УП_Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения

• Название: Задачи для самостоятельного решения
• Дата: 29.01.2023
• Размер: 0.61 Mb.
• Имя файла: УП_Аналитическая геометрия.pdf
• Тип: Документы; #910356
• страница: 4 из 6

3.3. Расстояние от точки до плоскости Пусть задана точка
0 0
0 0
( ;
; )
P x y z и плоскость π :
0
Ax By Cz D
+
+
+ = рис. 3.6).
z
0
P n
d
O
1
P
π y
x Рис. 3.6 Возьмем на плоскости точку
1 1
1 1
( ; ; ).
P x y z Расстояние d от точки
0
P до плоскости π равно модулю проекции вектора
1 0
PP
на направление нормального вектора { ; ; }:
n
A B C
=
1 0 1 пр n
d
PP
n
⋅
=
=
=
0 1
0 1
0 1
2 2
2 0
0 0
1 1
1 2
2 2
(
)
(
)
(
)
)
x
x A
y
y B
z
z Так как точка
1
P
принадлежит плоскости π , то
1 1
1 0.
Ax
By
Cz
D
+
+
+ =
Отсюда
1 1
1
D
Ax
By
Cz
= −
−
−
В итоге

46 0
0 0
2 Замечание Если плоскость π задана уравнением cosα
cosβ
cos γ
0,
x
y
z
m
+
+
− = то расстояние от точки
0 0
0 0
( ;
; )
P x y z до плоскости π может быть найдено по формуле
0 0
0
cosα
cosβ
cos Задачи для самостоятельного решения
1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
0
( 2; 7; 3)
М
−
параллельно плоскости
4 5
1 0.
x
y
z
−
+
+ = Ответ 5
15 0.
x
y
z
−
+
+
=
2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
1 2
(2; 15; 1),
(3; 1; 2)
M
M
−
перпендикулярно плоскости 3 4
0.
x y
z
− −
= Ответ 7
40 0.
x y
z
− +
−
=
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
1 2
3
(3; 1; 2),
(4; 1; 1),
(2; 0; 2).
M
M
M
−
− Ответ 3
8 0.
x
y z
+
+ − =
4. Найти угол между плоскостями
2 2
15 0
x y
z
− +
+
= и
6 2
3 1 0.
x
y
z
+
−
− = Ответ 5. Найти расстояние от точки
0
(2; 1; М − до плоскости
16 12 15 4 0.
x
y
z
−
+
− = Ответ 1.

47
4. Прямая в пространстве
4.1. Уравнения прямой в пространстве Направляющий вектор прямой – это любой ненулевой вектор, параллельный прямой. a Пусть P L
L – прямая
0
P r
{ ; ; }
a
m n p
=
– направляющий вектор прямой
0
r
P
0 0
0 0
( ;
; )
P x y z – фиксированная точка прямой O r
( ; ; )
P x y z – произвольная точка пространства
{ ; ; }
r
x y z
=
– радиус-вектор точки P;
Рис. 4.1 0
0 0
0
{ ;
; }
r
x y z
=
– радиус-вектор точки
0
P (рис. 4.1). Если точка P принадлежит прямой
,
L то
0 0
r r
P P
− =
коллинеарен направляющему вектору
a Значит, найдется такое t
∈ , для которого
0
r r
ta
− = или
0
r r
ta
= +
(4.1) Если точка P не принадлежит прямой
,
L то условие (4.1) не выполняется. Уравнение (4.1) называется векторным уравнением прямой Рассмотрим векторы
0 0
0 0
{
,
,
}
r r
x x y y z z
− =
−
−
−
и { ; ; }.
ta
tm tn tp
=
Так как они равны, то равны их соответствующие координаты, те или
0 0
0
,
,
x x
tm
y y
tn
z z
tp
=
+
⎧
⎪ = +
⎨
⎪ = +
⎩
(4.2) Уравнения (4.2) называются параметрическими уравнениями прямой

Из уравнений (4.2) можно исключить параметр t, если , ,
m n p - ненулевые числа. Поскольку
0 0
0
,
,
,
x x
y y
z z
t
t
t
m
n
p
−
−
−
=
=
= получаем
0 0
0
x x
y y
z z
m
n
p
−
−
−
=
=
(4.3) Уравнения (4.3) называются каноническими уравнениями прямой Замечание Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (4.3) означает обращение в нуль соответствующего числителя. Например, уравнения
1 3
2 0
3 4
x
y
z
−
+
−
=
=
задают прямую, проходящую через точку
0
(1; 3; 2)
P
−
перпендикулярно оси
:
Ox
1 0,
1,
3 2
4 3
18 0.
,
3 4
x
x
y
z
y
z
− Пусть
0 0
0 0
( ,
, )
P x y z и
1 1
1 1
( , , )
P x y z – фиксированные точки прямой .
L В качестве направляющего вектора прямой возьмем вектор
0 1 1
0 1
0 1
0
{
,
,
}
P P
x
x y
y z
z
=
−
−
−
(рис. 4.2).
1
P
L Подставляя координаты
0 1
P P
в (4.3), получим
0
P
Рис. 4.2 0
0 0
1 0
1 0
1 0
x x
y y
z z
x
x
y
y
z
z
−
−
−
=
=
−
−
−
(4.4) Уравнения (4.4) называются уравнениями прямой, проходящей через две данные токи

Пусть заданы две непараллельные плоскости
1 1
1 1
1
π :
0
A x B y C z D
+
+
+
=
и
2 2
2 2
2
π :
0.
A x B y C z Пересечением этих плоскостей будет прямая, а координаты всех ее точек будут удовлетворять системе
1 1
1 1
2 2
2 2
0,
0.
A x B y C z D
A x B y C z D
+
+
+
=
⎧
⎨
+
+
+
=
⎩
(4.5) Система (4.5) называется общими уравнениями прямой в пространстве. Замечание От общих уравнений (4.5) можно перейти к каноническим уравнениям прямой (4.3). Для этого достаточно найти какую-либо точку
0
P на прямой и направляющий вектор a :
1) в качестве
0 0
0 0
( ,
, )
P x y z можно взять любое решение системы (4.5);
2) за направляющий вектор a принять векторное произведение нормальных векторов
1 1
1 1
{ ; ; }
n
A B C
=
и
2 2
2 2
{ ;
;
},
n
A B C
=
те Пример Написать канонические уравнения прямой
2 2 0,
2 3
6 0.
x y z
x y
z
+ + − =
⎧
⎨
− −
+ Решение Определим координаты какой-либо точки на прямой. Для этого положим в обоих уравнениях 0 :
z
=
2 2 0,
2 6 0.
x y
x y
+ − =
⎧
⎨
− + Решим систему по формулам Крамера:
,
y
x
x
y
Δ
Δ
=
=
Δ
Δ

50 2
1 2 2 4;
2 1
2 1
2 2
2 6 4;
12 4 16;
6 1
2 6
4 16 1;
4.
4 4
x
y
x
y
Δ =
= − − = −
−
Δ =
= − + =
Δ =
= − − = −
−
−
−
−
=
= Итак,
0
( 1; 4; Направляющий вектор
a
определим как
1 2
1 1
1 2
2 2
,
i
j
k
a n n
x
y
z
x
y
z
= где
1 1
1 1
{ ; ; }
n
x y z
=
– нормальный вектор плоскости 2 2 0
x y z
+ + − = ;
2 2
2 2
{ ;
; }
n
x y z
=
– нормальный вектор плоскости 2 3
6 0
x y
z
− −
+ = .
1 1 1 2 1 3 1
1 2
1 2
1 2
1 1
( 1)
( 1)
( 1)
1 3
2 3
2 1
2 1
3
( 3 1)
( 6 2)
( 2 2)
2 8
4 .
i
j
k
a
i
j
k
i
j
k
i
j
k
+
+
+
=
= −
⋅
+ −
⋅
+ −
=
−
−
−
−
−
−
= ⋅ − + − ⋅ − − + ⋅ − −
= − +
−
2 8
4 .
a
i
j
k
= − +Канонические уравнения прямой найдем по формуле
0 0
0
,
x x
y y
z где
0 0
0 0
{ ; ; },
( ;
; )
a
m n p M x y В итоге получим
1 4
2 8
4
x
y
z
+
−
=
=
−
−
или
1 4
1 4
2
x
y
z
+
−
=
=
−

51
4.2. Взаимное расположение прямых в пространстве Пусть даны две прямые
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
:
,
{ ; ; };
:
,
{ ; ;
}.
x x
y y
z z
L
a
m n p
m
n
p
x x
y y
z z
L
a
m n Угол между прямыми Угол между двумя прямыми – это угол между их направляющими векторами
1
a
и
2
a
Тогда
1 2
1 2
cosφ
a a
a
a
⋅
=
⋅
или
1 2
1 2 1 2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
2 2
2
cosφ
m m
n n
p Чтобы получить острый угол, нужно взять правую часть формулы по модулю. Условие параллельности прямых
Если прямые параллельны, то параллельны их направляющие векторы
1
a и
2
a
Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, те) Справедливо и обратное утверждение. Выражение (4.6) есть условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых
Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны их направляющие векторы
1
a и
2
a
,
тогда
1 2
0
a a
⋅
= или
1 2
1 2
1 2
0
m m
n n
p p
⋅
+ ⋅ +
⋅
= (4.7) Справедливо и обратное утверждение.

Выражение (4.7) есть условие перпендикулярности прямых. Задачи для самостоятельного решения Написать канонические уравнения прямой, походящей через точку
0
( 1; 1; 3)
M
−
− параллельно вектору {1; 3; Ответ 1
3 1
3 Привести к каноническому виду уравнения прямой
2 3
1 0,
2 4
8 0.
x
y
z
x y
z
−
+
+ =
⎧
⎨
+ −
− Ответ 1
1 2
1
x
y
z
−
+
= Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку
0
(2; 1; 1)
M
− перпендикулярно плоскости 1 0.
x y z
− + + = Ответ 1
1 1
1 Найти угол между прямыми
3 2
1 1
2
x
y
z
−
+
=
=
−
и
2 3
5 1
1 Ответ Доказать, что прямые
2 1
3 2
1
x
y
z
+
−
=
=
−
и
0,
5 8 0
x y z
x y
z
+ − =
⎧
⎨ − − − =
⎩
параллельны.

53
5. Взаимное расположение прямой и плоскости Пусть задано уравнение плоскости n L
π :
0
Ax By Cz D
+
+
+ = и θ a канонические уравнения прямой
0 0
0
:
x x
y y
z z
L
m
n
p
−
−
−
=
=
{ ; ; }
n
A B C
=
– нормальный вектор плоскости,
Рис. 5.1
{ ; ; }
a
m n p
=
– направляющий вектор прямой L . Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 5.1). Пусть φ – угол между прямой и плоскостью, а θ – угол между векторами
a и ,
n
тогда cosθ
a n
a При этом sin φ
cosθ :
= если
π
0 θ
,
2
≤ ≤
то
π
cosθ cos
φ
sin φ, cosθ если
π
θ π,
2
< ≤ то
π
cosθ cos
φ
sin φ, cosθ 0.
2
⎛
⎞
=
+
= Итак, при любых значениях 0 θ π
≤ ≤ sin φ cosθ ,
=
тогда
2 2
2 2
2 2
sin φ
Am Bn Cp
A
B
C
m
n
p
+
+
=
+
+
⋅
+
+
(5.1)
φ

Условие параллельности прямой и плоскости Если прямая параллельна плоскости, то векторы a и n перпендикулярны, значит,
0
a n
⋅ = или
0.
Am Bn Cp
+
+
= (5.2) Обратное утверждение тоже верно. Уравнение (5.2) есть условие параллельности прямой и плоскости Условие перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна плоскости, то векторы a и n параллельны, значит,
A
B
C
m
n
p
=
= . (5.3) Обратное утверждение тоже верно. Выражение (5.3) есть условие перпендикулярности прямой и плоскости Приме р.
Найти точку M ′ , симметричную точке
(0; 3; 2)
M
− − относительно прямой
1 1,5 1
1 Решение
1. Найдем проекцию точки M напрямую. М Для этого составим уравнение плоскости, проецирующей точку M на данную прямую, те. проходящую через точку M перпендикулярно данной прямой
(
)
(
)
(
) 0,
M
m
M
A x x
B y y
C z где
(
;
;
)
M
M
M
x
y
z
– координаты точки ;
M Рис. 5.2
{ ; ; }
n
A B C
=
– координаты нормального вектора плоскости (рис. 5.2). В нашем случае вектор
n
– это направляющий вектор
a
прямой, те О

Получаем
1(
0) 1(
3) 1(
2) 0
x
y
z
−
−
+ +
+
= ,
1 0
x y z
− + − = . Решим следующую систему
1 0,
1 1,5 1
1 1
x y z
x
y
z
− + − =
⎧
⎪
⎨ Параметрические уравнения прямой имеют следующий вид
1,
1,5,
x t
y
t
z t
= +
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ Подставим , ,
x y z в уравнение плоскости и найдем параметр t:
1 1,5 1 0,
3 1,5,
0,5.
t
t
t
t
t
+ + −
+ − Подставим найденный параметр t в параметрические уравнения прямой
0 0
0 0,5 1,
0,5 1,5,
0,5,
x
y
z
=
+
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ =
⎩
или
0 0
0 1,5,
1,
0,5.
x
y
z
=
⎧
⎪ =
⎨
⎪ =
⎩
(1,5; 1; 0,5)
O
– проекция точки M напрямую. Найдем координаты точки
M Точка O – середина отрезка
MM ′
. Чтобы найти координаты точки
,
M используем формулы координат середины отрезка
0 0
0
,
,
2 2
2
M
M
M
M
M
M
x
x
y
y
z
z
x
y
z
′
′
′
+
+
+
=
=
=
0 0
0 2
,
2
,
2
,
M
M
M
M
M
M
x
x
x
y
y
y
z
z
z
′
′
′
=
−
⎧
⎪
=
−
⎨
⎪
=
−
⎩
или
2 1,5 0 3,
2 1 3 5,
2 0,5 2 3.
M
M
M
x
y
z
′
′
′
= ⋅
− =
⎧
⎪
= ⋅ + =
⎨
⎪
= ⋅
+ Итак,
(3; 5; 3).
M ′

Задачи для самостоятельного решения
1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую
2 3
1
x
y
z
=
=
−
−
и точку (4; 3; Ответ 8
6 0.
x
y
z
+
−
=
2. Найти точку пересечения прямой
1 1
2 1
2
x
y
z
−
+
=
=
и плоскости
2 3
19 0.
x
y
z
+
+
−
= Ответ 3; 3).
3. Найти проекцию точки (1;1; 1)
M
− на плоскость 3 8 0.
x y z
+ + + = Ответ 2; 0; 2).
−
−
4. Найти проекцию точки (1;2;8)
M
напрямую Ответ 1; 1).
−
5. Найти угол между прямой
1 1
4 12 3
x
y
z
−
−
=
=
−
и плоскостью
6 3
2 0.
x
y
z
−
+
= Ответ 6. Доказать, что прямая
2 5 0,
3 4
9 0
x y
y
z
− + =
⎧
⎨
−
− =
⎩
и плоскость 4 8
6 3 0
x
y
z
+
+
− = параллельны.

Кривые второго порядка на плоскости
6. Кривые второго порядка Линии (кривые) второго порядка на плоскости
определяются уравнением
2 2
0,
Ax
Bxy Cy
Dx Ey F
+
+
+
+
+ где , , , , ,
A B C D E F – коэффициенты уравнения (действительные числа, причем хотя бы одно из чисел ,
A B или C , отлично от нуля. Например, простейшей кривой второго порядка является окружность
2 2
2 0
0
(
)
(
)
x x
y y
r
−
+
−
=
6.1. Парабола Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных отданной точки, называемой фокусом, и отданной прямой, называемой директрисой Введем систему координат
Oxy Опустим перпендикуляр из фокуса F на директрису параболы. Пусть точка A – точка пересечения этого перпендикуляра с директрисой AN . Направим ось поэтому перпендикуляру в направлении
,
AF а ось Oy через середину отрезка AF (см. рис. 6.1). Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через
(
0).
p p
>
Тогда координаты фокуса будут
; 0 ,
2
p
F ⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
а уравнение директрисы будет
2
p
x
= −

58
y
N P
A Рис. 6.1 Пусть ( ; )
P x y
– произвольная точка параболы и
;
2
p
N
y
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
– основание перпендикуляра, опущенного из точки P на директрису, тогда
2 2
2
;
2 2
2
p
p
p
NP
x
x
PF
x
y
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
= +По определению параболы NP
PF
=
, те) Возведем в квадрат обе части равенства (6.1), получим
2 2
2 2
2
,
4 4
p
p
x
px
y
x
px
−
+
+
=
+
+
те) Уравнение (6.2) называется каноническим уравнением параболы Расстояние p от фокуса F до директрисы называется параметром параболы. Ось Ox является осью симметрии параболы, поскольку точки ( ; )
P x y и
( ;
)
P x
y
− могут удовлетворять уравнению (6.2) только одновременно. Так как 0,
p
> то из (6.2) следует, что 0.
x
≥ Следовательно, парабола расположена справа от оси Oy. Если
0,
x
=
то 0.
y
= При неограниченном возрастании x модуль y также неограниченно возрастает (рис. 6.2).

Точка (0;0)
O
называется вершиной параболы, а отрезок PF фокальным радиусом точки .
P
y
P
(
)
2; 0
A
p
−
O
(
)
2; 0
F p
x Рис. 6.2 Уравнение
2 2
y
px
= −
также задает параболу с осью симметрии
,
Ox
нос ветвями, направленными в сторону убывания x рис. 6.3, a). Если в качестве оси симметрии взять ось
,
Oy то, повторив предыдущие рассуждения, получим уравнения
2 2
x
py
=
(рис. 6.3, б) ирис, в. Во всех случаях величина р положительна (
0)
p
>
а y б y в y O
F x
F
F
O
x
O x
2 2
y
px
= −
2 2
x
py
=
2 2
x
py
= Рис. 6.3

1   2   3   4   5   6