая может сказаться и на других характеристиках вре- менного ряда: дисперсии, коэффициенте автокорреляции и т.д.
Границы критической области при проверке гипотезы о ра- венстве дисперсий вычисляются с помощью следующей функции
Excel:
;
1;
1 2
FРАСПОБР 1
;
1;
1 2
I
II
I
II
n
n
F
n
n
α
α
−
−
⎛
⎞
=
−
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
. (1.3.12)
Пример 1.3.2.
Осуществить тестирование временного ряда, приведенного в столбце А на рис. 1.7, на наличие неслучайной составляющей.
Решение. Разобьем исходный временной ряд на две части по
10 измерений в каждой. Вычислим по каждой из этих частей вы- борочные оценки (см. рис. 1.7):
30.68
I
y
=
,
30.14
II
y
=
,
2 10.19
I
s
=
,
2 8.16
II
s
=
Затем определим значения критериев (1.3.8) и (1.3.10) (см. рис. 1.7):
0.40
S
K
=
;
1.249
S
F
=
. Проверим выполнение нера- венств (1.3.9) и (1.3.11). Неравенство (1.3.9) не выполняется, так как 0.40 2.101
<
, а неравенство (1.3.11) выполняется –
0.248 1.249 4.026
<
<
Следовательно, можно сделать вывод об отсутствии неслу- чайной составляющей рассматриваемого временного ряда. ☻
30
Рис. 1.7. Проверка гипотезы о стационарности ряда
Критерий 2 (критерий серий)
. Расположим члены анализи- руемого временного ряда в порядке возрастания, т.е. образуем ва- риационный ряд вида
( )
( )
( )
( )
1 2
3
n
y
y
y
y
≤
≤
≤
Определим выборочную медиану по формуле
1 2
1 2
2
, если не четно;
1
, если четно.
2
n
med
n
n
y
n
y
y
y
n
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ ⎞
⎛
⎞
+
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎧
⎪
⎪
= ⎨ ⎛
⎞
⎪ ⎜
+
⎟
⎜
⎟
⎪ ⎝
⎠
⎩
(1.3.13)

31
После этого образуем «серии» из плюсов и минусов, на статисти- ческом анализе которых основана процедура проверки гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда.
По исходному временному ряду, построим последователь- ность из плюсов и минусов следующим образом: переменной
i
x ставим знак «+», если
i
med
y
y
>
, и знак «–», если
i
med
y
y
<
(члены временного ряда, равные
med
y
не учитываются).
Образованная последовательность плюсов и минусов харак- теризуется общим числом серий
( )
v n и протяженностью самой длинной серии
( )
n
τ
. При этом под «серией» понимается после- довательность подряд идущих плюсов и подряд идущих минусов.
Если исследуемый ряд состоит из статистически независимых на- блюдений, случайно варьирующих около некоторого постоянного уровня (т.е. справедлива гипотеза о неизменности среднего зна- чения временного ряда), то чередование «+» и «–» в построенной последовательности должно быть случайным, т.е. эта последова- тельность не должна содержать слишком длинных серий подряд идущих «+» и «–», и, соответственно, общее число серий не должно быть слишком малым. Так что в данном критерии целе- сообразно рассмотреть одновременно пару критических стати- стик (
( )
v n ;
( )
n
τ
).
Справедлив следующий приближенный статистический кри- терий проверки гипотезы о неизменности среднего значения вре- менного ряда:
если хотя бы одно из неравенств
( )
(
)
( )
(
)
1
int
2 1,96 1
2
int 1,43ln
1
v n
n
n
n
n
τ
⎧
⎡
⎤
>
+ −
−
⎪
⎢
⎥
⎣
⎦
⎨
⎪
⎡
⎤
<
+
⎣
⎦
⎩
(1.3.14)
окажется нарушенным, то гипотеза о неизменности среднего
значения временного ряда отвергается с вероятностью ошибки
α
, такой, что 0.05 0.0975
α
< <
и, тем самым, подтверждается
32
наличие зависящей от времени неслучайной составляющей в мо-
дели
( )
( )
( )
Y
q
τ
τ
ε τ
=
+
.
Функция
[ ]
int z означает взятие целой части числа z .
1.3.3. Проверка гипотезы о наличии неслучайной
составляющей в Excel
Вернемся к критерию 1 (см. п. 1.3.2), который представляет собой проверку критериев Стьюдента и Фишера. Вычисление и проверку этих критериев можно оперативно осуществить исполь- зуя соответствующие режимы пакета Анализ данных табличного процессора Excel [5, с. 137–142].
Проверку гипотезы о наличии неслучайной составляющей в
Excel покажем на данных следующего примера.
Пример 1.3.3.
В табл. 1.5 приведена урожайность ячменя в одной из областей среднего Поволжья, ц/га. Необходимо прове- рить этот временной ряд на наличие неслучайной составляющей, используя соответствующие режимы пакета Анализ данных таб- личного процессора Excel.
Таблица 1.5
Годы
1 2
3 4
5 6
7 8
Урожайность 14,1 9,3 19,4 19,7 5,4 24,2 13,8 24,5
Годы
9 10 11 12 13 14 15
Урожайность 14,7 16,6 5,6 16,2 25,3 11,9 18,5
Решение. Проверку на наличие неслучайной составляющей представим следующими шагами:
Шаг 1. Введем в столбец А (начиная с ячейки А2) значения
1,...,15
i
=
(номера годов), а в столбец В – значения
i
y , 1,...,15
i
=
Шаг 2. Гипотезу о равенстве дисперсий проверим с помощью
F-теста, для вызова которого необходимо обратиться к пункту
Сервис
, команде Анализ данных и в списке инструментов анализа выбрать Двухвыборочный F-тест для дисперсий (рис. 1.8).

33
Рис. 1.8. Выбор F-теста
Шаг 3. Заполняем поля диалогового окна Двухвыборочный F-
тест для дисперсий как показано на рис. 1.9.
Результат выполнения теста приведен в таблице, показанной на рис. 1.10.
Так как
2 2
I
II
s
s
>
, то в качестве альтернативной принимается гипотеза
2 2
1
:
I
II
H
σ
σ
>
(1.3.15) и в этом случае критическая область представляет собой интервал
(
,
пр
x
α
,
∞ ), где точка
,
пр
x
α
определяется из условия
(
)
,
пр
P F
x
α
α
>
=
, (1.3.16) где
α
– вероятность ошибки первого рода. Из табл. рис. 1.10 на- ходим:
1.022
F
=
,
,
3.866
пр
x
α
=
Видно, что наблюдаемое значение 1.022
F
=
не попадает в критическую область и принимается нулевая гипотеза
2 2
0
:
I
II
H
σ
σ
=
(1.3.17)
Шаг 4. Для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий в списке
Инструменты анализа (см. рис. 1.8) выбираем режим
Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями и вводим данные в соответствующие поля (см. рис. 1.11).
34
Результаты выполнения t-теста приведены в таблице, пока- занной на рис. 1.12.
Рис. 1.9. Ввод данных для двухвыборочного F-теста
Рис. 1.10. Результаты выполнения двухвыборочного теста

35
Рис. 1.11. Ввод данных для двухвыборочного t-теста
Рис. 1.12. Результаты выполнения t-теста
36
Критическая область является объединением двух интервалов и имеет вид
(
] [
)
, 2.160 2.160,
−∞ −
∪
∞ .
Видно, что наблюдаемое значение критерия, равное
0.459
−
, не попадает в эту область и поэтому принимается основная гипо- теза
0
H о равенстве математических ожиданий. Принятие этих двух гипотез (о равенстве дисперсий и равенстве математических ожиданий) позволяет принять гипотезу об отсутствии трендовой составляющей в данном временном ряду. ☻
1.3.4. Проверка гипотезы о стационарности временного ряда
Для стационарности временного ряда достаточно постоянст- ва его числовых характеристик на всем интервале определения временного ряда. Наиболее часто в качестве таких характеристик берут математическое ожидание и дисперсию. Тогда ответ на во- прос стационарности дискретного временного ряда сводится к проверке следующей пары статистических гипотез:
( )
(
)
( )
(
)
0 1
:
;
:
i
i
H M Y
const
H M Y
const
τ
τ
⎫
=
⎪
⎬
≠
⎪⎭
Постоянство математического ожидания
(1.3.18)
( )
(
)
( )
(
)
0 1
:
;
:
i
i
H D Y
const
H D Y
const
τ
τ
⎫
=
⎪
⎬
≠
⎪⎭
Постоянство дисперсии
(1.3.19)
Для проверки этих гипотез можно использовать критерий 1, описанный в п. 1.3.2. Действительно, используя критерий Фишера
(1.3.10), проверяем гипотезу о постоянстве дисперсий. Если эта гипотеза принимается, то на следующем шаге проверяется гипо- теза о постоянстве математического ожидания (критерий (1.3.8)).
Если принимается гипотеза о постоянстве математического ожи- дания, то принимается гипотеза о стационарности (в широком смысле) временного ряда.
Очевидно, что для проверок гипотез (1.3.18), (1.3.19) можно использовать режим Анализ данных табличного процессора Excel, как это показано в п. 1.3.3.

37
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
Исходные данные. В таблице приведена урожайность гречи- хи в Новосибирской области, ц/га. Необходимо проверить этот временной ряд на наличие неслучайной составляющей, используя критерий 1 п. 1.3.2.
Годы
1 2
3 4
5 6
7 8
Урожайность 14,1 11,3 19,4 19,7 8,4 21,2 16,8 24,5
Годы
9 10 11 12 13 14 15
Урожайность 19,7 22,6 19,6 23,2 25,3 21,9 22,5
Рекомендации.
1. При проверке статистической гипотезы временной ряд разбить на две части
7
I
n
= ; 8
II
n
= (
15
I
II
n n
n
=
+
=
).
2. При программировании вычислений использовать пример
1.3.2.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
В таблице приведены данные об урожайности озимой пше- ницы за 10 лет, ц/га.
Годы
i
τ
1 2
3 4
5
i
y 16.3+N
20.2+N
17.1+N
9.2+N
15.3+N
Годы
i
τ
6 7
8 9
10
i
y 16.7+N
19.9+N
14.4+N
18.7+N
20.7+N
Примечание. N – последняя цифра в изменяющемся номере за- четной книжки.
Необходимо:
1. Построить график значений временного ряда.
2. Вычислить среднее значение и дисперсию.
3. Вычислить коэффициенты автокорреляции для лагов
1,2,3
l
=
и построить коррелограмму.
38 4. Используя материал п. 1.2, сделать обоснованные выводы о структуре исследуемого временного ряда.
5. Выполнить исследования временного ряда на наличие аномальных наблюдений.
6. Выполнить исследования временного ряда на наличие не- случайной составляющей (используя соответствующие режимы пакета Анализ данных табличного процессора Excel).
7. Вставить в контрольную работу копии таблиц с результа- тами проверок п. 5, 6.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Какой временной ряд называется стационарным в широ- ком смысле?
2. Какой временной ряд называется стационарным в узком смысле?
3. Что характеризует коэффициент автокорреляции
( )
l
ρ
?
4. Что характеризует трендовая составляющая временного ряда?
5. Что характеризует сезонная составляющая временного ряда?
6. Что характеризует периодическая составляющая времен- ного ряда?
7. Что такое аномальное наблюдение?
8. Сущность метода Ирвина.
9. Сущность проверки гипотезы о наличии неслучайной со- ставляющей с помощью критерия 1.

39