ТВиМС - ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ. Задача Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять
![]()
|
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»Теория вероятностей: Задача 1. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять. Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом — одно из сочетаний очков 1, ..., 6 на верхних гранях трех костей. Исследуемое событие ![]() ![]() ![]() Общее количество элементарных событий ![]() ![]() Количество элементарных событий ![]() ![]() ![]()
В результате получаем, что ![]() ![]() Ответ: ![]() Задача 2. Слово МАТЕМАТИКА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, когда буквы вынимаются в порядке заданного слова. Решение. Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу перестановок из 10 букв:
Некоторые буквы в слове МАТЕМАТИКА повторяются (М — 2 раза, А — 3 раза, Т — 2 раза), поэтому возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно: ![]() Таким образом, ![]() Ответ: ![]() Задача 3. Фамилия и имя студента записаны с помощью карточек. Карточки с буквами фамилии и имени смешивают в отдельные пачки и отдельно вынимают по одной карточке без возврата. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке следования в фамилии и имени. Эта задача решается аналогично предыдущей. Задача 4. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) 2 белых шара; б) меньше чем 2 белых шара; в) хотя бы один белый шар. Решение. Испытанием будет случайное вынимание четырех шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно: ![]()
а) ![]() ![]() ![]() б) ![]() ![]() ![]() ![]() Так как события ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() в) ![]() 1 белый и 3 черных ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Здесь событие ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ. ![]() ![]() ![]() Задача 5. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени ![]() ![]() а) только один элемент; б) хотя бы один элемент. Решение. Испытание, т. е. работу за время ![]() а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По условию, ![]() ![]() ![]() учитывая, что ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, ![]() ![]() б) ![]() ![]() Событие определяется словами «хотя бы один», значит, используем противоположное событие. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() Задача 6. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли случайно 3 шара, а из второй — 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров: а) все шары одного цвета; б) только три белых шара; в) хотя бы один белый шар. Р Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение трех шаров из первой урны и двух шаров из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания по 3 или 2 из 10 или 12 шаров соответственно. ешение. ![]() а) ![]() Определим для каждой урны все возможные события: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Значит, ![]() ![]() Найдем количество элементарных событий ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем количество каждого из элементарных событий, определяющих следующие события: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, ![]() б) ![]() ![]() ![]() ![]() в) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |