Статистика. Вариант 4 (5 заданий). Задача 1 Количество строк и столбцов в матрице а 3 строки, 3 столбца. В матрице в 3 строки, 3 столбца

• Название: Задача 1 Количество строк и столбцов в матрице а 3 строки, 3 столбца. В матрице в 3 строки, 3 столбца
• Анкор: Статистика
• Дата: 02.04.2022
• Размер: 53.2 Kb.
• Имя файла: Вариант 4 (5 заданий).docx
• Тип: Задача; #435530

Вариант 4.

Задача 1.







1) Количество строк и столбцов: в матрице А – 3 строки, 3 столбца. В матрице В – 3 строки, 3 столбца.

2) Элемент , .

3) Сумма элементов главной диагонали матрицы А:

.

4)Произведение элементов побочной диагонали матрицы А:

.

5) Транспонированная матрица для матрицы А (поменяем столбцы и строки):



6)





7) Определитель матрицы А:





8) Обратная матрица для матрицы А:

Запишем матрицу в виде:



Главный определитель

∆=1∙((-3)∙(-1) - 1∙1) - 4∙(1∙(-1) - 1∙(-1)) + 2∙(1∙1 - (-3)∙(-1)) = -2

Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:



где A_ij - алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица.



Найдем алгебраические дополнения матрицы A^T.



∆_1,1 = ((-3)∙(-1) - 1∙1) = 2



∆_1,2 = -(1∙(-1) - (-1)∙1) = 0



∆_1,3 = (1∙1 - (-1)∙(-3)) = -2



∆_2,1 = -(4∙(-1) - 1∙2) = 6



∆_2,2 = (1∙(-1) - (-1)∙2) = 1



∆_2,3 = -(1∙1 - (-1)∙4) = -5



∆_3,1 = (4∙1 - (-3)∙2) = 10



∆_3,2 = -(1∙1 - 1∙2) = 1



∆_3,3 = (1∙(-3) - 1∙4) = -7

Обратная матрица.





Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.



E=A∙A^-1=

1∙2+1∙6+(-1)∙10	1∙0+1∙1+(-1)∙1	1∙(-2)+1∙(-5)+(-1)∙(-7)
4∙2+(-3)∙6+1∙10	4∙0+(-3)∙1+1∙1	4∙(-2)+(-3)∙(-5)+1∙(-7)
2∙2+1∙6+(-1)∙10	2∙0+1∙1+(-1)∙1	2∙(-2)+1∙(-5)+(-1)∙(-7)

Задача 2.

Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы.



Решение:

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.

Выпишем расширенную и основную матрицы:



Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 1-ую строку на (-3). Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:



Умножим 2-ую строку на (-4). Умножим 3-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:



Умножим 1-ую строку на (13). Умножим 2-ую строку на (5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:



Определим ранг основной системы системы.



Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля. Ранг этой системы равен rangA=3.

Определим ранг расширенной системы системы.



Ранг этой системы равен rangB=3.

rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.

а) метод Крамера.

Запишем систему в виде:



B^T = (4,-5,16)

Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.

Определитель:

∆ = 2∙((-1)∙(-2)-3∙(-5))-3∙(1∙(-2)-3∙(-2))+4∙(1∙(-5)-(-1)∙(-2)) = -6

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.

4	1	-2
-5	-1	-5
16	3	-2

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 4∙((-1)∙(-2)-3∙(-5))-(-5)∙(1∙(-2)-3∙(-2))+16∙(1∙(-5)-(-1)∙(-2)) = -24



Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.

2	4	-2
3	-5	-5
4	16	-2

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 2∙((-5)∙(-2)-16∙(-5))-3∙(4∙(-2)-16∙(-2))+4∙(4∙(-5)-(-5)∙(-2)) = -12



Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.

2	1	4
3	-1	-5
4	3	16

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 2∙((-1)∙16-3∙(-5))-3∙(1∙16-3∙4)+4∙(1∙(-5)-(-1)∙4) = -18



Выпишем отдельно найденные переменные Х







Проверка.

2∙4+1∙2-2∙3 = 4

3∙4-1∙2-5∙3 = -5

4∙4+3∙2-2∙3 = 16
б) метод Гаусса:

Запишем систему в виде расширенной матрицы:



Умножим 1-ю строку на (3). Умножим 2-ю строку на (-2). Добавим 2-ю строку к 1-й:



Умножим 2-ю строку на (4). Умножим 3-ю строку на (-3). Добавим 3-ю строку к 2-й:



Умножим 1-ю строку на (13). Умножим 2-ю строку на (5). Добавим 2-ю строку к 1-й:



Теперь исходную систему можно записать так:

x₃ = -54/(-18)

x₂ = [-68 - ( - 14x₃)]/(-13)

x₁ = [16 - (3x₂ - 2x₃)]/4

Из 1-й строки выражаем x₃



Из 2-й строки выражаем x₂



Из 3-й строки выражаем x₁


в) Метод обратной матрицы:

Итак, определитель -6 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

=

Тогда:

=

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)^i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:

Вычисляем алгебраические дополнения.

∆_1,1=(-1•(-2)-(-5•3))=17

∆_1,2=-(1•(-2)-(-2•3))=-4

∆_1,3=(1•(-5)-(-2•(-1)))=-7

∆_2,1=-(3•(-2)-(-5•4))=-14

∆_2,2=(2•(-2)-(-2•4))=4

∆_2,3=-(2•(-5)-(-2•3))=4

∆_3,1=(3•3-(-1•4))=13

∆_3,2=-(2•3-1•4)=-2

∆_3,3=(2•(-1)-1•3)=-5

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:

Вычислим обратную матрицу:

Вектор результатов X

X=A^-1 • B

X^T=(4,2,3)

x₁=^-24 / _(-6)=4

x₂=^-12 / _(-6)=2

x₃=^-18 / _(-6)=3

Задача 4.

А)





Б)





В)





Выполним элементарные преобразования:





Тогда исходный предел можно представить в виде:





Ответ:



Задача 5.

Найти производную в точке



Решение:



Поскольку:



(2∙x⁴+3)' = 8∙x³

Поскольку:

(2∙x⁴)' = 2∙4∙x^4-1(x)' = 8∙x³

(x)' = 1

Получаем:



Так как , тогда:


Задача 6.

Исследовать функцию по схеме и построить ее график:



Решение:

1) Область определения функции.

X ⊆ R

2) Четность или нечетность функции.



Функция общего вида

3) Точки пересечения кривой с осями координат.

Пересечение с осью 0Y



Пересечение с осью 0X

y=0





4) Исследование на экстремум.



1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.



Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю



Откуда:

(-∞ ;2)	(2; 3)	(3; +∞)
f '(x) < 0	f '(x) > 0	f '(x) < 0
функция убывает	функция возрастает	функция убывает

В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума. В окрестности точки x = 3 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 3 - точка максимума.

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

f''(x) = 30-12∙x

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

30-12∙x = 0

Откуда точки перегиба:

x₁ = 5/2

(-∞ ;5/2)	(5/2; +∞)
f ''(x) > 0	f ''(x) < 0
функция вогнута	функция выпукла

5) Асимптоты кривой.

y = -2∙x³+15∙x²-36∙x+20

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:



Находим коэффициент k:





Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

y = -2∙x³+15∙x²-36∙x+20

Найдем наклонную асимптоту при x → -∞:



Находим коэффициент k:





Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

График функции: