ДЗ - Контрольная работа математика. Задача 1 1 Задача 2 7 Задача 3 11 Задача 4 22 Задача 5 25 Список использованных источников 31 Задача 1
 Скачать 267.33 Kb.
|
|
Содержание Задача 1 1 Задача 2 7 Задача 3 11 Задача 4 22 Задача 5 25 Список использованных источников 31 Задача 1В производстве двух видов товаров продукции А и В принимают участие три предприятия. При этом на изготовление единицы изделия А первое предприятие тратит 7 часов, второе – 6 ч, третье – 5 ч. На изготовление единицы изделия В первое предприятие тратит 8 ч, второе – 3 ч, третье – 1 ч. На производство всех изделий первое предприятие может затратить не более чем 476 ч, второе – не более чем 366 ч, третье – не более чем 319 ч. От реализации единицы готовой продукции вида А прибыль составляет 11 рублей., а вида В –10 рублей. Определить, исходя из представленных данных, максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплекс-методом и графически. Решение: Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 11x1+10x2 → max, при системе ограничений: 7x1+8x2≤476, 6x1+3x2≤366, 5x1+x2≤319, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Построим уравнение 7x1+8x2 = 476 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 59.5. Построим уравнение 6x1+3x2 = 366 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 122. Построим уравнение 5x1+x2 = 319 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 319. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 63.8. Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений АВСD, рисунок 1.  Рисунок 1 – Рисунок к задаче Рассмотрим целевую функцию задачи F = 11x1+10x2 → max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 11x1+10x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (11;10). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На рисунке 1 эта прямая обозначена пунктирной линией. Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:  Откуда найдем максимальное значение целевой функции: F(x) = 11*55,56 + 10*10.88= 720 Симплексный метод. Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных. В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 7x1+8x2+x3 = 476 6x1+3x2+x4 = 366 5x1+x2+x5 = 319 Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:  Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4, x5 Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:X0 = (0,0,476,366,319) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 и из них выберем наименьшее: min (476 : 7 , 366 : 6 , 319 : 5 ) = 61 Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (6) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Вместо переменной x4 в план 1 войдет переменная x1. Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=6. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x1 записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 и из них выберем наименьшее: min (49 : 41/2 , 61 : 1/2 , - ) = 108/9 Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (41/2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x3 в план 2 войдет переменная x2. Строка, соответствующая переменной x2 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x3 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=41/2. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x2 записываем нули. Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x2 и столбец x2. Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. Оптимальный план можно записать так: x1 = 555/9, x2 = 108/9 F(X) = 11*555/9 + 10*108/9 = 720 Ответ: F(x)max=720 |