УП_Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения
 Скачать 0.61 Mb.
|
|
в данном направлении. Пусть прямая проходит через две точки 1 1 1 ( ; ) P x y и 2 2 2 ( ; ). P x y Уравнение прямой, проходящей через точку 1 , P имеет вид 1 1 ( ). y y k x x − = − (2.6) Так как прямая проходит через точку 2 , P то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению, те Отсюда находим 2 1 2 1 y y k x x − = − Подставим найденное значение k в уравнение (2.6): 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − − = − − (2.7) Уравнение (2.7) – уравнение прямой, проходящей через две точки 1 1 1 ( ; ) P x y и 2 2 2 ( ; ). P x y Пусть прямая пересекает ось Ox в точке 1 ( ; 0), P a а ось Oy в точке 2 (0; ) P b (рис. 2.4). y 2 (0; ) P b 1 ( ; 0) P a O x Рис. 2.4 Уравнение (2.7) примет вид 0 , 0 0 y x a b a − − = − − те) Уравнение (2.8) – уравнение прямой в отрезках Полярная система координат Полярная система координатзадается точкой , O называемой полюсом, и лучом , Op называемым полярной осью (рис. 2.5). 31 ( ; φ) M r φ O e p Рис. 2.5 Возьмем на плоскости точку Мне совпадающую с . O Положение точки M определяется двумя числами ее расстоянием r от полюса O и углом φ, образованным отрезком OM с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Числа r и φ называются полярными координатами точки , M пишут ( ; φ), M r при этом r называют полярным радиусом, φ – полярным углом. Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Совместим полюс O с началом координат системы , Oxy а полярную ось – с положительной полуосью Ox Пусть x и y – прямоугольные координаты точки , M аи ее полярные координаты (рис. 2.6). Прямоугольные координаты точки M выражаются через полярные координаты следующим образом cosφ, sin φ. x r y r = ⎧ ⎨ = ⎩ y y M r i φ O j x p x Рис. 2.6 Полярные же координаты точки M выражаются через ее декартовые координаты по формулам 2 2 , tgφ , 0. r x y y x x ⎧ = + ⎪ ⎨ = ≠ ⎪ ⎩ π φ 2 = при 0, 0. x y = > π φ 2 = − при 0, 0. x y = < Полярное уравнение прямой Рассмотрим прямую l в полярной системе координат. Введем дополнительные обозначения m – расстояние от полюса O до прямой α – угол между полярной осью Op и осью , k проходящей через полюс O перпендикулярно данной прямой. Пусть точка M принадлежит прямой, тогда ее координаты определяются двумя значениями r – расстоянием от точки до полюса и φ – углом между отрезком OM и полярной осью Op , те (рис. 2.7). Для любой точки ( ; φ) M r на данной прямой имеем пр k m ( ;φ) M r r O α φ p l Рис. 2.7 пр cos(α φ) cos(φ α). k OM OM r = ⋅ − = ⋅ − Следовательно, cos(φ α) r m − = (2.9) Уравнение (2.9) – уравнение прямой в полярной системе координат. Нормальное уравнение прямой Пусть прямая задана в полярной системе координат уравнением (2.9). Введем декартовую систему координат , Oxy совместив полюс O с началом O системы и полярную ось Op с осью Ox (рис. 2.8). y m α O x p Рис. 2.8 Рассмотрим уравнение (2.9): cos(φ α) 0, r m − − = cosφcosα sin φsin α 0. r r m + − = Используем формулы, связывающие прямоугольные и полярные координаты cosφ, sin φ. x r y r = ⎧ ⎨ Получим уравнение cosα sin α 0. x y m + − = (2.10) Уравнение (2.10) называется нормальным уравнением прямой. Замечание Общее уравнение прямой (2.3) можно привести к нормальному уравнению (2.10), умножив обе части уравнения (2.3) на нормирующий множитель 34 2 2 1 λ , A B = где знак берется противоположным знаку свободного члена C в общем уравнении прямой. 2.2. Взаимное расположение прямых на плоскости Пусть заданы две прямые 1 1 1 2 2 2 : ; : l y k x b l y k x Угол между прямыми Найдем угол φ, на который надо повернуть в положительном направлении прямую 1 l вокруг точки пересечения прямых до совпадения с прямой 2 l Построим график, изображенный на рис. 2.9. y 2 l 1 l φ φ 1 α 2 α O x Рис. 2.9 По теореме о внешнем угле треугольника имеем 2 1 α φ α = + или 2 1 φ α α Если φ , 2 π ≠ то 2 1 2 1 1 2 tgα tgα tgφ tg(α α ) 1 tgα Так как 1 1 2 2 tgα , tgα , k k = = то 35 2 1 1 2 tgφ 1 k k k k − = + (2.11) Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая – второй, то правая часть формулы (2.11) берется по модулю, те Условие параллельности прямых Если прямые параллельны, то φ 0 = и tgφ 0. = Из формулы (2.11) следует 2 1 0, k k − = те Итак, если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Условие перпендикулярности прямых Если прямые перпендикулярны, то π φ 2 = и 1 2 2 1 1 ctgφ 0. k k k k + = = − Отсюда 1 2 1 0, k k + = те Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство 1 2 1. k k = − Пример. Дан треугольник ABC с вершинами (6; 5), (5; 4), ( 5; 4). A B C − − Найти 1) уравнение прямой ; AB 2) уравнение высоты , CN опущенной из вершины ; C 3) уравнение медианы , AM проведенной из вершины . A Решение 1. Используем уравнение прямой, проходящей через две точки, 36 , A A B A B A y y x получим 5 6 4 5 5 6 y x − − = − − − , или 9 49 0. x y − − = : 9 49 0. AB x y − − = 2. Найдем уравнение высоты CN Поскольку , CN AB ⊥ постольку используем угловой коэффициент прямой AB для нахождения углового коэффициента прямой CN Так как : 9 49 0 AB x y − − = , или 9 49, y x = − то угловой коэффициент 9. AB k = 1, AB CN k k = − 1 9 CN k = − Уравнение прямой CN найдем по угловому коэффициенту CN k и точке : C ( ), 1 4 ( 5), 9 9 31 0. C CN C y y k x x y x x y − = − − = − + + − = : 9 31 0. CN x y + − = 3. Уравнение медианы AM найдем, используя уравнение прямой, проходящей через две точки A и ( ; ) : M M M x y A A M A M A y y x Координаты точки M – это координаты середины отрезка BC : , , 2 2 B C B C M M x x y y x y + + = = 0, 0. M M x y = = Уравнение медианы AM примет вид 5 6 , 0 5 0 6 5 6 0. y x x y − − = − − − = 37 : 5 6 0. AM x y − = 2.3. Расстояние от точки до прямой Пусть задана прямая : 0 l Ax By C + + = и точка 0 0 0 ( ; ) P x y (рис. 2.10). y 1 P d 0 P n O x l Рис. 2.10 Расстояние d от точки 0 P до прямой l равно модулю проекции вектора 1 0 , PP где 1 1 1 ( ; ) P x y – произвольная точка прямой l , на направление нормального вектора { ; }. n A B = Следовательно, 1 0 1 пр n d PP n ⋅ = = = 0 1 0 1 0 0 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) x x A y y Так как точка 1 1 1 ( ; ) P x y принадлежит прямой, тот. е. 1 1 C Ax By = − − Поэтому 0 0 2 2 Ax By C d A B + + = + Задачи для самостоятельного решения Определить острый угол между прямыми 5 7 0, 2 3 1 0. x y x y − + = − + = Ответ 45 . Показать, что прямые 2 5 7 0, 5 2 8 0 x y x y − + = + + = перпендикулярны. Дан треугольник ABC с вершинами (1; 2), (21; 12), (13; Найти 1) уравнение прямой ; AB 2) уравнение высоты , CN опущенной из вершины ; C 3) уравнение медианы , AM проведенной из вершины . A Ответ 3 0; 2)2 22 0; 3) 8 15 0. x y x y x y + + = − − = + + = Найти расстояние между прямыми 3 4 15 0, 6 8 5 0. x y x y + − = + + = Ответ 39 3. Плоскость 3.1. Уравнения плоскости Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором плоскости . Пусть n { ; ; } n A B C = – нормальный вектор плоскости π ; P 0 0 0 0 ( ; ; ) P x y z – фиксированная точка плоскости 0 P π ( ; ; ) P x y z – произвольная точка пространства 0 0 0 0 { ; ; }; P P x x y y z z = − − − P 0 r – радиус-вектор точки 0 P ; Рис. 3.1 r – радиус-вектор точки Р 0 0 P P r r = − (рис. 3.1). Если точка P принадлежит плоскости, то векторы n и 0 P P перпендикулярны. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, значит, 0 ( ) 0. n r r ⋅ − = (3.1) Если точка ( ; ; ) P x y z не принадлежит плоскости, то условие (3.1) не выполняется. Уравнение (3.1) – уравнение плоскости в векторной форме. Выразим скалярное произведение 0 n P P ⋅ через координаты векторов 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0. A x x B y y C z z − + − + − = (3.2) Уравнение (3.2) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку 0 0 0 0 ( ; ; ) P x y z перпендикулярно данному вектору ; ; }. n A B C = Раскроем скобки в уравнении (3.2) 0 0 0 0 Ax By Cz Ax By Cz + + − − − = и обозначим 0 0 0 , Ax By Cz D − − − = тогда получим 0. Ax By Cz D + + + = (3.3) Уравнение (3.3) – общее уравнение плоскости Уравнение плоскости, проходящей через три точки Пусть 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), P x y z P x y z P x y z – три точки плоскости π, не лежащие на одной прямой. ( ; ; ) P x y z – текущая точка плоскости (рис. 3.2). π 1 P 2 P 3 P P P Рис. 3.2 Рассмотрим векторы 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 3 3 1 3 1 3 1 { ; ; }, { ; ; }, { ; ; }. PP x x y y z z PP x x y y z z PP x x y y Если точка ( ; ; ) P x y z принадлежит плоскости, то векторы 1 1 2 1 3 , , PP PP PP лежат водной плоскости, те. они компланарны. Так как векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю 1 1 2 1 3 0, PP PP PP = те) Уравнение (3.4) – уравнение плоскости, проходящей через три точки Пример Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки 1 2 3 (0; 1; 1), (3; 5; 1), (1; 3; 1). A A A − − − Решение. Воспользуемся уравнением (3.4): 1 1 1 1 3 5 1 1 1 0, 3 6 0 0, 1 3 1 1 1 1 2 2 x y z x y z + − + − + − = = − + − − − − 12 6( 1) 12( 1) 0, 2 2 3 0. x y z x y z − + + − − = − + − Уравнение плоскости, походящей через точки 1 2 3 , , , A A A имеет вид 2 2 3 0. x y z − + − Уравнение плоскости в отрезках Пусть плоскость отсекает на осях , , Ox Oy Oz соответственно отрезки , , , a b c те. проходит через точки ( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; ) A a B b C c – рис. (3.3). z (0; 0; С O y ( ; 0; 0) A a (0; ; 0) B b x Рис. 3.3 Подставляя координаты точек , , A B C в уравнение (3.4), получаем 0 0. 0 x a y Раскрыв определитель, имеем 1. x y z a b c + + = (3.5) Уравнение (3.5) – уравнение плоскости в отрезках . Нормальное уравнение плоскости Положение плоскости π вполне определяется заданием единичного вектора , e имеющего направление перпендикуляра , OK опущенного на плоскость изначала координат, и длиной m этого перпендикуляра (рис. 3.4). z K γ O e β P y α π x Рис. 3.4 Пусть α, β, γ – углы, образованные единичным вектором e с осями , , , Ox Oy Oz значит, {cosα; cosβ; cos Возьмем точку ( ; ; ), P x y z принадлежащую плоскости. При любом положении точки P на плоскости проекция радиус-вектора OP r = на направление вектора e всегда равна m ( m OK = ): пр m = те, или 0. r e m ⋅ − = (3.6) Уравнение (3.6) – нормальное уравнение плоскости в векторной форме Выразим скалярное произведение r e ⋅ через координаты векторов cosα cosβ cos γ. r e x y z ⋅ = + + (3.7) Подставляя (3.7) в (3.6), получим cosα cosβ cos γ 0. x y z m + + − = (3.8) Уравнение (3.8) – нормальное уравнение плоскости в координатной форме. Замечание Общее уравнение плоскости (3.3) можно привести к нормальному уравнению плоскости (3.8), умножив обе части уравнение (3.3) на нормирующий множитель 2 2 2 1 λ , A B C = где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости (3.3). 3.2. Взаимное расположение плоскостей Пусть даны две плоскости 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 π : 0, { ; ; }; π : 0, { ; ; }. A x B y C z D n A B C A x B y C z D n A B Угол между плоскостями Под углом между плоскостями 1 π и 2 π понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Угол φ между нормальными векторами 1 1 1 1 { ; ; } n A B C = и 2 2 2 2 { ; ; } n A B C = плоскостей 1 π и 2 π равен одному из этих углов (рис. 3.5). Поэтому 1 2 2 1 cosφ n n n n ⋅ = ⋅ , или 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cosφ A A B B C C A B C A B C + + = + + ⋅ + + (3.9) Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части (3.9). 44 1 n 2 π φ φ 2 n 1 π Рис. 3.5 Условие параллельности плоскостей Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы параллельны. Значит, координаты нормальных векторов пропорциональны 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = = (3.10) Верно и обратное утверждение. Выражение (3.10) есть условие параллельности плоскостей. Условие перпендикулярности плоскостей Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы тоже перпендикулярны, тогда 1 2 0, n n ⋅ = те) Верно и обратное утверждение. Выражение (3.11) есть условие перпендикулярности плоскостей. Пусть даны три плоскости 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 π : 0, { ; ; }; π : 0, { ; ; }; π : 0, { ; ; }. A x B y C z D n A B C A x B y C z D n A B C A x B y C z D n A B Общие точки трех плоскостей определяются из системы 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 0, 0, 0. A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D + + + = ⎧ ⎪ + + + = ⎨ ⎪ + + + = ⎩ Замечание Если нормальные векторы 1 2 3 , , n n n некомпланарны, то три плоскости имеют единственную общую точку. |