УП_Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения
 Скачать 0.61 Mb.
|
|
6.2. Эллипс Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами. Пусть точки 1 F и 2 F – фокусы эллипса. Обозначим расстояние между фокусами 2 с а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через 2 . a По определению 2 2 , a c > те Выберем систему координат Oxy так, чтобы фокусы 1 F и 2 F лежали на оси , Ox а начало координат совпадало с серединой отрезка 1 2 F F Тогда фокусы будут иметь следующие координаты 1 ( ; ирис 0) F c x Рис. 6.4 Пусть ( ; ) P x y – произвольная точка эллипса, тогда, согласно определению эллипса, 1 2 2 , PF PF a + = 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 . x c y x Преобразуем последнее уравнение 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) , x c y a x c y + + = − − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 ( ) 2 , ( ) , 2 2 , ( ) ( ). x cx c y a a x c y x cx c y a x c y a cx a x a cx a c a y a a cx c x a c x a y a Так как , a c > то 2 2 0. a c − > Пусть 2 2 2 , a c b − = (6.3) тогда последнее уравнение имеет вид 2 2 2 2 2 2 , b x a y a b + = 61 2 2 2 2 1. x y a b + = (6.4) Уравнение (6.4) называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс симметричен относительно осей Ox и , Oy а также относительно точки (0;0), O которую называют центром эллипса (рис. 6.5). Точки 1 2 1 2 ( ; 0), ( ; 0), (0; ), (0; ) A a A a B b B b − − называются вершинами эллипса. y 1 (0; ) B b 2 ( ; 0) A a − 1 F O 2 F 1 ( ; 0) A Рис. 6.5 Отрезки 1 2 A A и 1 2 , B B а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называют соответственно большой и малой полуосями Форма эллипса зависит от отношения . b a При b a = эллипс превращается в окружность и уравнение (6.4) принимает вид 2 В качестве характеристики формы эллипса пользуются отношением Отношение c a называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой ε (эпсилон причем 0 ε 1, < < т. к. 0 c a < < Чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным если ε 0, = то эллипс превращается в окружность. Длины отрезков 1 1 PF r = и 2 2 PF r = называются фокальными радиусами точки . P Очевидно, 1 2 2 . r r a + Имеют место формулы 1 ε r a x = + и 2 ε . r a x = Прямые ε a x = ± называются директрисами эллипса (рис. 6.6). y ( ; ) P x y 1 r 2 r 1 F O 2 F x ε a x = − ε a x = Рис. 6.6 Из равенства (6.3) следует, что a b > Если же , a b < то уравнение (6.4) определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси , Oy а малая ось 2a – на оси Ox (рис. 6.7). Фокусы такого эллипса находятся в точках 1 (0; си с где 2 2 c b a = − y 1 F O x 2 F Рис. 6.7 63 6.3. Гипербола Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Пусть точки 1 F и 2 F – фокусы гиперболы. Обозначим расстояние между фокусами 2 с а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2 . a По определению 2 2 , a c < те Выберем систему координат Oxy так, чтобы фокусы 1 F и 2 F лежали на оси , Ox а начало координат совпадало с серединой отрезка 1 2 F F Тогда фокусы будут иметь следующие координаты 1 ( ; ирис 0) F c x Рис. 6.8 Пусть ( ; ) P x y – произвольная точка гиперболы, тогда, согласно определению гиперболы, 1 2 2 PF PF a − = или 1 2 2 , PF PF a − = ± 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 . x c y x c y a + + − − + = После упрощения последнего уравнения, получим 2 2 2 2 1, x y a b − = (6.5) где 2 Уравнение (6.5.) называется каноническим уравнением гиперболы. Гипербола симметрична относительно осей Ox и , Oy а также относительно точки (0;0), O которую называют центром гиперболы (рис. 6.9). y 1 (0; ) B b 1 ( ; 0) F c − 2 ( ; 0) A a − O 1 ( ; 0) A a 2 ( ; 0) F c x 2 (0; ) B b − Рис. 6.9 Точки 1 2 ( ; 0), ( ; 0) A называются вершинами гиперболы. Отрезки 1 2 A A и 1 2 , B B а также их длины 2a и 2b называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Числа a и b называют соответственно действительной и мнимой полуосями Из уравнения (6.5) следует, что 2 2 1 x a ≥ или x a ≥ Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой x a = (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой x a = − (левая ветвь гиперболы. Асимптоты гиперболы Прямая называется асимптотой неограниченной кривой, если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки вдоль кривой от начала координат. Гипербола (6.5) имеет две асимптоты b y x a = ирис Рис. 6.10 Гипербола (6.5) называется равносторонней, если ее полуоси равны, те Ее каноническое уравнение 2 Отношение называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается ε : причем ε 1, > т. к. . c a > Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем гипербола будет более прижата коси. Длины отрезков 1 1 PF r = и 2 2 PF r = (см. рис. 6.8) называются фокальными радиусами точки . P Фокальные радиусы для точек правой ветви гиперболы имеют вид 1 ε r x a = + и 2 ε , r x a = − а для левой 1 (ε ) r x a = − + и 2 (ε ). r x a = Прямые ε a x = ± называются директрисами гиперболы (рис. 6.11). 66 y 2 A O 1 A x ε a x = − ε a x = Рис. 6.11 Кривая, определяемая уравнением 2 2 2 2 1, y x b a − = также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси , Oy а мнимая ось 2a – на оси Ox (рис. 6.12). y 1 B 2 A O 1 A x Рис. 6.12 Гиперболы 2 2 2 2 1 x y a b − = и 2 2 2 2 1 y x b a − = имеют общие асимптоты и называются сопряженными 67 6.4. Преобразование системы координат Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат. Параллельный перенос системы координат Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy Параллельный перенос осей координат – переход от системы координат Oxy к новой системе 1 1 1 , O x y при котором меняется положение начала координата направление осей и масштаб остаются неизменными. Пусть начало новой системы координат – точка 1 O – имеет координаты 0 0 ( ; ) x y в старой системе координат , Oxy те Обозначим координаты произвольной точки P плоскости в системе Oxy через ( ; ), x y а в новой системе 1 1 1 O x y через ( ; ) x y ′ ′ (рис. 6.13). y 1 y j P 1 O i 1 x j O i x Рис. 6.13 Рассмотрим векторы , OP xi yj = + 1 0 0 , OO x i y j = + 1 O P x i y j ′ ′ = + 1 1 , OP OO O P = + то 0 0 xi yj x i y j x i y j ′ ′ + = + + + или 0 0 ( ) ( ) . xi yj x x i y y j ′ ′ + = + + + Итак, 0 0 , x x x y y y ′ = + ⎧ ⎨ ′ = + ⎩ (6.6) Формулы (6.6) позволяют находить старые координаты x и y по известным новыми и наоборот. Поворот осей координат Поворот осей координат – это такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными. Пусть новая система координат 1 1 1 O x y получена поворотом системы на угол α. Пусть P – произвольная точка плоскости. Ее координаты в старой системе координата в новой – ( ; ). x y ′ Введем две полярные системы координат с общим полюсом O и полярными осями Ox и 1 Ox Полярный радиус r в обеих системах одинакова полярные углы соответственно равны (α φ) + и φ, где φ – полярный угол в новой полярной системе (рис. 6.14) y 1 y P 1 x r φ α Рис. 6.14 Из формул перехода от полярных координат к прямоугольным имеем cos(α φ), sin(α φ) x r y r = ⋅ + ⎧ ⎨ = ⋅ + ⎩ или cosφ cosα sin φ sin α, cosφ sin α sin φ cosα. x r r y r r = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⎧ ⎨ = ⋅ ⋅ + Так как cosφ x r ′ = и sin φ, y r ′ = то cosα sin α, sin α cosα. x x y y x y ′ ′ = − ⎧ ⎨ ′ ′ = + ⎩ (6.7) Формулы (6.7) называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты ( ; ) x y произвольной точки P через новые координаты ( ; ) x y ′ ′ этой же точки и наоборот. Если новая система координат 1 1 1 O x y получена из старой Oxy путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α, то старые координаты x и y произвольной точки выражаются через ее новые координаты x′ и y′ по формулам 0 0 cosα sin α , sin α cosα x x y x y x y y ′ ′ = − + ⎧ ⎨ ′ ′ = + + ⎩ 6.5. Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям Пусть центр эллипса находится в точке 1 0 0 ( ; ). O x y Его оси симметрии параллельны координатным осями а полуоси соответственно равны и . b Поместим в центре эллипса 1 O начало новой системы координат 1 1 1 , O x оси которой 1 1 O x и 1 1 O y параллельны соответствующим осями и одинаково сними направлены. В новой системе координат уравнение эллипса имеет вид 2 2 2 Используя формулы (6.6), получим 70 2 2 0 0 2 2 ( ) ( ) 1. x x y Аналогично рассуждая, получим - уравнение гиперболы с центром в точке 1 0 0 ( ; ) O x y и полуосями a и b 2 2 0 0 2 2 ( ) ( ) 1; x x y y a b − − − = - уравнения парабол с вершиной в точке 1 0 0 ( ; ) O x y 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ( ) 2 ( ), ( ) 2 ( ), ( ) 2 ( ), ( ) 2 ( ). y y p x x y y p x x x x p y y x x p y y − = − − = − − − = − − = Пример Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением 2 2 9 16 90 32 97 0. x y x y + − + + = Решение. Группируем члены, содержащие только x и только , y вынося коэффициенты при 2 x и 2 y за скобку 2 9( 10 ) 16( 2 ) 97 Дополняем выражения в скобках до полных квадратов 2 2 9( 2 5 25 25) 16( 2 1 1) 97 0, x x y y − ⋅ ⋅ + − + + + − + = 2 2 2 2 2 2 9 ( 5) 25 16 ( 1) 1 97 0, 9( 5) 16( 1) 225 16 97 0, 9( 5) 16( 1) 144 0. x y x y x y ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − + + − +Перенесем свободный член вправо и разделим на него 2 2 ( 5) ( 1) 1. 16 9 x y − + + = Итак, получили уравнение эллипса с центром в точке (5; 1), − полуосями 4, 3. a b = = Пример Определить вид кривой 2 2 32 52 7 180 0 x xy y + − + = . Решение Перейдем в уравнении к переменными, используя формулы 71 cosα sin α, sin α cosα. x x y y Подставим данные соотношения в уравнение, получим 2 32( cosφ sin φ) 52( cosφ sin φ)( sin φ cosφ) x y x y x y ′ ′ ′ ′ ′ ′ − + − + − 2 7( sin φ cosφ) 180 Раскроем скобки, приведем подобные члены и приравняем к нулю коэффициент при x y ′ ′. Получим следующее уравнение 2 26tg φ 39tgφ 26 0. + − = Определим угол поворота φ : tgφ 2 = − ; φ arctg( 2) = − . 2 1 1 cosφ 5 1 tg φ = = + ; 2 tgφ 2 sin φ 5 1 tg φ = = Преобразования поворота принимает вид 1 2 , 5 5 2 1 5 5 x x y y x y ⎧ ′ ′ = ⋅ + ⋅ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ′ ′ = − ⋅ + Подставим найденные , x y в исходное уравнение, получим, 2 2 1. 9 4 x y ′ ′ − = Итак, получили уравнение гиперболы. Задачи для самостоятельного решения 1. Парабола с вершиной вначале координат проходит через точку ( 2; 3) A − − и симметрична относительно оси О. Написать ее уравнение, найти фокус и директрису. Ответ 9 9 9 , ; 0 , 2 8 8 y x F x ⎛ ⎞ = − − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 72 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 10, а эксцентриситет равен 0,8. Ответ 2 1. 100 36 x y + = 3. Найти центр и радиус окружности, проходящей через точки ( 1; 5), ( 2; 2), (5; 5). A B C − − Ответ 1), 5. r = 4. Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки (2; 1), ( 4; Ответ 2 1. 2 1 x y − = 5. Построить следующие кривые 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1) 8 4 ; 2) 4 2 4 0; 3) 10 4 13 0; 4) 2 4 4 2 0; 5)16 9 64 18 89 0; 6) 2 3 0. y y x x x y x y x y x y x y x y x y x y xy x y − = + + + = + + − + = + − + + = − − − − = + + − + = Поверхности второго порядка 7. Поверхности второго порядка 7.1. Основные понятия Уравнению относительно трех текущих координат соответствует некоторая поверхность. Поверхность второго порядка – поверхность, определяемая в некоторой системе прямоугольных декартовых координат уравнением второй степени 2 2 2 2 2 2 0 Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz K + + + + + + + + + = , (7.1) где , , , , , , , , , , A B C D E F G H I G K – коэффициенты уравнения (действительные числа. Не все коэффициенты при членах второго порядка одновременно равны нулю. Если имеется хотя бы одна точка трехмерного пространства с координатами, удовлетворяющими уравнению (7.1), то такая поверхность называется действительной. Уравнение (7.1) может определять вырожденную поверхность – пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей. Существует пять классов действительных невырожденных поверхностей второго порядка 1) эллипсоиды 2) гиперболоиды 3) параболоиды 4) конусы 5) цилиндры. Если поверхность невырожденная, то преобразованием декартовой прямоугольной системы координат ее уравнение (7.1) может быть приведено к наиболее простой форме записи |