Методичка РГР 4. Задание 4 расчет переходных процессов в электрических цепях

• Название: Задание 4 расчет переходных процессов в электрических цепях
• Дата: 24.04.2022
• Размер: 2.22 Mb.
• Имя файла: Методичка РГР 4.doc
• Тип: Документы; #492766
• страница: 5 из 5

Расчет переходного процесса методом
переменных состояния

В соответствии с п. 5 и данными карточки 1 задания исходная схема преобразуется в схему рис. 4.44. Требуется определить ток i₃(t).

М

Рис. 4.46

етод переменных состояния относится к разряду методов численного расчета и проявляет свои преимущества при использовании вычислительной техники. В задании рекомендовано осуществить численный расчет переходного режима «вручную».

Если воспользоваться эквивалентной заменой резистивной части послекоммутационной схемы (для t  0) одной эквивалентной ветвью, то исходная схема (рис. 4.44) может быть сведена к одноконтурной схеме, представленной на рис. 4.46. В качестве переменных состояния рассматриваются напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности , определяющие энергетическое состояние переходной цепи. Уравнение по второму закону Кирхгофа для послекоммутационной схемы (рис. 4.46) с учетом указанных на схеме направлений токов и напряжений имеет вид

. (4.21)

В соответствии с требованиями метода переменных состояния, имея в виду, что , уравнение (4.21) может быть приведено к виду

. (4.22)

Представив дифференциальное уравнение (4.22) в конечно-разностной форме при допущении, что производная определяет переходную функцию в начале временного интервала, получим

. (4.23)

Из соотношения (4.23) вытекает уравнение (4.24):

, (4.24)

позволяющее рассчитать переходный процесс численным методом.

Порядок действий следующий.

В зависимости от требуемой точности расчета выбирается значение временного приращения t(см. примечание).

Для k = 0 уравнение (4.24) принимает вид

, (4.25)

где – значение напряжения на конденсаторе в начале первого временного интервала t, т.е. при t =0. С учетом закона коммутации

.

Как следует из схемы (рис. 4.44), в установившемся докоммутационном режиме

.

Следовательно,

.

Подставив найденное значение в соотношение (4.25), можно определить , т.е. напряжение на конденсаторе в момент t = t.

Для k = 1 уравнение (4.24) принимает вид

, (4.26)

где – найденное выше значение напряжения на конденсаторе в начале второго временного интервала t, т.е. при t = t, а – определяемое значение напряжения на конденсаторе в конце второго временнуго интервала t, т.е. при t = 2t. Далее с помощью уравнения (4.24) определяются , , и т.д. Расчет ведется до тех пор, пока рассчитанные значения искомой величины в начале и конце очередного интервала не совпадут с требуемой точностью. Значения тока в любой рассматриваемый момент времени определяются из соотношения (4.21), представленного в соответствующей форме

,

по известным значениям напряжения на конденсаторе .

Результаты расчета целесообразно свести в табл. 4.3.
Т а б л и ц а 4.3

t	0	t	2t	3t	4t	5t	6t	7t	8t	9t
uC
i3

Примечание. Практическая длительность переходного процесса составляет (4…5), где  – постоянная времени переходного процесса. Для рассматриваемой цепи (рис. 4.44)

.

В качестве временного интервала t при численном расчете переходного процесса рекомендуется выбирать отрезок времени длительностью не более 0,5. При этом анализ переходного режима будет проводиться с помощью не менее 8…10 точек.
Р


Рис. 4.47
асчет переходного процесса в нелинейной цепи
В соответствии с п. 6 и данными карточки 1 задания исходная схема преобразуется в схему рис. 4.45, в которой емкость С₃ нелинейна (задана кулон-вольтной характеристикой q = f(u_C), где q – заряд конденсатора, u_C – напряжение на конденсаторе). Требуется определить напряжение u_C(t).

Переходные процессы в нелинейных цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Существует достаточно много методов расчета переходных процессов в нелинейных цепях. Одним из наиболее эффективных методов является метод переменных состояния. В исследуемой цепи (рис. 4.45) в качестве переменной состояния рассматривается заряд qконденсатора.

Если воспользоваться эквивалентной заменой резистивной части послекоммутационной схемы одной эквивалентной ветвью, то исходная схема (рис. 4.45) для t  0 может быть сведена к одноконтурной схеме, представленной на рис. 4.47.

Нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в цепи (рис. 4.47) (с учетом того, что ), имеет вид

. (4.27)

В соответствии с требованиями метода переменных состояния уравнение (4.27) может быть приведено к виду

. (4.28)

Нелинейное дифференциальное уравнение (4.28) может быть представлено в конечно-разностной форме

,

или

. (4.29)

Соотношение (4.29) позволяет рассчитать переходный процесс в рассматриваемой нелинейной цепи численным методом.

Порядок действий следующий

В зависимости от требуемой точности расчета выбирается значение временного приращения t(см. примечание, с. 64).

Для k = 0 уравнение (4.29) принимает вид

, (4.30)

где – значение напряжения на конденсаторе в начале первого временного интервала t, т.е. при t = 0. С учетом закона коммутации

.

Как следует из схемы (рис. 4.45), в установившемся докоммутационном режиме

.

Следовательно,

.

Заданная кулон-вольтная характеристика нелинейного конденсатора q = f(u_C) позволяет определить по значению заряд конденсатора q₀ в начальный момент переходного процесса.

Подставив значения q₀и в соотношение (4.30), можно определить заряд конденсатора q₁ в конце первого временного интервала, т.е. в момент времени t = t. Кулон-вольтная характеристика нелинейного конденсатора q = f(u_C) позволяет по найденному значению q₁ определить соответствующее напряжение на конденсаторе в этот же момент времени t = t.

Для k = 1 уравнение (4.30) принимает вид

, (4.31)

где q₁ и – найденные выше заряд и напряжение на конденсаторе в начале второго временного интервала t, т.е. при t = t, а q₂ – значение напряжения на конденсаторе в конце второго временного интервала t, т.е. при t = 2t. Определив по уравнению (4.31) q₂, по кулон-вольтной характеристике находится соответствующее напряжение на конденсаторе .

Далее процесс расчета уравнения (4.30) многократно повторяется. При этом определяются q₃ и в момент времени t = 3t, q₄ и в момент времени t = 4t и т.д. Расчет ведется до тех пор, пока рассчитанные значения искомой величины в начале и в конце очередного интервала не совпадут с требуемой точностью. Значения переходного тока в любой рассматриваемый момент времени t = kt может быть найдено по значению напряжения на конденсаторе из уравнения (4.27), представленного в соответствующей форме:

.

Результаты расчета целесообразно свести в табл. 4.4.
Т а б л и ц а 4.4

t	0	t	2t	3t	4t	5t	6t	7t	8t	9t
q	q0	q1	q2	q3	q4	q5	q6	q7	q8	q9
uC
i3

Примечание. Для выбора величины временного интервала t при численном расчете переходного процесса в нелинейной цепи целесообразно заменить реальный нелинейный элемент условно линейным с параметром, соответствующим установившемуся послекоммутационному режиму цепи (см. рис. 4.48).

Рис. 4.48

Применительно к рассматриваемому случаю

. (4.32)

Для цепи (рис. 4.47) при

.

На заданной кулон-вольтной характеристике q = f(u_C) нелинейного конденсатора соответствует q_уст. По соотношению (4.32) может быть определена емкость C_уст условно-линейного конденсатора. Для цепи (рис. 4.47) в условно-линейном представлении постоянная времени переходного процесса _уст определяется соотношением

.

В качестве временного интервала t при численном расчете переходного процесса рекомендуется выбирать отрезок времени длительностью не более 0,5_уст.