Эконометрика в Excel (часть 2). Ю. Е. Воскобойников

• Название: Ю. Е. Воскобойников
• Дата: 29.11.2022
• Размер: 1.67 Mb.
• Имя файла: Эконометрика в Excel (часть 2).pdf
• Тип: Учебное пособие; #818575
• страница: 6 из 9

Глава 3. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ С КОРРЕЛИРОВАННЫМИ
ВОЗМУЩЕНИЯМИ. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
3.1. Временные ряды с коррелированными возмущениями
3.1.1. Коррелированные возмущения
Упорядоченность наблюдений в пространственной выборке временного ряда оказывается существенной в тех случаях, когда присутствуют механизмы влияния результатов предыдущих на- блюдений на результаты последующих. Такое влияние имело ме- сто при наличии в модели временного ряда лаговых переменных
1 2
,
,..,
i
i
i p
y
y
y
−
−
−
(см. уравнение (1.1.4)). Авторегрессионные модели с такими переменными будут рассмотрены в п. 4.1. При этом воз- мущения
i
ε
временного ряда удовлетворяли условиям Гаусса–
Маркова Р2÷Р4 (см. п. 4.2), т.е.
i
ε
подчинялась нормальному рас- пределению с нулевым средним, дисперсией
2
σ
и возмущения
,
i
j
ε ε
при i
j
≠ были некоррелированными.
Влияние результатов предыдущих наблюдений на после- дующие также имеет место в случаях, когда отсутствуют лаговые переменные, но возмущения
i
ε
в следующей модели наблюдений временного ряда
( )
,
1,2, ,
i
i
i
y
q
i
n
τ
ε
=
+
=
… ,
(3.1.1) оказываются зависимыми случайными величинами, т.е. корреля- ционный момент
,
(
)
i j
i
j
M
μ
ε ε
=
не равен нулю при i
j
≠ . Оче- видно, что и коэффициент корреляции
i j
ε ε
ρ
между величинами
i
ε
,
j
ε
отличается от нуля при i
j
≠ .
Регрессионные модели временного ряда, в которых условие
0
i j
ε ε
ρ
= при i
j
≠ не выполняется, называются моделями с кор-
релированными возмущениями. Возможны два вида корреляции:

105
положительная и отрицательная, определяемые знаком коэффи- циента корреляции между соседними
1
,
i
i
ε ε
+
Положительная корреляция проявляется в чередовании вре- менных интервалов, где наблюдаемые значения временного ряда
i
y оказываются выше или ниже значений ( )
i
q
τ
объясненной час- ти регрессионной модели. Пример положительной корреляции
(коэффициент
1 0.4
i i
ε ε
ρ
+
=
) случайных возмущений
i
ε
приведен на рис 3.1 (кривая 1 – значения
i
ε
, кривая 2 – значения
( )
i
q
τ
, кри- вая 3 – значения
i
y ).
Рис. 3.1. Временной ряд с положительной автокорреляцией
Отрицательная корреляция характеризуется тем, что наблю- дения действуют друг на друга по принципу маятника – завы- шенные значения в предыдущих наблюдениях приводят к зани- жению последующих значений, т.е. наблюдения
i
y слишком час- то перескакивают через график объясненной части ( )
i
q
τ
. Пример отрицательной корреляции (коэффициент
1 0.4
i i
ε ε
ρ
+
= −
) случай- ных возмущений
i
ε
приведен на рис 3.2 (кривая 1 – значения
i
ε
, кривая 2 – значения
( )
i
q
τ
, кривая 3 – значения
i
y ).
106
Рис. 3.2. Временной ряд с отрицательной автокорреляцией
Возникает вопрос: к чему приводит наличие корреляции слу- чайной составляющей временного ряда? Использование обычного
(классического) метода наименьших квадратов для оценивания коэффициентов объясненной части в этом случае также дает не-
смещенные и состоятельные оценки, но эти оценки не являются
эффективными (т.е. существуют оценки с меньшей дисперсией).
Более того, оценки
2
j
b
s дисперсий коэффициентов
j
b
являются смещенными и несостоятельными, что приводит к недостоверным результатам проверки гипотез о значимости вычисленных коэф- фициентов
j
b
Как же определить наличие автокорреляции в наблюдаемых значениях временного ряда? Достаточно простой критерий, даю- щий ответ на наличие корреляции между соседними наблюде- ниями дает тест Дарбина–Уотсона, изложенный в п. 2.4.3. Этот тест основан на простой идее: если корреляция между
i
ε
и
1
i
ε
+
не равна нулю, то она присутствует и в остатках (невязках)
i
i
i
e
y
y
=
− регрессионной модели, где
( )
i
i
y
q
τ
=
оценка объяс-

107 ненной части временного ряда, построенная обычным методом наименьших квадратов.
Замечание 3.1.1.
Тест Дарбина–Уотсона неприменим в слу- чаях, когда объясненная часть модели временного ряда ( )
i
q
τ
кор- релированна со случайными возмущениями
j
ε
. ♦
Допустим, что с помощью теста Дарбина–Уотсона (или дру- гого теста) установлено наличие корреляции. Кроме этого спра- ведливы следующие предположения о числовых характеристиках возмущений
i
ε
:
2
( ) 0, ( )
i
i
M
D
ε
ε
σ
=
=
. При этих предположениях возмущения
i
ε
можно рассматривать как стационарный дис-
кретный случайный процесс (
другими словами – стационарный
временной ряд)
с коррелированными значениями.
В качестве математических моделей для описания такого процесса используют модели двух классов:
• авторегрессионные модели;
• модели скользящего среднего.
Рассмотрим некоторые модели из этих классов.
3.1.2. Модель авторегрессии первого порядка (модель AR(1))
Эта модель описывает так называемый марковский процесс, состояние которого в каждый следующий момент времени опре- деляется только состоянием в настоящий момент времени и не за- висит от того, каким путем процесс достиг этого состояния. Мо- дель AR(1) определяется соотношением
1
i
i
i
ε
με
ξ
−
=
+ ,
(3.1.2) где
μ
– коэффициент модели, часто называемый коэффициентом авторегрессии (
1
μ
< );
i
ξ
– последовательность случайных вели- чин, образующих «белый шум» (см. п. 1.2) с характеристиками:
2
,
0;
( ) 0;
(
)
0,
0.
i
i i j
если j
M
M
если j
σ
ξ
ξ ξ
±
⎧
=
=
= ⎨
≠
⎩
Тогда из (3.1.2) следуют выражения для числовых характеристик процесса
i
ε
:
108
( ) 0
i
M
ε
= ,
2 2
2
( )
1
i
i
D
ε
σ
σ
ε
μ
=
=
−
, ( )
l
i i l
l
ε ε
ρ
ρ
μ
±
=
=
, (3.1.3) где ( )
l
ρ
– коэффициент автокорреляции (1.2.3).
Условие стационарности ряда
i
ε
имеет вид
1
μ
< .
(3.1.4)
Из выражений (3.1.3) видно, что при
μ
близком к 1 диспер- сия случайной величины
i
ε
будет намного больше дисперсии
2
σ
и между соседними значениями имеется сильная корреляция (ко- эффициент корреляции
ρ
равен
μ
).
Для идентификации параметров
μ
,
2
σ
модели AR(1), ис- пользуются остатки
(невязки) 1,2,..., ,
i
i
i
e
y
y i
n
=
− =
где
( )
i
i
y
q
τ
=
– оценка детерминированной составляющей временно- го ряда (см. главу 2). Оценки параметров определяются выраже- ниями:
1 1
1 2
1
(
)(
)
1
;
n
i
i
i
e
e
e e
e
n
s
μ
−
+
=
−
−
−
=
∑
(3.1.5)
2 2
2
(1
)
,
e
s
σ
μ
= −
⋅
(3.1.6) где
2 2
1 1
1 1
;
(
)
n
n
i
e
i
i
i
e
e
s
e
e
n
n
=
=
=
=
−
∑
∑
– выборочные среднее и дис- персия остатков
i
e
3.1.3. Модель авторегрессии второго порядка (модель AR(2))
Модель определяется соотношением
1 1
2 2
i
i
i
i
ε
μ ε
μ ε
ξ
−
−
=
+
+ , (3.1.7) где
i
ξ
– последовательность некоррелированных величин с ха- рактеристиками

109 2
,
0;
( ) 0;
(
)
0,
0.
i
i i j
если j
M
M
если j
σ
ξ
ξ ξ
±
⎧
=
=
= ⎨
≠
⎩
(3.1.8)
Математическое ожидание и дисперсия процесса
i
ε
опреде- ляются соотношениями:
(
)
2 2
2 2
2 2
1 2
( ) 0;
( )
1 1
1
i
i
i
M
D
ε
σ
ε
σ
ε
μ
μ
μ
μ
=
=
=
+
⎡
⎤
−
−
⎣
⎦
−
, (3.1.9) а значение коэффициента автокорреляции определяется выраже- ниями:
2 1
1 2
2 2
1 2
(1)
;
(2)
;
1 1
( )
(
1)
(
2),
3,4,....
l
l
l
l
μ
μ
ρ
ρ
μ
μ
μ
ρ
μ ρ
μ ρ
=
=
+
−
−
=
− +
−
=
(3.1.10)
Условие стационарности процесса
i
ε
имеет вид
1 1
2 2
1 2
1 2
2 1
1,
2,
1 1
1 1
1
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
⎧− <
<
⎪
⎧
<
−
⎪
⎪
⇒
⎨
⎨
< −
⎪
⎪
⎩
− <
+
<
⎪
−
⎩
Оценки параметров
2 1
2
, ,
μ μ σ
модели AR(2) находятся по формулам:
1 2
(1)(1
(2))
1
(1)
r
r
r
μ
−
=
−
;
(3.1.11)
2 2
2
(2)
(1)
1
(1)
r
r
r
μ
−
=
;
−
(3.1.12)
2 2
2 2
2 2
1 1
1
(1
)
,
1
e
s
μ
σ
μ
μ
μ
+
⎡
⎤
=
⋅
⋅
−
−
⎣
⎦
−
(3.1.13) где
110 1
2 1
(
)(
)
( )
,
1,2;
n l
i
i l
i
e
e
e e
e
n l
r l
l
s
−
+
=
−
−
−
=
=
∑
(3.1.14)
2 1
1 1
1
;
(
).
n
n
i
e
i
i
i
e
e
s
e
e
n
n
=
=
=
=
−
∑
∑
3.1.4. Модель скользящего среднего первого порядка
(или модель МА(1))
Модель определяется соотношением:
1
,
i
i
i
ε
ξ θξ
−
= −
(3.1.15) где
i
ξ
– последовательность некоррелированных случайных вели- чин с характеристиками:
2
,
0;
( ) 0;
(
)
0,
0.
i
i i l
если l
M
M
если l
σ
ξ
ξ ξ
+
⎧
=
=
= ⎨
≠
⎩
Коэффициент автокорреляции процесса
i
ε
:
2
,
1;
( )
1 0,
2,
если l
l
если l
θ
ρ
θ
⎧ −
=
⎪
=
+
⎨
⎪
≥
⎩
а дисперсия процесса
ε
i
:
2 2
2
( ) (1
)
i
i
D
ε
σ
ε
θ
σ
=
= +
⋅
Процесс стационарен при любом значении
θ
Оценка параметра
θ
равна одному из корней
1 2
,
θ θ
квадрат- ного уравнения
2 1
1 0,
(1)
r
θ
θ
+
+ =
(3.1.16)

111 который меньше 1 (
1 2
1
θ θ
⋅
= ), где (1)
r
вычисляется по формуле
(3.1.14) при
1
l
= . Такое значение корня обозначим ˆ
θ
. Оценка дисперсии вычисляется по формуле
2 2
2
,
1
e
s
σ
θ
=
+
(3.1.17) где
2 2
1 1
1 1
(
) ,
n
n
e
i
i
i
i
s
e
e
e
e
n
n
=
=
=
−
=
∑
∑ .
3.1.5. Идентификация параметров моделей в Excel
Из приведенных выше выражений видно, что в оценку пара- метров моделей входят три величины:
1 1
n
i
i
e
e
n
=
= ∑ ,
2 2
1 1
(
) ,
n
e
i
i
s
e
e
n
=
=
−
∑
1 1
cov( )
(
)(
)
n l
i
i l
i
l
e
e e
e
n l
−
+
=
=
⋅
−
−
−
∑
Значения этих величин удобно вычислять, используя стан- дартные функции Excel. Для конкретности предположим, что значения остатков
i
e находятся в диапазоне ячеек А3÷А22 (т.е.
20
n
=
). Тогда
e
= СРЗНАЧ(А3:А22),
(3.1.18)
2
e
s
= ДИСПР(А3:А22),
(3.1.19) cov( )
l
= КОВАР( A3:A22 ;A3 :A22
l
l
−
+
). (3.1.20)
Подставляя вычисленные значения в соответствующие формулы, получаем нужные оценки параметров моделей.
Пример 3.1.1.
В ячейках А3÷А22 документа Excel, приве- денного на рис. 4.1, находятся значения
i
ε
, соответствующие ав- торегрессионной модели первого порядка (3.1.2) с параметрами
2 0.4,
0.144
μ
σ
=
=
. Эти значения показаны на графике в доку- менте Excel (рис. 3.3). Необходимо по приведенной выборке оце- нить значения параметров модели и сравнить их с известными параметрами.
112
Рис. 3.3. Оценивание параметров модели AR(1)
Решение. Будем считать, что
i
i
e
ε
= . Тогда, используя выра- жения (3.1.18)–(3.1.20), вычисляем значения
0.061;
e
=
2 0.235;
e
s
=
cov(1) 0.101
=
, в ячейках D3, D5, D8 соответственно. Затем, под- ставляя эти значения в формулы (3.1.5), (3.1.6), находим оценки параметров 0.429;
μ
=
2 0.192
σ
=
. Сравнивая эти значения с
«точными» параметрами 0.4
μ
=
,
2 0.144
σ
=
, отмечаем невысо- кую точность оценивания (порядка 20–30 %). Это объясняется маленьким объемом выборки
20
n
=
. ☻

113
3.2. Обобщенный метод наименьших квадратов
При моделировании реальных экономических процессов до- пущения Р2, Р3 (см. п. 4.2) классической линейной регрессионной модели оказываются нарушенными. В частности, могут не вы- полняться предположения о том, что случайные возмущения
i
ε
имеют одинаковую дисперсию и некоррелированны между собой.
Такая ситуация характерна для временных рядов с коррелирован- ными возмущениями
i
ε
(см. п. 3.1). Использование обычного ме- тода наименьших квадратов приводит к неэффективным оценкам коэффициентов функции регрессии, т.е. к оценкам, имеющим не- минимальную дисперсию. Возникает вопрос: можно ли и в этих случаях построить эффективные оценки? Для ответа на этот во- прос рассмотрим новую модель множественной регрессии.
3.2.1. Обобщенная линейная модель
множественной регрессии
Пусть модель наблюдений линейной множественной регрес- сии имеет вид
0 1
1 2
2
i
i
i
k ik
i
y
x
x
x
β
β
β
β
ε
=
+
+
+ +
+ ,
1, 2,..., ,
i
n
=
(3.2.1) или в матричном виде
y X
β ε
=
+ ,
(3.2.2) где , , ,
X y
β ε
– матрица и векторы, определенные следующими формулами:
11 12 1
1 21 22 2
2 1
2 1
1
;
;
1
k
k
n
n
nk
n
x
x
x
y
x
x
x
y
X
y
x
x
x
y
=
=
0 1
;
k
β
β
β
β
=
1 2
n
ε
ε
ε
ε
=
Относительно ,
X
ε
сделаем следующие предположения:
Р1. Матрица X размера
(
1)
n
k
× + является неслучайной мат- рицей.
114
Р2. Вектор
ε
имеет нулевое среднее, т.е.
( ) 0
M
ε
= , где 0 – нулевой вектор.
Р3. Ковариационная матрица
(
)
T
V
M
ε
εε
=
вектора
ε
не яв- ляется диагональной (напомним, что недиагональные элементы
ij
μ
характеризуют степень коррелированности случайных вели- чин
i
ε
и
j
ε
).
Р4. Ранг матрицы X ( )
1
rank x
p
n
= + ≤ .
Множественная регрессия (3.2.1), удовлетворяющая предпо- ложениям Р1÷Р4, получила название обобщенной линейной моде-
ли множественной регрессии. Сравнивая эту модель с классиче- ской [5, п. 3.1]), видим, что она отличается от классической толь- ко видом ковариационной матрицы (в классической
2
V
I
ε
σ
=
, где
I – единичная матрица размера n n
× ).
Оценка
1
(
)
T
T
b
X X
X y
−
=
для обобщенной линейной модели также является несмещенной, состоятельной, но неэффективной.
Ковариационная матрица
B
V этой оценки
1 1
(
)
(
)
T
T
T
b
V
X X
X V X X X
ε
−
−
=
,
(3.2.3) в то время как для классической модели
2 1
(
)
T
b
V
X X
σ
−
=
Для получения эффективной оценки будем использовать дру- гую оценку, получаемую так называемым обобщенным методом
наименьших квадратов.
3.2.2. Обобщенный метод наименьших квадратов
Можно показать, что при выполнении предположений Р1÷Р4 обобщенной линейной множественной регрессии линейная оценка
*
1 1
1
(
)
T
T
b
X V X
X V y
ε
ε
−
−
−
=
(3.2.4) имеет наименьшую ковариационную матрицу среди всех линей- ных несмещенных оценок для вектора коэффициентов
β
. Други- ми словами, дисперсии оценок
*
,
0,1,...,
j
b j
k
=
минимальны, т.е.

115 вектор
*
b является эффективной оценкой вектора коэффициентов
β
модели обобщенной линейной множественной регрессии. Ко- вариационная матрица оценки
*
b имеет вид (сравнить с выраже- нием (3.2.3)):
1 1
*
(
)
T
b
V
X V X
ε
−
−
=
(3.2.5)
Отметим, что оценка
*
b минимизирует функционал
*
1
( ) (
)
(
)
T
F b
y Xb V
y Xb
ε
−
=
−
−
,
(3.2.6) называемый функционалом обобщенного метода наименьших квадратов.
Замечание 3.2.1.
Для обобщенной линейной регрессионной модели, в отличие от классической, коэффициент детерминации, вычисленный по формуле (см. (2.1.18)):
*
*
2
(
) (
)
1
(
) (
)
T
T
y Xb
y Xb
R
y y
y y
−
−
= −
−
−
, где y – вектор размерности n , составленный из средних значе- ний
1 1
n
i
i
y
y
n
=
=
∑
, не является удовлетворительной мерой качества построенного уравнения регрессии. В общем случае
2
R можно выводить за пределы интервала
[ ]
0;1 . Поэтому для обобщенной
модели коэффициент детерминации
2
R может использоваться
лишь как приближенная характеристика качества построенного
уравнения регрессии. ♦
Применение обобщенного метода наименьших квадратов требует знания элементов ковариационной матрицы
V
ε
, что в практике эконометрического моделирования встречается очень редко. Поэтому для практической реализации обобщенного МНК необходимо вводить дополнительные условия на структуру мат- рицы V
ε
таким образом, чтобы элементы матрицы V
ε
зависели от нескольких параметров. Рассмотрим пример такого задания V
ε
116
3.3. Выделения тренда временного ряда
на основе обобщенного метода наименьших квадратов
Вернемся к задаче выделения тренда ( )
t
τ
временного ряда, представленного моделью (см. п. 2.1)
( )
( )
( ),
i
i
i
y
t
τ
τ
ε τ
=
+
1,2,...,
i
n
=
(3.3.1)
В качестве уравнения тренда примем полином p -го порядка вида
2 0
1 2
( )
p
p
t
τ
β
β τ β τ
β τ
=
+
+
+ +
(3.3.2)
Тогда, введя новые переменные
1
x
τ
= ,
2 2
x
τ
= , …,
p
p
x
τ
=
, приходим к следующей модели для измеренных значений вре- менного ряда:
0 1 1 2
2
i
i
i
p ip
i
y
x
x
x
β
β
β
β
ε
=
+
+
+ +
+ , i = 1, 2, …, n. (3.3.3)
Далее предполагается, что возмущения
i
ε
имеют нулевое ма- тематическое ожидание, но коррелированны между собой, т.е. ко- вариационная матрица
V
ε
не является диагональной. Таким обра- зом, приходим к модели обобщенной линейной множественной регрессии. В рамках этой модели несмещенная, состоятельная и эффективная оценка коэффициентов
0 1
, ,...,
p
β β
β
определяется на основе обобщенного МНК и имеет вид (3.2.4). Но для построения такой оценки необходимо задать ковариационную матрицу V
ε
Определим матрицу V
ε
для двух следующих моделей возмуще- ний
i
ε
3.3.1. Модель авторегрессии первого порядка
Эта модель возмущений
i
ε
определяется соотношением
(3.1.2). С учетом числовых характеристик возмущений
i
ε
(см.
(3.1.3)) получаем следующую ковариационную матрицу V
ε
век- тора возмущений
ε
:

117 2
1 2
2 2
2 3
1 2
3 1
1 1
1
n
n
n
n
n
n
V
ε
ε
ε
μ
μ
μ
μ
μ
μ
σ
σ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
−
−
−
−
−
−
=
=
⋅ Ω , (3.3.4) где матрица
Ω имеет элементы
[ ]
,
i j
i j
μ
−
Ω
=
;
2 2
2 1
ε
σ
σ
μ
=
−
(3.3.5)
Можно показать, что обратная матрица
1
−
Ω имеет трехдиа- гональную структуру:
2 2
1 2
2 1
0 0
0
(1
)
0 0
0
(1
)
0 0
1 1
0 0
0
(1
)
0 0
0
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
−
−
−
+
−
−
+
Ω =
⋅
−
+
−
−
(3.3.6) и тогда
1
V
ε
−
определяется как
1 1
2 1
V
ε
ε
σ
−
−
=
⋅ Ω .
(3.3.7)
Тогда оценка
*
b обобщенного метода наименьших квадратов яв- ляется решением следующих систем уравнений:
1 1
(
)
T
T
X
X b
X
y
−
−
Ω
=
Ω
, или
*
1 1
1
(
)
T
T
b
X
X
X
y
−
−
−
=
Ω
Ω
(3.3.8)
Для вычисления вектора
*
b достаточно знания параметра
μ
, а для вычисления ковариационной матрицы
*
b
V , определяемой со- отношением
118 2
1 1
*
(
)
T
b
V
X
X
ε
σ
−
−
=
Ω
, необходимо знание дисперсии
2
σ
авторегрессионной модели возмущений временного ряда. В большинстве практических слу- чаев параметры
2
,
μ σ
априори неизвестны и их приходится оце- нивать в процессе построения уравнения регрессии, используя следующую итерационную процедуру (обозначенную
(1)
IPAR
).
3.3.2. Итерационная процедура IPAR(1)
Алгоритм процедуры
IPAR(1):
Шаг 0. По заданной выборке вычисляем оценку простого ме- тода наименьших квадратов:
(0)
1
(
)
T
T
b
X X
X y
−
=
и полагаем номер итерации
0
l
= .
Шаг 1. Вычисляется вектор невязки на l -й итерации:
( )
( )
l
l
e
y Xb
= −
Шаг 2. По формуле (3.1.5) находим оценку
( )
l
μ
на
l -й ите- рации и формируем матрицу
( )
1
( )
l
−
Ω
согласно (3.3.6).
Шаг 3. Вычисляем вектор
( 1)
( )
1 1
( )
1
(
(
)
)
(
)
l
T
l
T
l
b
X
X
X
y
+
−
−
−
=
Ω
Ω
и полагаем
1
l l
= + .
Шаги 1–3 повторяют до тех пор пока различие между
( )
l
μ
и
( 1)
l
μ
+
будут малы. Значение
( 1)
l
μ
+
, при котором итерационная процедура закончилась, обозначим
*
μ
Шаг 4. По найденному значению
*
μ
вычисляем
2
σ
(форму- ла (3.1.6)) матрицу
1
−
Ω (формула (3.3.6)),
2
ε
σ
(формула (3.3.5)) и находим вектор
*
1 1
1
(
)
T
T
b
X
X
X
y
−
−
−
=
Ω
Ω
(3.3.9)

119 и ковариационную матрицу
2 1
1
*
(
)
T
b
V
X
X
ε
σ
−
−
=
⋅
Ω
(3.3.10)
Заметим, что часто ограничиваемся только одной или двумя итерациями описанной процедуры как это сделано в следующем примере.
Пример 3.3.1.
В ячейках D3÷D17 документа Excel (рис. 3.4) приведены значения временного ряда
,
1,2,...,15
i
y i
=
(т.е. 15
n
=
).
Предполагается, что возмущения
i
ε
соответствуют авторегресси- онной модели первого порядка (3.1.2). Необходимо выделить трендовую составляющую временного ряда, аппроксимируя ее полиномом второй степени
2 0
1 2
( )
t
b
b
b
τ
τ
τ
=
+
+
Решение. Введем новые переменные
2 1
2
;
x
x
τ
τ
=
= и сфор- мируем матрицу
X размером 15 3
× , элементы которой находятся в ячейках A3÷C17 (см. рис. 3.4). Выполним одну итерацию итера- ционной процедуры
IPAR(1) и вычислим оценки параметров ав- торегрессионной модели (3.1.2):
0.403
μ
=
,
2 0.106
σ
=
. Этот шаг в документе на рис. 3.4 не отражен из-за недостатка места.
Сформируем матрицу V
ε
, элементы которой вычисляются по формуле
2
,
2
{ }
, ,
1,2,...,
1
i j
i j
V
i j
n
ε
σ
μ
μ
−
=
⋅
=
−
и разместим их в диапазоне I3:W17 (на рисунке не показаны). За- тем вычисляем: матрицу
1
T
X V X
ε
−
размером
3 3
× (ячейки E3÷G5), обратную матрицу
1 1
(
)
T
X V X
ε
−
−
размером
3 3
× (ячейки E8÷G10),
120
вектор
1
T
X V y
ε
−
, содержащий три проекции (ячейки E14÷E16).
Далее по формуле
*
1 1
1
(
)
T
T
b
X V X
X V y
ε
ε
−
−
−
=
вычислим вектор
*
b (ячейки G14÷G16)
*
0
*
*
1
*
2 1.486 1.434 0.336
b
b
b
b
=
=
−
Таким образом, уравнение трендовой составляющей прини- мает вид
2
( ) 1.486 1.434 0.336
t
τ
τ
τ
=
+
−
На рис. 3.5 показаны исходные значения
i
y (кривая 1 отмечена квадратными маркерами) и значения ( )
i
t
τ
(кривая 2 – треуголь- ные маркеры). ☻
Заметим, что применение простого метода наименьших квад- ратов приводит к уравнению
2
( ) 2.674 0.118 0.010
t
τ
τ
τ
=
+
−
, коэффициенты которого существенно отличаются от коэффици- ентов, найденных обобщенным методом наименьших квадратов.

121
Рис. 3.4. Вычисление коэффициентов обобщенным МНК
Рис. 3.5. Исходные данные и трендовая составляющая
122
3.3.3. Модель скользящего среднего первого порядка
Эта модель возмущений
i
ε
определяется соотношением
(3.1.17). Ковариационная матрица V
ε
вектора возмущений
ε
имеет вид
2 1
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
1
V
ε
ε
λ
λ
λ
σ
λ
λ
λ
−
−
−
=
⋅
−
−
−
, (3.3.11) где
2 2
2
(1
)
,
1
ε
θ
σ
θ σ
λ
θ
= +
⋅
=
+
. Матрица V
ε
имеет трехдиаго- нальную структуру, и ее элементы зависят от параметров
2
,
θ σ
модели скользящего среднего. Если эти параметры априори неиз- вестны, то для их оценивания можно использовать итерационную процедуру, аналогичной описанной (1)
IPAR
. Ограничимся только записью одной итерации такой процедуры:
Шаг 0. По заданной выборке вычисляется оценка
1
(
)
T
T
b
X X
X y
−
=
Шаг 1. Вычисляется вектор невязки e
y Xb
= −
Шаг 2. По формулам (3.1.16), (3.1.17) вычисляются оценки
2
,
θ σ
и формируются элементы матрицы V
ε
:
2 2
,
,
{ }
(1
)
i j
i j
V
ε
θ
σ ψ
= +
⋅
⋅
,
(3.3.12) где
,
2 1,
;
,
1;
1 0,
i j
если i
j
если
i
j
во всех остальных случаях
θ
ψ
θ
=
⎧
⎪
⎪
= −
− =
⎨
+
⎪
⎪⎩
Шаг 3. Подставляя матрицу V
ε
в (3.2.4), получаем оценку

123
*
1 1
1
(
)
T
T
b
X V X
X V y
ε
ε
−
−
−
=
для вектора
β
коэффициентов полиномиального тренда. Кова- риационная матрица вектора
*
b определяется выражением
1 1
*
(
)
T
b
V
X V X
ε
−
−
=
(3.3.13)
Использование обобщенного метода наименьших квадратов при значительной корреляции возмущений
i
ε
(например,
1 0.4
i i
ε ε
ρ
+
>
) позволяет более точно оценить коэффициенты урав- нения трендовой составляющей временного ряда.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
Вычисление параметров модели AR(1) возмущений
временного ряда
Исходные данные. Значения временного ряда
{
}
,
,
i
i
y
τ
1,...,15
i
=
приведены в столбцах А,В фрагмента документа, пока- занного на рисунке.
Необходимо: Оценить параметры
2
,
μ σ
авторегрессионной модели возмущений (3.1.2).
Рекомендации:
1. Первоначально по данным
{
}
,
,
1,...,15
i
i
y i
τ
=
, используя режим Регрессия,выделить трендовую составляющую (см. п. 2.2), которая описывается уравнением
2
( )
29 21.61 2.86
t
τ
τ
τ
= − +
−
2. По этому уравнению вычислить значения ( )
i
i
t
t
τ
=
(стол- бец С) и значения
i
i
i
e
y
t
=
− (столбец D).
3. По формулам (3.1.5), (3.1.6) вычислить следующие оценки
2
,
μ σ
(ячейки В18, В19):
2 0.479,
0.678
μ
σ
=
=
124
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Исходные данные. В таблице приведены значения временно- го ряда
{
}
,
,
1,...,14
i
i
y i
τ
=
. Известно, что возмущения
i
ε
коррели- рованны и описываются моделью скользящего среднего первого порядка (3.1.15).
i
τ
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
i
y
0.4+N 0.8+N 0.3+N N 2.0+N 1.4+N 2.3+N
i
τ
0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
i
y
3.9+N 2.2+N 3.3+N 3.4+N 3.9+N 4.1+N 2.9+N
Примечание. N – последняя цифра в изменяющемся номере за- четной книжке.

125
Необходимо:
1. Выделить трендовую составляющую временного ряда в классе полиномов до третьего порядка включительно. Отбор наи- лучшего полинома ( )
opt
t
τ
осуществить по величине приведенного индекса детерминации (см. замечание 2.1.2).
2. Вычислить остатки ( ),
1,...,14
i
i
opt
i
e
y
t
i
τ
=
−
=
3. Построить графики значений
,
( ),
i
opt
i
i
y t
e
τ
4. Вычислить оценки для параметров
2
,
θ σ
модели (3.1.15)
(см. п. 3.1.4).
5. В контрольную работу включить фрагменты документов
Excel, содержащие
ƒ
вычисление коэффициентов всех полином до третьего по- рядка включительно;
ƒ
вычисление приведенного индекса детерминации;
ƒ
вычисление значений
,
( ),
i
opt
i
i
y t
e
τ
и их график;
ƒ
вычисление оценок для параметров
2
,
θ σ
Рекомендации:
1. При выборе наилучшего полинома использовать пример
2.2.2. Следует отметить, что иногда коэффициенты полинома, вычисляемые с помощью команды Добавить линию тренда,яв- ляются ошибочными и не соответствуют кривой, график которой приводится на соответствующем рисунке. В этом случае коэффи- циенты следует вычислять с использованием режима Регрессия,
команды Анализ данныхпункта меню Сервис.
2. При вычислении оценок для параметров
2
,
θ σ
програм- мирование соответствующих выражений выполнить по аналогии с лабораторной работой третьей главы.
126
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что такое коррелированные возмущения временного ряда?
2. Как проявляется положительная и отрицательная автокор- реляции возмущений временного ряда?
3. Как записывается модель авторегрессии первого порядка?
4. Как записывается модель авторегрессии второго порядка?
5. Как записывается модель скользящего среднего первого порядка?
6. Какие недостатки имеют оценки, вычисленные классиче- ским методом наименьших квадратов, когда возмущения
i
ε
кор- релированны между собой?
7. В каких случаях применяется обобщенный метод наи- меньших квадратов?
8. Сущность применение обобщенного метода наименьших квадратов для выделения трендовой составляющей при коррели- рованных возмущениях временного ряда.

127