Зонная теория твердых тел
 Скачать 0.95 Mb.
|
Закон движения, сравнивая с где  где m* - эффективная масса, она учитывает совместное действие потенциального поля и внешней силы на электрон в кристалле.  - в зоне проводимости, в валентной зоне - в валентной зоне, но в зоне германия и кремния имеются тяжелые и легкие дырки. Эффективные массы всегда выражаются в долях истинной массы m0 = 9·10-28г и  Эффективная масса – тензорная величина, в различных направлениях она различна, что является следствием анизотропных свойств кристаллов.  Ек – уравнение эллипсоида вращения и описывается двумя значениями масс  и  Энергетический спектр электронов и дырок в координатах Е и K Е(К) – функция квазиимпульса. Энергия электрона в идеальной решетке есть периодическая функция квазиимпульса. Импульс электрона  Дырки – квазичастицы с меньшей энергией располагаются у потолка валентной зоны и увеличивают свою энергию, перемещаясь по шкале энергии вглубь валентной зоны. Для дырок и электронов отсчет энергий в противоположных направлениях. Электроны и дырки, обладающие волновым вектором  , могут сталкиваться с другими частицами или полями, как если бы они имели импульс  - называется квазиимпульсом.
На фононах рассеиваются рентгеновские лучи, нейтроны. Импульсу   в квантовой механике отвечает оператор  .  т.е. плоская волна Ψк является собственной функцией оператора импульса , причем собственными значениями оператора импульса служат  Энергия Ферми определяется как энергия электронов на высшем заполненном уровне  где nF – квантовое число наивысшего занятого энергетического уровня. 2nF=N где N – число электронов в объеме  Энергия - квадратичная функция квантового числа nF. Волновые функции, удовлетворяющие уравнения Шредингера, для свободной частицы в периодическом поле представляют собой бегущие плоские волны:  при условии, что компоненты волнового вектора принимают значения аналогичные наборы для Ky и Kz. Любая компонента вектора имеет вид  , гдеn – целое положительное или отрицательное число. Компоненты являются квантовыми числами наряду с квантовыми числами задающим направление спина.  т.е. собственные значения энергии  состояний с волновым вектором  В основном состоянии (1S) системы из N свободных электронов занятые состояния можно описывать точками внутри сферы в К – пространстве. Энергия, соответствующая поверхности этой сферы, является энергией Ферми. Волновые векторы, «упирающиеся» в поверхность этой сферы, имеют длины, равные KF, а сама поверхность называется поверхностью Ферми (в данном состоянии она является сферой). KF - радиус этой сферы  где  – энергия электрона с волновым вектором  , оканчивающимся на поверхности сферы. Каждой тройке квантовых чисел Kx, Ky, Kz отвечает элемент объема в К – пространстве величиной  . поэтому в сфере объемом  число точек, описывающих разрешенные состояния, равно числу ячеек объемом , и поэтому число разрешенных состояний равно где множитель 2 в левой части учитывает два допустимых значения спинового квантового числа ( )для каждого разрешенного значения  Полное число состояний равно числу электронов N.  Радиус сферы Ферми KF зависит лишь от концентрации частиц  и не зависит от массы m   Энергию Ферми можно определять как энергию таких квантовых состояний, вероятность заполнения которых частицей равна 1/2.  если Е=ЕF, то   значение ее можно рассчитать при Т=0 по формуле  Но абсолютный нуль температуры понимается как предел Т ® 0, имея в виду, что абсолютный нуль не достижим и плюс принцип Паули. Обычно рассматриваются системы не только при Т = 0, но и при любой температуре, если граничная энергий  , это условие вырождения, функция распределения таких частиц близка к «ступеньке»  Для таких систем, где можно пренебречь зависимостью ЕF от температуры и считать   Существуют таблицы параметров поверхности Ферми для ряда металлов, вычисленных для модели свободных электронов для комнатной температуры (Т = 3000К). Концентрация электронов определяется произведением валентности металла на число электронов в 1 см3.    то получим:    или, если  ,  Например: Li Валентность – 1,  *r0 – радиус сферы, содержащей один электрон. Lн – боровский радиус 0,53×10-8 см. *  безразмерный параметрВолновой вектор КF = 1,11×108 см-1; Скорость Ферми VF = 1,29×108 см/с; Энергия Ферми  .Температура Ферми  ТF не имеет никакого отношения к температуре электронного газа. Определим  – число состояний на единичный энергетический интервал, части называемый плотностью состояний при   ;   Плотность состояний равна:  Вариант 5 № 2. Число электронов с кинетической энергией от ЕF/2 до ЕF определяется соотношением  По аналогии:   Этот же результат можно получить из  в более простой форме:    С точностью порядка единицы число состояний на единичный энергетический интервал вблизи энергии Ферми равно отношению числа электронов проводимости к энергии Ферми.   |
