|
эконометрика. Вариант1. Задача 1 в базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительский свойствах и ценах
2. Множественная зависимость. 2.1. По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели
Составим матрицы и
Для этого составим вспомогательную таблицу: (таблица 6)
i
| yi
| xi1
| xi2
| xi12
| xi22
| yi xi1
| yi xi2
| xi1xi2
| 1
| 8,3
| 6
| 88
| 36
| 7744
| 49,8
| 730,4
| 528
| 2
| 17,9
| 3
| 160
| 9
| 25600
| 53,7
| 2864
| 480
| 3
| 11,2
| 5
| 105
| 25
| 11025
| 56
| 1176
| 525
| 4
| 17,2
| 4
| 165
| 16
| 27225
| 68,8
| 2838
| 660
| 5
| 9,4
| 5,5
| 88
| 30,25
| 7744
| 51,7
| 827,2
| 484
| 6
| 15,9
| 4
| 145
| 16
| 21025
| 63,6
| 2305,5
| 580
| 7
| 6,8
| 7
| 95
| 49
| 9025
| 47,6
| 646
| 665
| 8
| 10,8
| 6
| 124
| 36
| 15376
| 64,8
| 1339,2
| 744
| 9
| 15,6
| 5
| 165
| 25
| 27225
| 78
| 2574
| 825
| 10
| 13,8
| 3,5
| 112
| 12,25
| 12544
| 48,3
| 1545,6
| 392
| 11
| 15,3
| 3
| 120
| 9
| 14400
| 45,9
| 1836
| 360
| 12
| 14,4
| 4,5
| 145
| 20,25
| 21025
| 64,8
| 2088
| 652,5
| 13
| 15,6
| 3,5
| 140
| 12,25
| 19600
| 54,6
| 2184
| 490
| 14
| 10,6
| 7
| 145
| 49
| 21025
| 74,2
| 1537
| 1015
| 15
| 11,2
| 5,5
| 120
| 30,25
| 14400
| 61,6
| 1344
| 660
| 16
| 13,4
| 4,5
| 132
| 20,25
| 17424
| 60,3
| 1768,8
| 594
| Σ
| 207,4
| 77
| 2049
| 395,5
| 272407
| 943,7
| 27603,7
| 9654,5
|
;
Найдем :
алгебраические дополнения:
Тогда обратная матрица
таким образом, получаем уравнение регрессии:
. 2.2. Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9. Для вычисления коэффициента детерминации составим таблицу: (таблица 7)
ỹi
| ỹi -yi
| (ỹi -yi )2
|
| 8,08
| -0,22
| 0,0484
| 21,73891
| 17,89
| -0,01
| 1E-04
| 24,37891
| 10,86
| -0,34
| 0,1156
| 3,106406
| 16,65
| -0,55
| 0,3025
| 17,95641
| 8,875
| -0,525
| 0,275625
| 12,69141
| 15,25
| -0,65
| 0,4225
| 8,628906
| 6,98
| 0,18
| 0,0324
| 37,97641
| 10,6
| -0,2
| 0,04
| 4,676406
| 15,06
| -0,54
| 0,2916
| 6,956406
| 13,735
| -0,065
| 0,004225
| 0,701406
| 15,09
| -0,21
| 0,0441
| 5,463906
| 14,455
| 0,055
| 0,003025
| 2,066406
| 15,695
| 0,095
| 0,009025
| 6,956406
| 10,48
| -0,12
| 0,0144
| 5,581406
| 11,115
| -0,085
| 0,007225
| 3,106406
| 13,545
| 0,145
| 0,021025
| 0,191406
|
|
| 1,63
| 162,18
|
Коэффициент корреляции
Следовательно, регрессия y на x1 и x 2 объясняет 99% колебаний значений у. Это свидетельствует о значительном суммарном влиянии независимых переменных x1 и x 2 на зависимую переменную у.
Качество уравнения множественной регрессии оценим с помощью F-теста, найдем
При уровне значимости 0,05 и табличное значение Fm=3,81. Неравенство Fmф выполняется, гипотеза о незначимости коэффициентов регрессии отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.
2.3. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,9. Точечный прогноз:
где - вектор независимых переменных, для которого определяется прогноз. В нашем случае
Тогда Интервальный прогноз:
;
, где
тогда
т.е. с надежностью 90% цена на поступившие автомобили попадет в интервал (17,92 ; 18,55). 3. Экономическая интерпретация. Рассмотрим зависимость цены от возраста:
Так как = -0,856 и проверка значимости показала его существенное отличие от 0, то есть основание утверждать, что между ценой автомобиля и его возрастом существует достаточно тесная отрицательная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии .
Коэффициент формально определяет цену нового автомобиля, т.е. когда .
Коэффициент характеризует размер прироста цены, обусловленного приростом возраста на единицу, т.е. при увеличении возраста автомобиля на 1 год следует ожидать уменьшения цены на 2,18 тыс. у.е. Зависимость цены от мощности:
Так как = 0,819 и проверка значимости показала его существенное отличие от 0, то есть основание утверждать, что между ценой автомобиля и его возрастом существует достаточно тесная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии .
Коэффициент характеризует размер прироста цены, обусловленного приростом возраста на единицу, т.е. при увеличении мощности автомобиля на 1 л.с следует ожидать увеличения цены на 0,104 тыс. у.е. В результате исследования зависимости объема цены от двух факторов – возраста и мощности двигателя получено уравнение множественной регрессии
Коэффициент показывает, что при увеличении возраста на 1 год и неизменной мощности двигателя следует ожидать снижения цены автомобиля на 1,59 тыс. у.е.
Коэффициент показывает, что при увеличении мощности на 1 л.с и неизменном возрасте следует ожидать увеличения цены автомобиля на 0,07 тыс. у.е.
|
|
|