ТВиМС - ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ. Задача Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять
![]()
|
Ответ: ![]() ![]() ![]() Задача 7. В урне 4 черных и белых шара. К ним прибавляют 2 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все предположения о первоначальном содержании урны равновозможны. Р Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шара, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используем формулу полной вероятности: ешение. ![]() ![]() Событие ![]() Рассмотрим события: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Формулу полной вероятности используем в следующем виде: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() События ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сумма вероятностей достоверных событий равна 1: ![]() По условию все эти вероятности равны. Следовательно, ![]() Общее число элементарных исходов ![]() Найдем условные вероятности события ![]()
![]() Ответ: ![]() Задача 8. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой — 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые. Р В этой задаче испытания также происходят в два этапа: вначале случайным образом вынимают шары из первой урны и опускают во вторую, а затем случайно вынимают шары из второй урны. ешение. ![]() Рассмотрим события: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Используя формулу полной вероятности, находим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Количество элементарных событий на первом этапе равно ![]() а на втором этапе ![]()
![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Задача 9. В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, — с вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки. Решение. В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым — стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события: ![]() ![]() ![]() Используем формулу полной вероятности: ![]() ![]() ![]() Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, ![]() Ответ: ![]() Задача 10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем. Решение. Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым — работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события: ![]() ![]() ![]() ![]() Вероятность события ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Условные вероятности заданы в условии задачи: ![]() ![]() ![]() Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности: ![]() ![]() ![]() ![]() По формуле Бейеса вычисляем условные вероятности событий (гипотез) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() ![]() Задача 11. В каждом из 11 независимых испытаний событие ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Дано: ![]() ![]() ![]() Найти: ![]() ![]() Используем формулу Бернулли: ![]() Вычисляем значение ![]() ![]() При больших значениях ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Результаты вычислений записываем в таблице. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство: ![]()
Задача 12. В каждом из 700 независимых испытаний событие ![]() ![]() ![]() а) точно 270 раз; б) меньше, чем 270 и больше, чем 230 раз; в) больше, чем 270 раз. Решение. Учитывая, что количество испытаний ![]() а) Дано: ![]() ![]() ![]() Найти: ![]() Используем локальную теорему Муавра-Лапласа: ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() Находим: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() б) Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() Найти: ![]() Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа: ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() Находим: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() в) Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() Найти: ![]() Имеем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 13. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью ![]() а) точно 1 неправильное соединение; б) меньше, чем 3 неправильных соединения; в) больше, чем 2 неправильных соединения. Решение. Вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона: ![]() ![]() а) Дано: ![]() ![]() ![]() Найти: ![]() Получаем: ![]()
б) Дано: ![]() ![]() ![]() Найти: ![]() Имеем: ![]() ![]() ![]() в) Дано: ![]() ![]() ![]() Найти: ![]() Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Учитывая решение б), имеем: ![]() ![]() ![]() Задача 14. Случайная величина ![]() ![]() Найти плотность распределения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения: ![]() Математическое ожидание ![]() Т.к. непрерывная случайная величина ![]() ![]() Дисперсия: ![]() Т.к. непрерывная случайная величина ![]() ![]() ![]() ![]() График функции распределения ![]() Модой случайной величины ![]() ![]() ![]() По графику плотности распределения видно, что ![]() ![]() ![]() Медианой непрерывной случайной величины ![]() ![]() Геометрически вертикальная прямая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для нахождения медианы нужно решить уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 15. Задана случайная величина ![]() ![]() а) в интервале ![]() б) меньшее – 1; в) большее 2; г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше, чем на 1. Решение. По условию случайная величина ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а) Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найти: ![]() ![]() Имеем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() б) Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найти: ![]() ![]() Получаем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() в) Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найти: ![]() ![]() Имеем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() г) Вероятность того, что случайная величина ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() Найти: ![]() Получаем: ![]() ![]() ![]() МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: |