УП_Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения

• Название: Задачи для самостоятельного решения
• Дата: 29.01.2023
• Размер: 0.61 Mb.
• Имя файла: УП_Аналитическая геометрия.pdf
• Тип: Документы; #910356
• страница: 6 из 6

– каноническому уравнению поверхности второго порядка.

Основной метод исследования поверхностей – метод сечений. Поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными плоскостям координат. Формы и размеры полученных сечений позволяют выяснить форму самой поверхности.
7.2. Эллипсоид Эллипсоид – поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
2 2
2 2
2 2
1.
x
у
z
а
b
c
+
+
=
(7.2) Уравнение (7.2) называется каноническим уравнением эллипсоида. Оси координат являются осями симметрии эллипсоида, а начало координат – его центром симметрии. Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью Oxy те. В сечении получим линию, определяемую системой
2 2
2 Итак, в плоскости Oxy имеем эллипс с полуосями а, b. Рассмотрим теперь сечения поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxy, те. плоскостями z = h, h – любое число. В сечении получим линии, определяемые системой
2 2
2 2
2 2
,
1
z h
x
y
h
a
b
c
=
⎧
⎪
⎨
+
= −
⎪⎩
(7.3) Исследуем уравнения (7.3).
1. Если
,
h
c
> то системе (7.3) не удовлетворяют никакие точки пространства.

75 2. Если
,
h
c
= то линия пересечения вырождается в две точки
(0; 0; ), (0; 0;
).
c
c
−
3. Если
,
h
c
< то уравнение можно переписать в виде
2 2
2 2
2 2
2 2
,
1.
1 1
z Линия пересечения есть эллипс с полуосями
2 2
1
h
a
c
−
,
2 2
1
h
b
c
−
. Чем меньше
,
h тем больше полуоси. При
0
h
= они достигают своих наибольших значений. Рассмотрим сечения эллипса плоскостями ух, мы вновь получим эллипсы
2 2
2 2
0,
1
y
x
z
a
c
=
⎧
⎪
⎨
+
=
⎪⎩
и
2 2
2 с полуосями аи си с соответственно. Общий вид эллипса приведен на рис. 7.1. Числа ас называются полуосями эллипсоида. Если все они различны то эллипсоид называется трехосным если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения если ас, то уравнение эллипсоида принимает вид
2 2
2 и поверхность представляет собой сферу радиуса ас центром (0; 0; 0).

76
z
O y
x Рис. 7.1
7.3. Гиперболоиды К гиперболоидам относятся две поверхности однополостные и двуполостные гиперболоиды. Однополостный гиперболоид - поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
2 2
2 2
2 а (7.4) Уравнение (7.4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Рассмотрим сечение поверхности плоскостью z = h. В сечении получаем следующую линию
2 2
2 2
2 2
2 2
,
1.
1 1
z Это эллипс с полуосями
2 2
1
h
a
c
+
,
2 2
1
h
b
c
+
. С ростом h полуоси эллипса будут увеличиваться. При h = 0 полуоси минимальны.

Если пересечь поверхность плоскостями x = h или y = h, тов сечении получим гиперболы. Например, рассмотрим сечение плоскостью х = 0. Получаем линию
2 2
2 Эта линия есть гипербола с полуосями b и с, причем действительная ось гиперболы совпадает с осью О. Однополостный гиперболоид представлен на рис. 7.2. Оси координат являются его осями симметрии, начало координат – центром симметрии. Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся трубки.
z
O y
x Рис. 7.2 Двуполостный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
2 2
2 2
2 а −
(7.5) Уравнение (7.5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида. Если поверхность пересечь плоскостями z = h, то линия пресечения будет определяться уравнениями

78 2
2 2
2 2
2 2
2
,
1.
1 1
z h
x
y
h
h
a
b
c
c
=
⎧
⎪
⎪
+
=
⎨⎛
⎞
⎛
⎞
⎪
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎩
(7.6) Исследуем уравнения (7.6).
1. Если получаем
,
h
c
< то плоскости z = h не пересекают поверхности.
2. Если
,
h
c
= то плоскости z
h
= ± касаются данной поверхности соответственно в точках (0; 0; ), (0; 0;
).
c
c
−
3. Если
,
h
c
> то линия пересечения есть эллипс с полуосями
2 2
1
h
a
c
− ,
2 2
1
h
b
c
− . С ростом h полуоси неограниченно возрастают. Пересекая поверхность координатными плоскостями x = 0 и y = 0, получим в сечениях гиперболы, уравнения которых соответственно имеют вид
2 2
2 2
2 2
2 2
1,
1.
z
y
z
x
c
b
c
a
−
=
−
= Поверхность представлена на рис. 7.3. Оси координат являются осями симметрии двуполостного гиперболоида, а начало координат – центром симметрии. Поверхность состоит из двух полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш.

79
z
O y
x Рис. 7.3
7.4. Параболоиды Эллиптический параболоид – поверхность, которая в прямоугольной системе координат задается уравнением
2 2
2 2
x
y
z
a
b
+
=
(7.7) Уравнение (7.7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида. Рассмотрим сечение параболоида плоскостью z = h.
1. Если h < 0 , то плоскости z = h поверхности не пересекают.
2. Если h = 0, то плоскость z = 0 касается поверхности в точке (0; 0; 0).
3. Если h > 0, тов сечении получаем эллипс
2 2
2 2
,
1
z h
x
y
a h b с полуосями a h , b h . Оси эллипса растут с ростом h.

При пересечении поверхности координатными плоскостями x = 0 и y = 0, получаем соответственно параболы
2 2
2 2
,
y
x
z
z
b
a
=
=
z
y
O
x Рис. 7.4 Ось Oz является осью симметрии эллиптического параболоида начало координат является вершиной эллиптического параболоида. Поверхность имеет вид выпуклой расширяющейся чаши (рис. Гиперболический параболоид - поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением
2 2
2 2
x
y
z
a
b
−
=
(7.8) Уравнение (7.8) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида. Рассечем поверхность плоскостями
(
0)
z h h
=
≠
, получим гиперболу
2 2
2 2
1.
x
y
a h b h
−
=
1. Если h > 0, то действительная ось гиперболы параллельна оси Ox.
2. Если h < 0, то действительная ось гиперболы параллельна оси Oy.
3. Если h = 0, то линия пересечения

81 2
2 2
2 0
x
y
a
b
−
= распадается на пару пересекающихся прямых. Рассмотрим сечения параболоида плоскостью х = h. Получаем линию
2 2
2 2
,
(
).
x h
h
y
b z
a
=
⎧
⎪
⎨
= Эта линия – парабола в плоскости х = h с вершиной в точке
2 2
; 0;
h
P Ось параболы параллельна оси Oz, ветви направлены вниз. При пересечении поверхности плоскостями y = h, будут получаться параболы
2 2
2 2
,
(
),
y h
h
x
a ветви которых направлены вверх. Поверхность имеет вид седла (рис. 7.5).
z
y
O x Рис. 7.5

82
7.5. Конус Конус (коническая поверхность) – поверхность, которая в прямоугольной системе координат задается уравнением
2 2
2 2
2 2
0.
x
y
z
a
b
c
+
−
=
(7.9) Уравнение (7.9) называется каноническим уравнением конуса. При сечении конуса плоскостью z = h получаем
2 2
2 2
2 2
,
z При h = 0 системе удовлетворяет только точка (0; 0; 0) , а при h ≠ 0 получаем эллипс
2 2
2 2
,
1
z h
x
y
ah
bh
c
c
=
⎧
⎪⎪
+
=
⎨
⎛
⎞
⎛
⎞
⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪⎝ ⎠ ⎝ с полуосями
a h
c
,
b h
c
и центром на оси Oz. С ростом |h| полуоси эллипса неограниченно растут. При сечении плоскости х = 0 получаем
0,
0.
x
y
z
y
z
b
c
b
c
=
⎧
⎪
⎨⎛
⎞⎛
⎞
+
−
=
⎜
⎟⎜
⎟
⎪⎝
⎠⎝
⎠
⎩
(7.10) В плоскости х = 0 система (7.10) выдает пару прямых, определяемых уравнениями
0
y
z
b
c
+ = и
0
y
z
b
c
− = . Обе прямые проходят через начало координат. Ось Oz является осью симметрии конуса, а точка пересечения конуса сточкой) называется вершиной конуса и является его центром симметрии (рис.

83
z
O y
x Рис. 7.6
7.6. Цилиндры Эллиптический цилиндр – поверхность, определяемая уравнением
2 2
2 а
(7.11) Осью цилиндра (7.11) является координатная ось Oz, поперечные сечения
- эллипсы. Эллиптический цилиндр представлен на рис. 7.7. Круговой цилиндр является частным случаем эллиптического цилиндра. Гиперболический цилиндр – поверхность, определяемая уравнением
2 2
2 2
1,
x
y
a
b
−
=
(7.12) Осью цилиндра (7.12) является координатная ось Oz, поперечные сечения – гиперболы. Гиперболический цилиндр представлен на рис. 7.8.

84
z
O y
x Рис. 7.7
z
O y
x Рис. 7.8 Параболический цилиндр – поверхность, определяемая уравнением
2 2 ,
0.
y
px p
=
> Направляющей здесь является парабола, расположенная в плоскости
Oxy. Параболический цилиндр представлен на рис. 7.9.

85
z
O
y
x Рис. 7.9 Пример Определить вид поверхности
2 2
2 8
5 6
0.
x
x
y
z
z
−
+
+
+
= Решение Выделим полные квадраты
2 2
2
(
4)
16 5
(
3)
9 0,
x
y
z
−
−
+
+ +
− =
2 2
2
(
4)
5
(
3)
25
x
y
z
−
+
+ +
=
,
2 2
2
(
4)
(
3)
1.
25 5
25
x
y
z
−
+
+
+
= Далее с помощью параллельного переноса осей координат перейдем к новой системе координат, положив
4,
,
3.
x
x
y
y
z
z
′ = −
⎧
⎪ ′ =
⎨
⎪ ′ = +Уравнение поверхности в новой системе координат
2 2
2 1
25 5
25
x
y
z
′
′
′
+
+
= . Заданная поверхность есть эллипсоид с полуосями
5,
5,
5
a
b
c
=
=
= . Центр эллипсоида – точка (4; 0; -3).

Задачи для самостоятельного решения
1. Какие поверхности определяются уравнениями а)
2 2
2 2
2 4
4 4
7 0;
x
y
z
x
y
z
+
+
−
+
+
+ = б)
2 2
2 2
2 2 0?
x
y
x
y
z
+
+
−
−
− Ответа) эллипсоид с центром в точке (-2; 1; 0); б) параболоид с вершиной в точке (-1; 1; -2).
2. В каких точках прямая
4 6
2 2
3 2
x
y
z
−
+
+
=
=
−
−
пересекает эллипсоид
2 2
2 1
16 12 4
x
y
z
+
+
= ? Ответ 2
(2; 3; 0),
(0; 0; 2).
M
M
−
3. При каком значении а прямая
1 2
x
y
z
a
= = касается сферы
2 2
2 2
2 1 0?
x
y
z
x
z
+
+
−
+
+ =
Найти точку касания. Ответ 2 2
2,
; ;
3 3 3
a
⎛
⎞
= −
−
⎜
⎟
⎝
⎠

Библиографический список
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии линейной алгебры / Д. В. Беклемишев. М. : Наука, 1987.
2. Данко ПЕ. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. ЧП. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. М. : Высш. шк, 1999.
3. Ильин В. А. Аналитическая геометрия / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. М. :
ФИЗМАТЛИТ, 2006.
4. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. М. : Рольф, 2000.
5. Сборник задач по высшей математики / под ред. Г. И. Кручковича. М. :
Высш.шк., 1973.
6. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1 / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. М. : Наука, 1986.
7. Шипачев В. С. Основы высшей математики / В. С. Шипачев. М. :
Высш.шк., 1994.

88