УП_Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения
 Скачать 0.61 Mb.
|
|
1.8. Векторное произведение векторов Три некомпланарных вектора , a b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если при взгляде с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден против хода часовой стрелки, и левую, если почасовой (рис. 1.11). c c a b a b правая тройка левая тройка Рис. 1.11 Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор который удовлетворяет следующим условиям 1) вектор c перпендикулярен векторами те) модуль вектора c равен произведению модулей векторов a и b на синус угла между ними, те) векторы , a b и c образуют правую тройку. Векторное произведение обозначается a b × , или [ , ]. a Из определения векторного произведения вытекают соотношения между ортами , , i j k j k i k i j × = × = × = Свойства векторного произведения Приведем свойства векторного произведения. 1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак ( ). a b b a × = − × 2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя λ( ) (λ ) (λ ). a b a b a b × = × = × G G G G G G 3. Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору 0. a b a b ⇔ × = 4. Распределительное свойство ( ) a b c a c b c + × = × + × 5. Геометрический смысл векторного произведения если векторы a и b неколлинеарны, то модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на них пар b S = × = (рис. 1.12). 19 c b пар a Рис. 1.12 Выразим векторное произведение через координаты ( ) ( ) x y z x y z a b a i a j a k b i b j b k × = + + × + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( x x x y x z y x y y y z z x z y z z x y x z y x y z z x z y y z z y x z z x x y y a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j a b j k a b k i a b k j a b k k a b k a b j a b k a b i a b j a b i a b a b i a b a b j a b a b = × + × + × + × + × + × + + × + × + × = = + − − + + + − + те Полученную формулу можно записать сокращенно x y z x y z i j k a b a a a b b b × Пример. Даны векторы {1; 2; 2} a = − и {3;0; 4}. b = − Найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. Решение. Найдем векторное произведение a и b : 2 2 1 2 1 2 1 2 2 8 10 6 . 0 4 3 4 3 0 3 0 4 i j k a b i j k i j k − − × = − = − + = + + − − − 20 2 2 пар 10 6 10 2. S a b = × = + + = ⋅ 1.9. Смешанное произведение векторов Смешанным произведением трех векторов , a b и c называется число, равное векторному произведению a b × , умноженному скалярно на вектор . с Смешанное произведение обозначается , a b с или ( , , ). a b с Сначала выполняется векторное произведение, а затем скалярное. Свойства смешанного произведения Рассмотрим свойства смешанного произведения. 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, тес с с a b × ⋅ = × ⋅ = × ⋅ 2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, тес с ⋅ = ⋅ × 3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, тес с с сba = − = − = − 4. Если 0, a сто и c компланарны. Обратное тоже верно если векторы , a b и c компланарны, то 0. a с. Если 0, a сто тройка векторов , a b и c правая, если 0, a сто тройка векторов , a b и c левая. 21 6. Геометрический смысл векторного произведения модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , a b ирис, те. парал V a bс = Выразим смешанное произведение через координаты. Пусть заданы векторы { ; ; }, { ; ; }, { ; ; }. x y z x y z x y z a a a a b b b b c c c c = = = ( ) ( ) ( ) x y z x y z x y z y z x y x z x y z y z x y x z y z x y x z x y z y z x y x z i j k a b с i c j c k b b b a a a a a a i j k c i c j c k b b b b b b a a a a a a c c c b b b b b b × ⋅ = ⋅ + + = ⎛ ⎞ = − + ⋅ + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⋅ − ⋅ + ⋅ Полученную формулу можно записать в виде x y z x y z x y z a a a a с c b a Рис. 1.13 Пример. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках (1; 1;2), (2; 3; 1), (2; 2; 4), ( 1; 1; 3). O A B C − − − 22 Решение. Объем тетраэдра OABC равен 1 6 объема параллелепипеда, построенного на векторах , , , OA OB OC те. тетр парал 1 1 6 6 V V OA OBOC = = JJG JJG Найдем координаты векторов , , : OA OB OC {1; 2; 3}, {1; 3; 2}, { 2; 0; 1}. OA OB OC = − = − = − 1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 3 0 1 2 1 2 0 2 0 1 3 10 18 5. OA OB OC − − − = − = ⋅ − ⋅ − ⋅ = − − − = − Итак, тетр 5 5 6 6 V = ⋅ = 1.10. Векторное пространство. Базис Векторным (линейным) пространством называется множество состоящее из элементов любой природы (называемых векторами ), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям 1) x y y x + = + – коммутативность сложения 2) ( ) ( ) x y z x y z + + = + + – ассоциативность сложения существует нулевой вектор 0, удовлетворяющий условию 0 x x + = для любого вектора x ; для любого вектора x существует противоположный ему вектор ( ) x − такой, что ( ) 0 x x + − = , где 0 – нулевой вектор 5) 1 x x ⋅ = для любого вектора x , где 1– число 6) α(β ) (αβ) x x = – ассоциативность умножения 23 7) (α β) α β x x x + = + – дистрибутивность относительно операции сложения чисел 8) α( ) α α x y x y + = + – дистрибутивность относительно операции сложения векторов. , x y – векторы α, β – действительные (комплексные) числа. Например, линейными пространствами являются множество всех многочленов степени не выше n; множество квадратных матриц порядка n, множество всех векторов мерного пространства, множество векторов мерного пространства векторы этого пространства – упорядоченные системы из n действительных чисел, тес определенными в каждом из этих случаев соответствующим образом операциями сложения элементов и умножения их на числа. Вектор x называется линейной комбинацией векторов 1 2 , , , m a векторного пространства, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа 1 2 λ ,λ , ,λ : m … 1 2 2 1 λ λ λ m Векторы 1 2 , , , m a a a … векторного пространства L называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1 2 λ ,λ , ,λ , m … неравные одновременно нулю, что 1 1 2 2 λ λ λ 0. m m a a a + + + = … (1.8) Векторы 1 2 , , , m a a a … векторного пространства L называются линейно независимыми, если равенство (1.8) справедливо лишь при 1 Например, два неколлинеарных вектора 1 x и линейно независимы, т. к. 1 1 2 2 λ λ 0 x x + = выполняется только тогда, когда 1 2 λ λ 0, = = ибо если, например, 2 λ 0, ≠ то 1 2 1 2 λ λ x x = − и векторы 1 x и 2 x коллинеарны. Максимальная совокупность линейно независимых векторов линейного пространства называется его базисом Линейное пространство L называется мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые системы из (n+1) вектора уже являются зависимыми. Число n называется размерностью пространства L и обозначается dim( ). L Другими словами, размерность пространства – это максимально возможное число линейно независимых векторов в данном пространстве. Любая совокупность n линейно независимых векторов 1 2 , , , n e e e … в мерном пространстве L образует базис этого пространства. Теорема. Каждый вектор x из пространства L может быть единственным образом представлен как линейная комбинация базисных векторов 1 2 , , , n e e e … 1 1 2 2 n n x x e x e x e = + + +Равенство (1.9) называется разложением вектора x по базису 2 , , , , n e e e … а числа 1 2 , , , n x x x … – координатами вектора x относительно этого базиса. Пример. Показать, что векторы {3; 4; 3}, { 2; 3; 1}, {4; 2; 3} a b c = = − = − образуют базис, и найти координаты вектора { 17; 18; 7} d = − − в этом базисе. Решение Составим матрицу A из координат векторов , a b и : c 3 4 3 2 3 1 . 4 2 3 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = Вычислим ранг матрицы 3 4 3 3 4 3 1 7 4 1 7 4 1 7 4 2 3 1 1 7 4 3 4 3 0 17 9 0 17 9 4 2 3 4 2 3 4 2 3 0 30 13 49 0 0 17 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − − ⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∼ ∼ ∼ ∼ 25 ( ) 3. r A ⇒ = Так как ранг равен трем, то векторы , a b и c линейно независимы и, значит, образуют базис. Разложим вектор d по базису , , : a b c α β γ , d a b c = + + или { 17; 18; 7} α{3; 4; 3} β{ 2; 3; 1} γ{4; 2; 3}. − − = + Последнее векторное равенство равносильно системе линейных уравнений 3α 2β 4 17, 4α 3β 2γ 18, 3α β 3γ 7. γ − + = − ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + + = Решая систему, находим α 1, β 2, γ 4. = = = Итак, координаты вектора d в базисе , , a b c {1; 2; 4}, − те +Задачи для самостоятельного решения 1. Найти длину вектора 2 3 6 a i j k = + − и его направляющие косинусы. Ответ 3 6 7; cosα ; cosβ ; cos γ 7 7 7 a − = = = = 2. Найти координаты вектора 1 , 2 a b c − + если {2; 3; 0}, {0; 3; 2}, {1; 1; 1}. a b c = = − Ответ 3; ; 0 . 2 ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 3. Определить угол между векторами 2 3 a i j k = + + и 6 4 2 Ответ 26 4. Даны вершины треугольника (4; 1; 0), (2; 2; 1), (6; 3; 1). A B C Найти проекцию стороны АВ на сторону АС Ответ 3 − 5. Дан треугольник с вершинами (2; 1; 2), (1; 2; 1), (3; 2; 1). A B C − − Найти его площадь. Ответ 22. 6. Даны вершины тетраэдра ( 5; 4; 8), (2; 3; 1), (4; 1; 2), (6; 3; 7). O A B C − Найти длину высоты, опущенной из вершины Она грань АВС. Указание. Найти объем тетраэдра и площадь S грани АВС и воспользоваться формулой 1 Ответ. Показать, что векторы {2; 1; 0}, {1; 1; 2}, {2; 2; 1} a b c = = − = − образуют базис, и найти координаты вектора {3; 7; 7} d = − в этом базисе. Ответ 3 d a b c = − + Линейные геометрические объекты 2. Прямая на плоскости 2.1. Уравнения прямой на плоскости Любой ненулевой вектор n , перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором прямой l (рис. 2.1). n Рис. 2.1 Фиксированная точка – точка, положение которой на фигуре зафиксировано. Текущая точка – точка, положение которой на фигуре не зафиксировано, те. произвольная точка фигуры. Пусть { ; } n A B = – нормальный вектор прямой l; n ) , ( 0 0 0 y x P – фиксированная точка прямой 0 P P ) , ( y x P – произвольная точка плоскости 0 r – радиус-вектор точки 0 P ; 0 r l r – радиус-вектор точки Р. O r P Тогда 0 0 P P r r = − (рис. 2.2). Рис. Если точка ) , ( y x P принадлежит прямой, те. является текущей точкой прямой, то 0 n P P ⊥ Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю 0 0 n P P ⋅ = , или 0 ( ) 0. n r r ⋅ − = (2.1) Если точка ) , ( y x P не принадлежит прямой, то условие (2.1) не выполняется, т. к. векторы n и 0 P P не перпендикулярны. Уравнение (2.1) – уравнение прямой в векторной форме. Подставим в уравнение (2.1) координаты векторов { ; } n A B = и 0 0 0 { ; }: P P x x y y = − − 0 0 ( ) ( ) 0. A x x B y y − + − = (2.2) Уравнение (2.2) – уравнение прямой, проходящей через данную точку ) , ( 0 0 0 y x P перпендикулярно данному вектору В уравнении (2.2) раскроем скобки 0 0 0. Ax By Ax By + − − = Пусть 0 0 , C Ax By = − − тогда 0. Ax By C + + = (2.3) Уравнение (2.3) – общее уравнение прямой. Пусть на плоскости Oxy задана произвольная прямая l, непараллельная оси Oy Ее положение определяется ординатой b точки (0; ) A b и углом α(0 α π) ≤ ≤ между прямой и осью Ox (рис. 2.3). Возьмем на прямой точку ( ; ) B x y и опустим из нее на ось Ox перпендикуляр. Через точку (0; ) A b проведем прямую, параллельную оси Ox y ( ; ) B x y y (0; ) A b α C α O x x Рис. 2.3 Рассмотрим прямоугольный треугольник : tgα BC y Отсюда tgα y x b = ⋅ + Введем обозначение tgα k = ( k называется угловым коэффициентом прямой. В итоге y kx b = + (2.4) Уравнение (2.4) – уравнение прямой с угловым коэффициентом Замечания) Если 0, b = то y kx = 2) Если , l Ox то y b = 3) Если , l Oy то x a = – прямая отсекает на оси Ox отрезок а. Пусть прямая проходит через точку 0 0 0 ( ; ) P x y и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k Так как точка 0 0 0 ( ; ) P x y принадлежит прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой (2.4), те+ Отсюда 0 0 b y kx = − Подставим значение b в уравнение (2.4), получим 0 0 ( ). y y k x x − = − (2.5) Уравнение (2.5) – уравнение прямой, проходящей через данную точку 0 0 0 ( ; ) P x y |