УП_Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения
 Скачать 0.61 Mb.
|
|
Оглавление Элементы векторной алгебры. Векторы 1.1. Основные понятия ………………………………………………………....5 1.2. Линейные операции над векторами ……………………………………....6 1.3. Проекция вектора на ось …………………………………………………..8 1.4. Разложение вектора по ортам координатных осей ……………………..10 1.5. Действия над векторами, заданными проекциями ……………………...13 1.6. Координаты точки и вектора ……………………………………………..14 1.7. Скалярное произведение векторов ………………………………………15 1.8. Векторное произведение векторов ………………………………………17 1.9. Смешанное произведение векторов ……………………………………..20 1.10. Векторное пространство. Базис ………………………………………....22 Задачи для самостоятельного решения Линейные геометрические объекты 2. Прямая на плоскости 2.1. Уравнения прямой на плоскости ………………………………………...27 2.2. Взаимное расположение прямых на плоскости ………………………....34 2.3. Расстояние от точки до прямой …………………………………………..37 Задачи для самостоятельного решения ………………..………………...... 38 3. Плоскость 3.1. Уравнения плоскости ……………………………………………………..39 3.2. Взаимное расположение плоскостей …………………………………….43 3.3. Расстояние от точки до плоскости ……………………………………….45 Задачи для самостоятельного решения ……………………..……………...46 4. Прямая в пространстве 4.1. Уравнения прямой в пространстве 4.2. Взаимное расположение прямых в пространстве ……………………...51 Задачи для самостоятельного решения ……………….…………………...52 5. Взаимное расположение прямой и плоскости ……….…………....53 Задачи для самостоятельного решения Кривые второго порядка 6. Кривые второго порядка ……………………………………………. 57 6.1. Парабола ………………………………………………………………...... 57 6.2. Эллипс ……………………………………………………………………..59 6.3. Гипербола ………………………………………………………………….63 6.4. Преобразование системы координат ………………………………….....67 6.5. Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям ……………………………….…..69 Задачи для самостоятельного решения Поверхности второго порядка 7. Поверхности второго порядка ……………………………………… 73 7.1. Основные понятия ………………………………………………………...73 7.2. Эллипсоид ………………………………………………………………....74 7.3. Гиперболоиды 7.4. Параболоиды ………………………………..…………………………......79 7.5. Конус 7.6. Цилиндры ………………………………………………………...…...…...83 Задачи для самостоятельного решения Библиографический список ………………………………………......87 Элементы векторной алгебры 1. Векторы 1.1. Основные понятия Величины, которые полностью определяются своим числовым значением, называются скалярными. Например, площадь, длина, объем, работа и т. д. Другие величины определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Например, сила, скорость и т. д. Такие величины называют векторными. Вектор – это направленный отрезок прямой, те. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Обозначение AB , или a . У вектора AB A – начало вектора, а B – конец вектора. Вектор BA ( B – начало вектора, а A – конец вектора) называется противоположным вектору AB Вектор, противоположный вектору a , обозначается a − . Длина или модуль ) AB вектора AB , – длина отрезка AB Нулевой вектор ( 0 ) вектор, длина которого равна нулю. Направления нулевой вектор не имеет. Единичный вектор ( e ) – вектор, длина которого равна единице. Орт вектора a ( 0 a ) – единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора Векторы a и b называются коллинеарными ( a b ), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если коллинеарные векторы направлены в одну сторону, то они называются сонаправленными ( a b ↑↑ ). Если коллинеарные векторы направлены в разные стороны, то они называются противоположно направленными ( a b ↑↓ ). Векторы a и b называются равными ( a b = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны. Три вектора , a b и c называются компланарными, если они лежат водной плоскости или в параллельных плоскостях. 1.2. Линейные операции над векторами Сложение векторов Пусть a и b – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку O и построим вектор OA a = От точки А отложим вектор AB Вектор OB (рис. 1.1), соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов a и b : OB a b = + А b b a a ВО Рис. 1.1 Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Сумму двух неколлинеарных векторов можно найти также по правилу параллелограмма (рис. 1.2). b a a c a b = + b Рис. 1.2 Можно складывать несколько векторов. Например, сложение трех векторов показано на рис. 1.3. b c c a b a d a b c = + +Рис. 1.3 Разность векторов Пусть a и b – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку O и построим векторы OA a = и OB Вектор BA (рис. 1.4), соединяющий конец второго вектора с концом первого, называется разностью векторов a и : b BA a b = − a b АО В Рис. 1.4 Произведение вектора на число Произведением вектора a на число (скаляр) λ называется вектор λ который имеет длину λ , a ⋅ G коллинеарен вектору , a имеет направление вектора , a если λ 0, > и противоположное направление, если λ 0. < Например, векторы 2a и 2a − имеют вид, как на рис. 1.5. a 2a Рис. 1.5 Из определения произведения вектора на число следуют свойства 1) если λ , b a = ⋅ то b a Наоборот, если ( 0), b a a ≠ то при некотором λ верно равенство λ ; b a = ⋅ G G 2) всегда 0 , a a a = ⋅ те. каждый вектор равен произведению его модуля на орт. Свойства линейных операций Рассмотрим следующие свойства линейных операций 1) ; a b b a + = + 2) ( ) ( ); a b c a b c + + = + + 3) 1 2 1 2 λ (λ ) (λ λ ) ; a a ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ G G 4) 1 2 1 2 (λ λ ) λ λ ; a a a + ⋅ = ⋅ + ⋅ G G G 5) λ ( ) λ λ . a b a b ⋅ + = ⋅ + ⋅ G G G G 1.3. Проекция вектора на ось Пусть в пространстве задана ось l. Проекцией точки А на ось l называется основание 1 A перпендикуляра 1 , AA опущенного из точки на ось. Точка 1 A – это точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно оси (рис. 1.6). A 1 A l Рис. 1.6 Если точка A лежит на оси l, то проекция точки A на ось совпадает сточкой Пусть AB – произвольный вектор ( 0 AB ≠ ). Пусть 1 A и 1 B – проекции на ось l соответственно начала A и конца B вектора AB Рассмотрим вектор 1 1 A B Проекцией вектора AB на ось l называется положительное число 1 1 , A B если вектор 1 1 A B и ось l одинаково направлены, и отрицательное число ( ) 1 1 , A B − если вектор 1 1 A B и ось l противоположно направлены (рис. 1.7). Обозначение – пр В А 1 A 1 B l Рис. 1.7 Если точки 1 A и 1 B совпадают, то проекция вектора AB равна 0. Угол φ между вектором a и осью l (рис. 1.8) изменяется от доте Рис. 1.8 Основные свойства проекций Перечислим свойства проекций. 1. Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла φ между вектором и осью, те. пр cosφ. l a a = ⋅ G G 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и туже ось равна сумме их проекций на эту ось. Например, для трех векторов пр ( ) пр пр пр . l l l l a b c a b c + + = + + 3. Приумножении вектора a на число λ его проекция на ось также умножается на это число, те. пр (λ ) λ пр . l l a a ⋅ = ⋅ G G 1.4. Разложение вектора по ортам координатных осей Пусть в пространстве задана система координат Oxyz На координатных осях , , Ox Oy Oz выделим единичные векторы (орты) , , i j k соответственно рис. 1.9). z 3 M γ M a k O β i α j 2 M y 1 M x N Рис. 1.9 Пусть a – произвольный вектор пространства, причем его начало совпадает с началом системы координат , Oxyz те Проведем через конец вектора OM плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через 1 2 3 , , M M M Получим прямоугольный параллелепипед (рис. 1.9). Найдем проекции вектора a на координатные оси 1 2 3 пр , пр , пр x y z a OM a OM a OM = = = Используя определение суммы нескольких векторов, выразим вектор a через векторы 1 2 3 , , OM OM OM : 1 1 1 2 3 , , , a OM M N NM M N OM NM OM = + + = = 1 2 3 a OM OM OM = + + (1.1) Рассмотрим векторы 1 2 3 , , : OM OM OM 1 1 2 3 2 3 , , OM OM i OM OM j OM OM k = ⋅ = ⋅ = ⋅ (1.2) Обозначим проекции вектора a OM = на оси , , Ox Oy Oz соответственно через , , , x y z a a a те) Подставляя (1.2) ив, получим x y z a a i a j a k = ⋅ + ⋅ + ⋅ (1.4) Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа , , x y z a a a называются координатами вектора . a Равенство (1.4) часто записывают в виде { ; ; }. x y z a a a Найдем модуль вектора . a Используем теорему о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда 12 2 2 2 2 1 2 3 OM OM OM OM = + + , или 2 2 2 2 , x y z a a a a = + + (1.5) тогда 2 те. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат. Пусть углы вектора a с осями координат равны соответственно α, β, γ. По свойству проекций вектора на ось имеем cosα; cosβ; cos γ. x y z a a a a a a = ⋅ = ⋅ = ⋅ G G G (1.6) Отсюда cosα , cosβ , cos Числа cosα, cosβ, cos γ называют направляющими косинусами вектора . a Подставим выражения (1.6) в (1.5), получим 2 2 2 2 2 2 2 cos α cos β cos Сократим на 2 0, a ≠ получим соотношение 2 2 2 cos α cos β cos γ 1, + + = те. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице. Замечание Координаты единичного вектора e – это направляющие косинусы, те Пример Найти орт вектора 3 4 12 a i j k = + − и направляющие косинусы определяемого им направления. Решение. Находим длину вектора : a 2 2 2 3 4 ( 12) 169 13. a = + + Следовательно, направляющие косинусы будут равны 3 4 12 cosα , cosβ , cos γ 13 13 13 = = = Так как координаты орта вектора – это направляющие косинусы, то 0 3 4 12 13 13 13 a i j k = + − 1.5. Действия над векторами, заданными проекциями Пусть заданы два вектора { ; ; } x y z a a a a = и { ; ; }. x y z b b b При сложении (вычитании векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются { ; ; }. x x y y z z a b a b a b a b ± Приумножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число λ {λ ; λ ; λ Два вектора a и b равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства Если векторы a и b коллинеарны и 0, b ≠ то λ , a b = G G где λ – некоторое число, те Отсюда λ ; λ ; λ ; x x y y z z a b a b a b = = = λ; λ; λ; y x z x y z a a a b b b = = = Итак, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Пример. Найти координаты вектора 4 2 3 , a b c + − если {1; 3; 2}, {0; 2; 1}, {5; 1; Решение. Подставим координаты векторов , a b ив линейную комбинацию 4 2 3 a b c + − и выполним алгебраические операции умножения вектора на число и сложения векторов 4 2 3 4{1; 3; 2} 2{0; 2; 1} 3{5; 1; 4} {4; 12; 8} {0; 4; 2} {15; 3; 12} { 11; 13; 18}. a b c + − = − + − = = − + − = = Итак, 4 2 3 { 11; 13; 18}. a b c + − = − − 1.6. Координаты точки и вектора Координаты точки Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz Возьмем точку A и построим вектор OA . Вектор OA называется радиус- вектором точки A и обозначается , r те Координаты точки – это координаты ее радиус-вектора { ; ; }, r x y z = те. ( ; ; ). A x y z Координаты вектора Путь даны две точки 1 1 1 ( ; ; ) A x y z и 2 2 2 ( ; ; ). B x y z Вектор AB есть разность векторов OB ирис Рис. 1.10 2 1 2 1 2 1 { ; ; }. AB OB OA x x y y Итак, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала 2 1 2 1 2 1 { ; ; }. AB x x y y z z = − − − 1.7. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению их длинна косинус угла между ними cosφ. a b a b ⋅ = ⋅ ⋅ G G G G (1.7) Скалярное произведение обозначается , a b ⋅ или ( , ). a b Формулу (1.7) можно представить в следующем виде пр пр b a b b a ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ те. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором. Свойства скалярного произведения Перечислим свойства скалярного произведения. 1. Переместительное свойство a b b a ⋅ = ⋅ 2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя (λ ) λ ( ). a b ab ⋅ = ⋅ G G G G 3. Распределительное свойство ( ) a b c a c b c + ⋅ = ⋅ + ⋅ 4. 2 2 , a a = те. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. 5. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, те. если , a b ⊥ то 0. a b ⋅ Справедливо и обратное утверждение если 0 a b ⋅ = и 0 , a b ≠ ≠ то a Выразим скалярное произведение через координаты векторов { ; ; } x y z a a a a = и { ; ; }: x y z b b b b = { ; ; } { ; ; } ( ) ( ) x y z x y z x y z x y z a b a a a b b b a i a j a k b i b j b k ⋅ = ⋅ = + + ⋅ + + = x x x y x z y x y y y z z z z y z z a b ii a b ij a b ik a b ji a b jj a b jk a b ki a b kj a b kk = + + + + + + + + = 0 0 0 0 0 0 , x x y y z z a b a b a b = + + + + + + + те Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат. Пример. Найти угол между векторами {4; 10; 1} a = − и {11; 8; 7}. b = − Решение. Из формулы (1.7) найдем cosα : 17 cosα a b a b ⋅ = ⋅ G G G G 4 11 ( 10) ( 8) 1 ( 7) 117, a b ⋅ = ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − = 2 2 2 2 2 2 4 ( 10) 1 117, 11 ( 8) ( 7) 234. a b = + − + = = + − + Итак, 117 2 cosα 2 117 234 = = ⋅ 0 2 α arccos 45 . 2 = = |