Эконометрика в Excel (часть 2). Ю. Е. Воскобойников
 Скачать 1.67 Mb.
|
|
Пример 4.3.1. Предположим, что матрица R имеет число обусловленности, равное 100 , а относительная погрешность век- тора правой части r равна 0.01 r r r − = (или 1% ). Тогда имеет место неравенство для относительной ошибки решения b : 100 0.01 1 b b b − ≤ ⋅ = (или 100 %). (4.3.18) Очевидно, что такая точность оценивания коэффициентов m β яв- ляется неудовлетворительной. В этом случае для повышения точ- ности решения необходимо использовать специальные методы решения системы (4.3.13) при неточно заданном векторе правой части – методы регуляризации [13]. ☻ Рассмотрим частные случаи уравнения (4.3.3) при 1,2 p = Оценка 1 b для коэффициента 1 β модели авторегрессии пер- вого порядка определяется как ( ) 1 1 b r = , (4.3.19) а само уравнения авторегрессии временного ряда имеет вид 1 1 i i y b y − = (4.3.20) Оценки 1 b , 2 b для коэффициента 1 2 , β β модели авторегрес- сии второго порядка определяются соотношениями: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 1 r r b r ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ = − ; (4.3.21) 140 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 r r b r − = − , (4.3.22) а уравнение авторегрессии имеет вид 1 1 2 2 i i i y b y b y − − = + (4.3.23) Заметим, что при небольшом порядке авторегрессионной мо- дели ( 3 p ≤ ) и достаточно большом объеме выборки n оценки m b , получаемые из решения системы (1.1.10), являются достаточ- но «хорошими» (т.е. имеют приемлемую точность). Поэтому возникает вопрос: можно ли изложенный метод оценивания коэффициентов авторегрессионной модели использо- вать в случаях, когда не выполняются условия (4.3.1) и ( ) ( ) M Y τ есть некоторая функция ( ) t τ ? Ответ положителен, если авторег- рессионную модель вида (4.3.3) строить для функции ( ) ( ) ( ) Z Y t τ τ τ = − (4.3.24) Это иллюстрируется следующим примером Пример 4.3.2. В табл. 4.1 представлены данные, отражающие динамику курса акций некоторой компании (в условных едини- цах). Необходимо по этим данным построить модель AR(2) с ко- эффициентами 1 b , 2 b , определяемыми выражениями (4.3.21), (4.3.22). Решение. По графику значений i y (рис. 4.1, кривая 1) видно, что условие (4.3.1) не выполняется. Поэтому отцентрируем зна- чения i y следующим способом: • по значениям i y построим уравнения тренда ( ) t τ в виде полинома степени 2 p = . В табл. 4.2 приведено уравнение ( ) 2 943.83 1.74 1.06 t τ τ τ = − + , (4.3.25) 141 для которого 2 0.406 R = , 2 0.373 R = ; • вычислим значение функции ( ) z τ (которая является оцен- кой для функции (4.3.24)) при i τ τ = ( ) i i i z y t τ = − , 1,2,..., i n = (4.3.26) График значений i z приведен на рис. 4.2. Используя крите- рий e T (см. п. 2.4.1) проверим гипотезу о равенстве математиче- ского ожидания случайных величин ( ) ( ) ( ) i i i Z Y t τ τ τ = − нулю. Вычисленное значение критерия 0.86 e T = не попадает в критиче- скую область [ ) 2.38, ∞ и поэтому принимается гипотеза ( ) ( ) 0 i M Z τ = , 1, 2,..., i n = Рис. 4.2. График значений i z (пример 4.3.2) Далее используя функцию Excel КОРРЕЛ (см. пример 1.2.2) вычисляем выборочные коэффициента автокорреляции: ( ) 1 0.456 r = , ( ) 2 0.004 r = − . Подставляя эти значения в формулы (4.3.21), (4.3.22), определяем 1 0.783 b = , 2 0.443 b = − . Таким обра- 142 зом, временной ряд ( ) i Z τ описывается уравнением авторегрес- сии 1 2 0.783 0.443 i i i z z z − − = − (4.3.27) Учитывая приведенное центрирование (4.3.26) исходного вре- менного ряда, получаем следующую комбинированную модель временного ряда ( ) i Y τ : 2 1 2 943.83 1.74 1.06 0.783 0.443 i i i i i y z z τ τ − − = − + + − , (4.3.28) где ( ) i i i z y t τ = − , 1,2,..., i n = . На рис. 4.3 приведены значения i y (кривая 1) и значения i y (кривая 2) для 3, 4,..., 21 i = Рис. 4.3. График значений , i i y y (пример 4.3.2) Видно, что значения i y адекватные исходным i y в большей степени, чем значения i y , вычисленные по формуле (табл. 4.4): 1 2 275.61 0.730 0.022 i i i y y y − − = + + (4.3.29) Это подтверждается и значениями коэффициентов детерминации, приведенными в табл. 4.4. 143 Таблица 4.4 Уравнение 2 R 2 R Формула (4.3.29) 0.554 0.525 Формула (4.3.28) 0.713 0.695 Следовательно, можно сделать вывод, что комбинированная модель (4.3.28) более точно описывает временной ряд (выборка которого приведена в табл. 4.1) по сравнению с чистой моделью авторегрессии (4.3.29). ☻ Замечание 4.3.1. Формулу (4.3.28) можно записать в другом виде, более близком к записи авторегрессионной модели времен- ного ряда (4.1.1). Для этого в формулу (4.3.28) вместо i z подста- вим выражение ( ) i i y t τ − . Получаем следующую запись авторег- рессионной модели: 1 2 1 2 0 1 2 1 1 2 2 0.783 0.443 ( ) 0.783 ( ) 0.443 ( ) ( , , ) , i i i i i i i i i i i y y y t t t b b y b y τ τ τ τ τ τ − − − − − − − − = − + + − = = + + где коэффициент 0 b зависит от моментов времени 1 2 , , i i i τ τ τ − − . За- висимость 0 b от времени позволяет в определенной степени учесть нестационарность исследуемого временного ряда. 4.4. Тест на наличие автокорреляции Рассмотренная статистика Дарбина–Уотсона является наи- более важным индикатором автокорреляции (см. п. 2.4.3). Однако тест с использованием этой статистики имеет следующие недос- татки: • наличие зоны неопределенности значений статистики d (ко- гда нельзя принять определенное решение); • ограниченность применения, так как выявляется корреля- ция только между соседними членами ряда. 144 Все это приводит к необходимости использовать и другие тесты на наличие автокорреляции: Q -тест Льюинга–Бокса, кото- рый применим к стационарным временным рядам. Тест Льюинга–Бокса. Сформулируем статистические гипо- тезы: 0 H : автокорреляция отсутствует; 1 H : автокорреляция присутствует. Тест основан на следующем рассуждении: при отсутствии авто- корреляции все значения коэффициентов автокорреляции ( ) l ρ равны 0 . Разумеется, значения выборочных коэффициентов авто- корреляции ( ) r l отличны от нуля, но это отличие не должно быть существенным. Критерий теста Льюинга–Бокса определяется выражением ( ) ( ) 2 1 2 p p l r l Q n n n l = = + − ∑ , (4.4.1) где n – число наблюдений временного ряда, p – предполагае- мый порядок авторегрессионной модели. Выборочные коэффици- енты автокорреляции вычисляются по формуле (1.2.5). Если верна гипотеза 0 H о равенстве нулю всех коэффици- ентов ( ) l ρ , 1,2,..., l p = , то критерий p Q имеет 2 p χ - распределе- ние с p степенями свободы. Если выполняется неравенство 2 , 1 p p Q α χ − > , (4.4.2) то с вероятностью ошибки первого рода, равной α , гипотеза 0 H отвергается и принимается альтернативная гипотеза 1 H , т.е. при- нимается предположение о наличии автокорреляции в исследуе- мом временном ряду. 145 Величина 2 , 1 p α χ − является квантилем 2 p χ -распределения по- рядка (1 α − ). Для вычисления можно использовать функцию Ex- cel: ( ) 2 , 1 ХИ2ОБР ; p p α χ α − = (4.4.3) Пример 4.4.1. В табл. 4.5 приведены значения коэффициен- тов автокорреляции ( ) r l , вычисленные по 100 наблюдениям ста- ционарного временного ряда. Таблица 4.5 l ( ) r l p Значение p Q 2 , 0.95 p χ 1 0.498 1 25.314 3.84 2 0.158 2 27.875 5.99 3 0.024 3 27.937 7.82 Необходимо проверить гипотезы о наличии автокорреляции для 1,2,3 p = Решение. В табл. 4.5 приведены вычисленные значения кри- терия p Q , 1,2,3 p = и квантили 2 , 0.95 p χ . Видно, что для всех p выполняется неравенство (4.4.2) и, следовательно, гипотезы 0 H для 1,2,3 p = отвергаются с вероятностью ошибки первого рода, равной 0.05. ☻ Рассмотренный тест Льюинга–Бокса следует использовать для стационарного временного ряда или ряда остатков ( ) i i i e y t τ = − , полученных после нахождения трендовой состав- ляющей ( ) t τ 146 4.5. Определение порядка авторегрессионной модели временного ряда Ранее (при вычислении оценок для коэффициентов m β ) предполагалось, что порядок p авторегрессионной модели задан. Однако в большинстве практических случаев это не так. Поэтому возникает задача оценить порядок авторегрессионной модели. Предположим, что исследуемый временной ряд является стационарным и обратимcя к соотношению (3.3.9). Видно, что ( ) m част m β ρ = , (4.5.1) где ρ част ( m) – частный коэффициент автокорреляции, соответст- вующий лагу m. Величина ρ част ( m) определяется как коэффициент корреляции между двумя случайными величинами Y( τ i ) и Y( τ i+m ) при устранении влияния промежуточных ( ) ( ) 1 1 ,..., i i m Y Y τ τ + + − слу- чайных величин. Оценкой для ρ част ( m) является выборочный частный коэф- фициент автокорреляции ( ) част r m и тогда оценка m b для коэффи- циента m β определяется выражением ( ) m част b r m = (4.5.2) Для построения формул, вычисляющих ( ) част r m , приведем некоторые необходимые сведения о частных коэффициентах корреляции, определяемых при наличии зависимой переменной Y и p независимых объясняющих переменных 1 2 , ,..., p X X X [5, с. 128]. Запись ( ) 1 2 , ,..., i p YX X X X r означает коэффициент частной кор- реляции между переменными Y и i X при «исключении» пере- менных 1 2 1 1 , ,..., , ,..., i i p X X X X X − + . Количество исключаемых пе- ременных (указаны в круглых скобках) определяет порядок част- ного коэффициента корреляции. Соответственно коэффициенты парной корреляции можно рассматривать как частные коэффи- циенты корреляции нулевого порядка. 147 Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков определяют по следующей рекуррентной формуле: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,..., ,..., ,..., ,..., 2 2 ,..., ,..., 1 1 i p p p i p p i p p p i p p YX X X YX X X X X X X YX X X YX X X X X X X r r r r r r − − − − − − ⋅ = − − . (4.5.3) При двух независимых переменных 1 2 , X X и 1 i = формула примет вид ( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 YX YX X X YX X YX X X r r r r r r − ⋅ = − − (4.5.4) Для 2 i = имеем ( ) ( )( ) 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 YX YX X X YX X YX X X r r r r r r − ⋅ = − − (4.5.5) Для трех переменных 1 2 3 , , X X X и 3 i = частный коэффици- ент корреляция второго порядка определяется выражением: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 1 2 3 1 3 1 2 2 1 2 3 1 , 2 2 1 1 YX X YX X X X X YX X X YX X X X X r r r r r r − ⋅ = − − (4.5.6) Для вычисления частных коэффициентов автокорреляции с использованием формулы (4.5.3) установим следующее соотно- шение ( ) i Y Y τ ↔ ; ( ) 1 1 i X Y τ + ↔ ; ( ) 2 2 i X Y τ + ↔ ; ( ) 3 3 i X Y τ + ↔ . (4.5.7) Тогда с учетом формулы (4.5.5) для частного коэффициента автокорреляции первого порядка между ( ) i Y τ , ( ) 2 i Y τ + при уст- ранении влияния ( ) 1 i Y τ + получаем следующую формулу: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1,2 2 1 1 1 1,2 част YX X r r r r r r r − ⋅ = = − − , (4.5.8) где ( ) 1 r , ( ) 2 r , ( ) 1,2 r – выборочные коэффициенты автокорре- ляции между ( ) i Y τ и ( ) 1 i Y τ + , ( ) i Y τ и ( ) 2 i Y τ + , ( ) 1 i Y τ + и ( ) 2 i Y τ + 148 Из соответствий (4.5.7) следует очевидное тождество ( ) ( ) 3 1 2 3 част YX X X r r = (4.5.9) Тогда, используя формулу (4.5.6), можно получить выражение для вычисления выборочного частного коэффициента автокорре- ляции второго порядка между ( ) i Y τ и ( ) 3 i Y τ + при устранении влияния ( ) 1 i Y τ + , ( ) 2 i Y τ + . При этом частные корреляции первого порядка ( ) 3 1 YX X r , ( ) 2 1 YX X r , ( ) 2 3 1 X X X r определяются соотношениями, аналогичными (4.5.4), (4.5.5): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 3 1 1,3 1 1 1 1,3 YX X r r r r r r − ⋅ = − − ; (4.5.10) ( ) ( ) 2 1 2 част YX X r r = ; (4.5.11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 2,3 1,3 1,2 1 1,3 1 1,2 X X X r r r r r r − ⋅ = − − , (4.5.12) где ( ) 2,3 r , ( ) 1,3 r – выборочные коэффициенты автокорреляции между величинами ( ) 2 i Y τ + и ( ) 3 i Y τ + , ( ) 1 i Y τ + и ( ) 2 i Y τ + |